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1、数值分析数值分析第四节 误差分析和解的精度改进一、向量与矩阵的范数二、解的误差分析基本问题解的稳定性数值分析数值分析数值分析数值分析 定义一、向量范数公理数值分析数值分析数值分析数值分析二. 几种常用线性空间的范数数值分析数值分析数值分析数值分析数值分析数值分析数值分析数值分析数值分析数值分析数值分析数值分析数值分析数值分析例：证明注意： 1.等价性不等于互相代替，即在同一问题中不能混用不同的范数。2.在无限维空间中，向量范数的等价性不成立。 数值分析数值分析数值分析数值分析数值分析数值分析数值分析数值分析数值分析数值分析数值分析数值分析数值分析数值分析（2）算子范数定义:设 |x|是Rn上的
2、向量范数,ARnn,则A 的非负函数称为矩阵A的算子范数 注1:矩阵的算子范数由向量范数所导出, 如注2:算子范数满足相容性 其中, A Rnn ,x Rn10/18数值分析数值分析二、解的误差分析基本问题解的稳定性数值分析数值分析数值分析数值分析数学稳定性:对数学问题而言，如果输入数据有 微小扰动，引起输出数据（即数学问题的解）有很 大扰动，则称数学问题是病态问题，否则称为良态 问题。数值方法的稳定性:一个算法如果输入数据有扰 动（即有误差），而计算过程中舍入误差不增长， 则称此算法是数值稳定的，否则称此算法为不稳定 的。数值分析数值分析数值分析数值分析数值分析数值分析数值分析数值分析引例.
3、 Hilbert矩阵的病态性方程组 Ax=b1 的解为x1 A(x+x)=b+b方程组 Ax = b 的解为 xx x1= -2.4 27.0 -64.8 42.0 T2/18数据计算结果数值分析数值分析数值分析数值分析数值分析数值分析数值分析数值分析数值分析数值分析数值分析数值分析数值分析数值分析数值分析数值分析证闭数值分析数值分析数值分析数值分析数值分析数值分析数值分析数值分析数值分析数值分析数值分析数值分析数值分析数值分析数值分析数值分析数值分析数值分析数值分析数值分析数值分析数值分析前面介绍的列主元法解决了Gauss消元法由于小主元的出 现所导致的舍入误差的积累，从而出现的失真的问题。
4、但列主 元法也有缺点，当方程中出现比例因子时，列主元法就无能为 力了。列主元法求解x1=x2=1按行比例消元法 :将每个方程乘上一个适当的比例因子，使 方程组的最大系数的绝对值不超过1，然后再做列主元消元。（2）（行）比例增减改善数值分析数值分析例4 应用按比例消元法求解方程组 2、在第k步消元前，选最小的r，使3、对换 Ek Er , sk sr 4、消元 具体步骤如下： 1、在第一步消元前，计算数值分析数值分析数值分析数值分析算法 按行比例列主元高斯消元法解线性方程组 Ax = b数值分析数值分析数值分析数值分析数值分析数值分析数值分析数值分析数值分析数值分析数值分析数值分析数值分析数值分析判断方程组病态的经验:a) 用主元消去法求解时出现小主元(A非奇).b) 某些行(或列)近似线性相关.c) A的元素间数量级相差很大,且无规律.求解“病态”方程组的方法和措施:求解“病态”方程组轻度病态：1:双精度改善2:比例增减改善3:迭代改善。病态严重：1:正交分解2:A的奇异值分解。
