天津工业大学 科学计算与数学建模第1章 绪论

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1、现代科学计算与数学建模教师:陈雅颂天津工业大学 理学院 数学系：2010-2011-1 *1天津工业大学 理学院课程要求： 1 课程类别：系内限选 2 课程安排：理论(32学时)+上机实验 3 作业 ： 4 考勤 ：旷课(扣5分) 5 考试 ：笔试闭卷+上机综合题目 6 公共邮箱： 7 密码 ：123456 （下载讲义与课件）Date2天津工业大学 理学院本节课的问题与思考 什么是误差？ 为什么研究误差？ 造成误差的原因？ 误差分几类？ 如何量化误差大小？ 常见分析误差的原理与方法？Date3天津工业大学 理学院数学建模及其重要意义2数值方法与误差分析3误差的种类及其来源4算法的相对稳定性（略

2、） 85绝对误差和相对误差6有效数字及其误差的关系7误差的传播与估计 1数学与科学计算第一章 科学计算与数学建模绪论Date4天津工业大学 理学院1 数学与科学计算数学是科学之母，科学技术离不开数学，它通过建立数学模型与数学 产生紧密联系。数学又以各种形式应用于科学技术各领域。数学擅长于处 理各种复杂的依赖关系，精细刻画量的变化以及可能性的评估。它可以帮 助人们探讨原因、量化过程、控制风险、优化管理、合理预测 。随着计算机技术的飞速发展，科学计算在工程技术中发挥着愈来愈大 的作用,已成为继科学实验和理论研究之后科学研究的第三种方法。了解或 掌握科学计算的基本方法、数学建模的过程和基本方法已成为

3、科技人才必 需的技能。因此，科学计算与数学建模的基本知识和方法是当代大学生， 尤其是理工科大学生必备的数学素质。 科学计算是指利用计算机来完成科学研究和工程技术中提出的数学问 题的计算，是一种使用计算机解释和预测实验中难以验证的、复杂现象的 方法。科学计算是伴随着电子计算机的出现而迅速发展并获得广泛应用的 新兴交叉学科，是数学及计算机应用于高科技领域的必不可少的纽带和工 具。Date5天津工业大学 理学院2 数学建模过程及其重要意义1.2.1 数学建模过程实践理论实践演绎法数值法解析解数值解求解方法现 实 世 界现实问题的信息验证表述解释数学模型数学模型的解答数 学 世 界？求解现实问题的解答

4、Date6天津工业大学 理学院1.2.2 数学建模的一般步骤模型应用模型检验模型分析模型求解模型假设模型构成模型准备在合理与简化之间作出折中 作出合理的、简化的假设针对问题特点和建模目的模 型 假 设形成一个比较清晰的数学问题 掌握对象特征搜集有关信息明确建模目的了解实际背景模 型 准 备Date7天津工业大学 理学院确保模型的合理性、适用性实际问题模型应用模型检验模型分析模型求解模型构成与实际现象、数据比较如：结果的误差分析、统计分析、模型对数据的稳定性分析各种数学方法、软件和计算机技术尽量使用简单的数学工具用数学的语言、符号描述问题Date8天津工业大学 理学院1.2.3 数学建模意义 在

5、一般工程技术领域，数学建模仍然大有用武之地 在高新技术领域，数学建模几乎是必不可少的工具 数学迅速进入一些新领域，为数学建模开拓了许多新的处女地美国科学院一位院士总结了将数学转化为生产力过程中的成 功和失败，得出了“数学是一种关键的、普遍的、可以应用的技 术”的结论，认为数学“由研究到工业领域的技术转化，对加强 经济竞争力是有重要意义”，而“计算和建模重新成为中心课题 ，它们是数学科学技术转化的主要途径”。作为用数学方法解决实际问题的第一步，数学建模自然有着 与数学同样悠久的历史。进入20世纪以来，随着数学以空前的广 度和深度向一切领域的渗透，以及计算机的出现与飞速发展，数 学建模越来越受到人

6、们的重视，数学建模在现实世界中有着重要 意义。Date9天津工业大学 理学院v 所谓数值计算方法，是指将所欲求解的数学模型（数学问题）简化成一系列算术运算和逻辑运算，以便在计算机上求出问题的数值解，并对算法的收敛性、稳定性及其误差进行分析、计算。什么叫做误差？误差的种类有哪些呢？v 数值计算方法v注意：v 这里所说的“算法”，不只是单纯得数学公式，而且是指由基本的运算和运算顺序的规定所组成的整个解题的方案和步骤。Date10天津工业大学 理学院3 数值方法与误差分析v 数值方法已成为科学研究的第三种基本手段。所谓数值方法，是指 将所欲求解的数学模型（数学问题）简化成一系列算术运算和逻辑运算 ，

7、以便在计算机上求出问题的数值解，并对算法的收敛性和误差进行分 析、计算。这里所说的“算法”，不只是单纯的数学公式，而且是指由基 本的运算和运算顺序的规定所组成的整个解题方案和步骤。一般可以通 过框图（流程图）来较直观地描述算法的全貌。选定适合的算法是整个数值计算中非常重要的一环。例如， 当计算多项式的值时，再逐项相加，共需做次乘法和次加法。 若直接计算Date11天津工业大学 理学院时需做55次乘法和10次加法。来计算时，只要做 n次乘法和n次加法即可。数值计算过程中会出现各种误差，它们可分为两大类： 对于小型问题，计算的速度和占用计算机内存的多少似乎意义不大 。但对于复杂的大型问题而言，却是

8、起着决定性作用。算法取得不恰当 ，不仅影响到计算的速度和效率，还会由于计算机计算的近似性和误差 的传播、积累直接影响到计算结果的精度甚至直接影响到计算的成败。 不合适的算法会导致计算误差达到不能容许的地步，而使计算最终失败 ，这就是算法的数值稳定性问题。若用著名秦九韶（我国宋朝数学 家）算法，将多项式 改成Date12天津工业大学 理学院“过失误差”或“ 疏忽误差”：算题者 在工作中的粗心大意 而产生的，例如笔误 以及误用公式等 。它 完全是人为造成的， 只要工作中仔细、谨 慎，是完全可以避免 的。 数值计算误差 “非过失误差”：在 数值计算中这往往是无 法避免的，例如近似值 带来的误差，模型

9、误差 、观测误差、截断误差 和舍入误差等。对于“ 非过失误差”，应该设 法尽量降低其数值，尤 其要控制住经多次运算 后误差的积累，以确保 计算结果的精度。 Date13天津工业大学 理学院下面是一个简单的例算，可以看出近似值带来的误差和算法的选择对计算结果的精度所产生的巨大影响。例1.3.1 要计算可用四种算式算出：如果分别用近似值和按上列四种算法计算 值，其结果如下表1.3.1所示。Date14天津工业大学 理学院序 号算式计计算结结果 12134表1.3.1Date15天津工业大学 理学院v 由表1.3.1可见，按不同算式和近似值计算出的结果各不相同， 有的甚至出现了负值，这真是差之毫厘，

10、谬以千里。可见近似值和 算法的选定对计算结果的精确度影响很大。因此，在研究算法的同 时，还必须正确掌握误差的基本概念，误差在近似值运算中的传播 规律，误差分析、估计的基本方法和算法的数值稳定性概念，否则 ，一个合理的算法也可能会得出一个错误的结果。v 衡量一个算法的好坏时，计算时间的多少是非常重要的一个标 志。由于实际的执行时间依赖于计算机的性能，因此所谓算法所花 时间是用它执行的所有基本运算，如算术运算、比较运算等的总次 数来衡量的。这样时间与运算的次数直接联系起来了。当然，即使 用一个算法计算同一类型的问题时，由于各问题的数据不同，计算 快慢也会不同，一般是用最坏情况下所花的时间来作讨论。

11、 Date16天津工业大学 理学院设输入数据的规模(size)是 (在网络问题中，一般与节点数及弧数有关， 而对一般极值问题，往往与变量数及约束数有关)，设在最坏情况下运算次数 是 ，则 称为算法的计算复杂性。 具有什么样的计算复杂性的算法被认为是好的呢？目前计算机科学中广为 接受的观点是：多项式时间算法，即 是关于 的一个多项式，或者以一个 多项式为上界的。例如 ， ， 等是好的算法；而指数时间算法，即 是关于 的指数式，或以一个指数式为下界的，例如 ， 等情况，则是坏的 。这个看法的依据是很明白的，因为当 增大时，指数函数比多项式函数增长 快。注意: 在理论上证明是好的算法不一定在实际中有

12、效，在理论上证明 不是多项式时间的算法也不一定就在实际上中效果不好。如关于线性 规划问题的算法有如下的特殊性：（1）单纯形法是时间复杂性为指数阶的，但却是非常有效的算法；（2）椭球法从理论上是一个重大突破，是第一个多项式算法，遗憾的是广泛的 实际检验表明其计算效果比单纯形方法差，因而，它在实际使用中不能取代单 纯形法。了解内容：参考最优化方法丛书Date17天津工业大学 理学院单纯形法简介 单纯形法，求解线性规划问题的通用方法。单纯形是 美国数学家G.B.丹齐克于1947年首先提出来的。它的理论 根据是：线性规划问题的可行域是 n维向量空间Rn中的多 面凸集，其最优值如果存在必在该凸集的某顶点

13、处达到。 顶点所对应的可行解称为基本可行解。单纯形法的基本思 想是：先找出一个基本可行解，对它进行鉴别，看是否是 最优解；若不是，则按照一定法则转换到另一改进的基本 可行解,再鉴别；若仍不是，则再转换,按此重复进行。因 基本可行解的个数有限，故经有限次转换必能得出问题的 最优解。如果问题无最优解也可用此法判别。Date18天津工业大学 理学院4 误差的种类及其来源 非过失误差 数值计算中， 除了可以避免的过失误差外， 还有不少来源不同而又无法避免的 非过失误差存在于数值计算过程中， 主要有如下几种 截断误差观测误差 模型误差 舍入误差Date19天津工业大学 理学院1.4.1 模型误差1.4.

14、2 观测误差在建模和具体运算过程中所用到的一些初始数据往往都是通过人 们实际观察、测量得来的，由于受到所用观测仪器、设备精度 的限 制，这些测得的数据都只能是近似的，即存在着误差，这种误差称为 “观测误差”或“初值误差”。1.4.3 截断误差在不少数值运算中常遇到超越计算，如微分、积分和无穷级数求和 等，它们须用极限或无穷过程来求得。然而计算机却只能完成有限次 算术运算和逻辑运算，因此需将解题过程化为一系列有限的算术运在建模（建立数学模型）过程中，欲将复杂的物理现象抽象、归 纳为数学模型，往往只得忽略一些次要因素的影响，而对问题作某些 必要的简化。这样建立起来的数学模型实际上必定只是所研究的复

15、杂 客观现象的一种近似的描述，它与真正客观存在的实际问题之间有一 定的差别，这种误差称为“模型误差”。Date20天津工业大学 理学院算和逻辑运算。这样就要对某种无穷过程进行“截断”，即仅保无穷过程的 前段有限序列而舍弃它的后段。这就带来了误差，称它为“截断误差”或“ 方法误差”。例如，函数 和 可分别展开为如下的无穷幂级数： (1.4.1)(1.4.2)若取级数的起始若干项的部分和作为函数值的近似，例如取(1.4.3)Date21天津工业大学 理学院则由于它们的第四项和以后各项都舍弃了，自然产生了误差。这就是由于截断了无穷级数自第四项起的后段的产生的截断误差。(1.4.3)和 (1.4.4)

16、的截断误差是很容易估算的，因为幂级数(1.4.1)和(1.4.2) 都是交错级数，当 时的各项的绝对值又都是递减的，因此，这时它们的截 断误差 可分别估计为： (1.4.4)1.4.4 舍入误差在数值计算过程中还会用到一些无穷小数，例如无理数和有理数 中某些分数化出的无限循环小数，如 和Date22天津工业大学 理学院由于受计算机机器字长的限制，它所能表示的数据只能有有限位数 ，这时就需把数据按四舍五入舍入成一定位数的近似的有理数来代替。 由此引起的误差称为“舍入误差”或“凑整误差”。综上所述，数值计算中除了可以完全避免的过失误差外，还存在 难以避免的模型误差、观测误差、截断误差和舍入误差。数学模型一旦 建立，进入具体计算时所要考虑和分