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1、2013 年高考真题理科数学（解析版） 陕西 卷1 / 62013 年普通高等学校招生全国统一考试（陕西）卷数学（理科） 一选择题（本大题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分。在每小题给也的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的）1设全集为, 函数的定义域为, 则为（ ）R 21f xxMRM（A） （B） （C） （D）1,11,1 , 11, U , 11, U2根据右表算法语句，当输入为 60 时，输出的xy 值为( ) （A）25 （B）30 （C）31 （D）613设为向量，则“”是“, a br r| |a ba br rrr /abrr”的( ) 条件 （A）充分而不必要
2、 （B）必要而不充分（C）充分必要 （D）既不充分也不必要 4某单位有 840 名职工，现采用系统抽样方法抽取 42 人做问卷调查，将 840 人按随机编号，则抽取的 42 人中， 编号落入区间的人数为( )1,2,840L481,720（A）11 （B）12 （C）13 （D）145如图，在矩形区域的两点处各有一个通ABCD,A C信基站，假设其信号覆盖范围分别是扇形区域和扇形ADE区域（该矩形区域内无其他信号来源， 基站工作正常）CBF 。若在该矩形区域内随机地选一地点， 则该地点无信号的概率是( ) （A） （B） 1412（C） （D）2246设是复数，则下列命题中的假命题是( ) 1
3、2,z z（A）若，则 （B）若，则12| 0zz12zz12zz12zz（C）若，则 （D）若，则12| |zz1122zzzz12| |zz22 12zz7设的内角所对边分别为，若, 则ABC, ,A B C, ,a b ccoscossinbCcBaA的形状为( ) （A）锐角三角形 （B）直角三角形（C）钝角三角形（D）不确定ABC8设函数， 则当时， 6100xxxf x xx 0x 输入 x If x50 Then y=0.5 * x Else y=25+0.6*(x-50) End If 输出 y12DACBEF40mx40m2013 年高考真题理科数学（解析版） 陕西 卷2 /
4、 6表达式的展开式中常数项为( ) （A） （B）20 （C） ff x2015（D）159在如图所示的锐角三角形空地中, 欲建一个面积不小于 300的内接矩形花园(阴2m影部分), 则其边长(单位)的取值范围是（ ）xm（A） （B） （C） （D）15,2012,2510,3020,3010设表示不大于的最大整数, 则对任意实数, 有（ ） xx, x y（A） （B） （C） （D） xx 22xx xyxy xyxy二填空题（本大题共 5 小题，每小题 5 分，共 25 分）11双曲线的离心率为，则等于22 116xy m5 4m_。12 某几何体的三视图如图所示，则其体积为 。13若
5、点位于曲线与所围成的封闭, x y|1|yx2y 区域，则的最小值为_。2xy14观察下列等式: ；照此21122123 22212632222124310 规律, 第个等式可为_。n15 （考生请注意：请在下列三题中任选一题作 答, 如果多做, 则按所做的第一题计分）（不等式选做题）已知，且, ,a b m nR，则的最1ab2mn ambnbman小值为_。（几何证明选做题）如图，弦与相交于内一ABCDOe 点，过作的平行线与的延长线相交于点。已知EEBCADP ，则_。22PDDAPE （坐标系与参数方程选做题）如图， 以过原点的直线的倾斜角为参数， 则圆的参数方程为220yxx _。
6、三解答题（本大题共 6 小题，共 75 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）16 （本小题满分 12 分）已知向量，设函cos , 1 2axr3sin ,cos2xRbxxr数，求的最小正周期；求在上的最大值和最小值。 f xa br r f x f x0,21121E DOPABCPOyx2013 年高考真题理科数学（解析版） 陕西 卷3 / 617 （本小题满分 12 分）设是公比为的等比数列。推导的前项和公式； naq nan设， 证明：数列不是等比数列。1q 1na 18 （本小题满分 12 分）四棱柱的底面是正方形，为底1111ABCDABC DABCDO面中心，平面，。证
7、1AO ABCD12ABAA明：直线平面；求平面与平面1AC11BB D D1OCB的夹角的大小。11BB D D19 （本小题满分 12 分）在一场娱乐晚会上，有 5 位民间歌手（1 至 5 号）登台演唱， 由现场数百名观众投票选出最受欢迎歌手。各位观众须彼此独立地在选票上选 3 名歌手， 其中观众甲是 1 号歌手的歌迷，他必选 1 号，不选 2 号，另在 3 至 5 号中随机选 2 名。观 众乙和丙对 5 位歌手的演唱没有偏爱，因此在 1 至 5 号中随机选 3 名歌手。求观众甲选 中 3 号歌手且观众乙未选中 3 号歌手的概率；表示 3 号歌手得到观众甲、乙、丙的票X 数之和，求的分布列
8、和数学期望。X20 （本小题满分 13 分）已知动圆过定点，且在轴上截得的弦的长为4,0AyMN8。求动圆圆心的轨迹的方程；已知点，设不垂直于轴的直线 与轨迹C1,0B xl交于不同的两点，若轴是的角平分线，证明直线 过定点。C,P QxPBQl21 （本小题满分 14 分）已知函数。若直线与 xf xexR1ykx f x的反函数的图像相切，求实数的值；设，讨论曲线与曲线k0x yf x公共点的个数；设，比较与的大小，20ymxmab 2f af b f bf a ba 并说明理由。2013 年普通高校招生全国统考数学试卷（陕西卷）解答一DCCBA DBACD二119；12；13；14；34
9、 1 122221123112n nnn n L152，62coscos sinxRy OD1B1C1DACBA12013 年高考真题理科数学（解析版） 陕西 卷4 / 616解：，故的 131cos3sincos2sin2cos2sin 22226f xxxxxxx f x最小正周期为；当时，故在0,2x52,666x 1sin 2126x f x上的最大值和最小值分别为 1 和。0,2 1 217解：当时，是首项为的常数列，故；1q na1a1111nSaaanaL当时，故上面两式错位相减可1q 1212nnnnSaaaqSqaqaqaLL得，因此 12132111nnnnnq Saaqa
10、aqaaqaqaaqaL。综上；11111nn naqaqaSqq 111111nnnaq Saqqq假设是等比数列，则。1na 22 1321313221112aaaa aaaaa因，故。从而，当且仅当时2 132a aa1322aaa222 213132444aaaa aa13aa取等号，此时，与矛盾。所以数列不是等比数列。1q 1q 1na 18解：因平面，且平面，故。又在正方1AO ABCDBD ABCD1AOBD形中，且，故平面，且平面ABCDACBD1AOACAIBD 1A AC1AC ，因此。因在正方形中，故在中，1A AC1ACBDABCD1AO 1RT AOA。设的中点为，则
11、四边形为正方形，故。又平11AO 11B D1E11AOCE11ACEOBD 面，平面，且，故平面；11BB D D1EO 11BB D D1BDEOOI1AC 11BB D D以为原点，以为轴正方向，以为轴正方向建立直角坐标系。则由题OOCxOBy，故。设平面的法向0,1,0B1,0,0C10,0,1A11,1,1B11,0, 1AC uuu r1OCB量为，因，故，即2, ,nx y zu u r11,1,1OB uuur1,0,0OC uuu r21200nOBnOCu u r uuuru u r uuu r2013 年高考真题理科数学（解析版） 陕西 卷5 / 6，取解得。由知平面的一
12、个法向量00xyzx 1y 20,1, 1n u u r11BB D D，因此。所以，所111,0, 1nACu ruuu r12 12 12|11cos|cos,|2| |22n nn nnnuu r u u ru r u u ru ru u r求夹角为。319解：设事件 表示“观众甲选中 3 号歌手且观众乙未选中 3 号歌手” 。观众甲A选中 3 号歌手的概率为，乙未选中 3 号歌手的概率为，故。32315 23413515P A因此观众甲选中 3 号歌手且观众乙未选中 3 号歌手的概率为；154由题可取，且观众甲选中 3 号歌手的概率为，观众乙选中 3 号歌手的X0,1,2,332概率为。当观众甲、乙、丙均未选中 3 号歌手时，53；当观众甲、乙、丙中只有 1 人选中 3 号歌手时， 22340113575P X 223233111135355P X；当观众甲、乙、丙中只有 2 人选中 3 号歌手时，233201135575 2P X ；当观众甲、乙、丙均选中 3 号歌手时，2 3323 3233331113 5535 535575。故的分布列如右表所示，2231833575P X
