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1、 一、二 重积分在 直角坐标 系下的计 算和表示二、三重 积分在直 角坐标系 下的表示 和计算2 重积分在直角坐标系下的表示和计算1。二重积分的几何意义 2。直角坐标系下的积分微元3。积分区域的不等式表示 4。化二重积分为二次积分1。投影法2。截面法1。二重积分的几何意义1 曲顶柱体的体积曲顶柱体:用若干个小平 顶柱体体积之 和近似表示曲 顶柱体的体积，求法如下： 先分割曲顶柱体的底， 再取典型小区域，得到曲顶柱体的体积：1。二重积分的几何意义2。直角坐标系下的积分微元我们利用直角 坐标网分割D让分割充分细， 取D的被坐标网割出 的一个典型子区域 ，设它是如图 的矩形，其面积为因此，二重积分的
2、面积微元d自然地可记成此时有2。直角坐标系下的积分微元3。积分区域的不等式表示x型域:(图见下页)若积分区域D由两条连续曲线y1=y1(x)和 y2= y2(x)（axb）及两条直线x=a和x=b 所界定。a，b为区域D到ox轴的投影，任一条直线x=x0（ax0b）与曲线 y1=y1(x)和y2= y2(x)都只交于一点，则D可以用不等式表示为x 型域3。积分区域的不等式表示y型域:(图见下页)若积分区域D由两条连续曲线X=x1(y)和 X= x2(y)（cyd）及两条直线y=c和y=d所 界定。c，d为区域D到oy轴的投影，任一条直线y=y0（cy0d）与曲线x=x1(y) 和x= x2(y
3、)都只交于一点，则D可以用不等式表示为：3。积分区域的不等式表示y型域3。积分区域的不等式表示例1.积分区域D为直线y=2x和抛物线y=x2 所围，写出区域D的不等式表示。3。积分区域的不等式表示解3。积分区域的不等式表示对于不是x型域 和y型域的闭区域D，一般可以利用与 坐标轴平行的直线 将其分割成若干个 x型域或y型域。3。积分区域的不等式表示4。化二重积分为二次积分假定 是 型域 它的不等式表示为在区间 任取一点x，过 作平行 于 面的平面，所截为一曲边梯形，截面面积故曲顶柱体体积则4。化二重积分为二次积分若区域 为 型域则4。化二重积分为二次积分例 2.计算积分 ,其中 是由直线 和抛
4、物线 所围区域 .解 (2) 将区域D表示成不等式形式:4。化二重积分为二次积分4。化二重积分为二次积分又解 区域 也可表示为4。化二重积分为二次积分例 3. 计算 ,其中 是由直线 和抛物线 所围成的闭区域。解法1 （先对x在对y积分）交点为如图，先把 分割成两部分 和 4。化二重积分为二次积分两曲线4。化二重积分为二次积分4。化二重积分为二次积分解法2：（先对x在对y积分）故交点为两曲线如图，4。化二重积分为二次积分解积分区域如图例 5 . 交换二次积分 的积 分次序,并计算此积分。解 积分区域为：所以如图，D也可表示为：xyo4。化二重积分为二次积分4。化二重积分为二次积分求证： （1）
5、若 关于 是奇函数，则（2）若 关于 是偶函数，则4。化二重积分为二次积分例 8 . 设 是关于 轴对称的区域，是 在右半平面的部分，4。化二重积分为二次积分二三重积分在直角坐标系下的表示和计算利用平行与各坐标面的平面组成坐标网：设在ox轴oy轴，oz轴的长度 ，微元分别为dx, dy, dz, 因此类似二重积分的讨论可知三重积分的体积微元可记成这时三重积分写成 设积分区域 在xoy平面的投影为平面区域二三重积分在直角坐标系下的表示和计算对于xoy平面的投影柱面，它把的边界便是以 的边界为准线，母线平行于oz轴的柱面分成上侧边界曲面 和下侧边界曲面 ；设它们的方程分别为：且二三重积分在直角坐标
6、系下的表示和计算设 和 都是 在 的单值函数。过 内任一点 作平行于z轴的直线 区域 表示为：二三重积分在直角坐标系下的表示和计算故三重积分可写成：二三重积分在直角坐标系下的表示和计算表示柱体位于 内以dxdy为底小柱体的质量。微元，则： 体积 由质量分布模型来理解上式，设 被直角坐标网分割，取二三重积分在直角坐标系下的表示和计算因 在xoy平面的投影区域为 。故表示分布在立体 的质量。 故如下三重积分的等式成立二三重积分在直角坐标系下的表示和计算如果 在xoy平面的投影区域 是x型区域则表示为：则 表示为： 1。 投影法则由上述知：1。 投影法若 是 y型域 ，则表示为：则：1。 投影法1.
7、 投影法1。 投影法坐标面及平面 所围成的有界闭区域。 例13 计算 其中 是由三个 W在xoy平面的投影 如图 ，表示为： 与xoy 平面的交线为：1。 投影法1.投影法例14 求两底圆半径相等的直交圆 与所围成的立体的体积。由对称性知，所求体积是 体积的8倍其中 为第一卦限部分的立体的体积。1. 投影法故 表示为：1. 投影法因此，1. 投影法2截面法：设将 向oz轴作投影得到区间，即 点的z坐标范围：对任意过点垂直于oz轴的平面截 得到截面记为 ，这时 这时 可表示为： 相应的有：二三重积分在直角坐标系下的表示和计算较容易算出(常见为圆或椭圆)，则用截面法。如果截面 的表示比较简单且 相应截面法的计算公式。此外，用 的特征，投影到oy轴或ox轴，建立例15 计算 。其中 为椭球体，到oz轴的投影区间为 。 对固定 得到截面：则其中 是椭圆的面积，这个椭圆可改写为：它的两个半轴长 和它的面积：故
