《诱导范数的证明》由会员分享，可在线阅读，更多相关《诱导范数的证明（5页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、下面用向量范数定义一类矩阵下面用向量范数定义一类矩阵范数，这种矩阵范数满足上述两个范数，这种矩阵范数满足上述两个条件。条件。定理定理 1 1 设设，nnnRARx,给定一种向量范数给定一种向量范数，相应地定义，相应地定义vx一个矩阵的非负函数一个矩阵的非负函数vx vvxvAxxAxAv10maxmax ，则则是一个矩阵范数，称之为向是一个矩阵范数，称之为向vA量范数量范数的诱导范数（算子范数）的诱导范数（算子范数） 。vx证明证明 只要验证矩阵范数定义只要验证矩阵范数定义的三个条件即可。的三个条件即可。（1 1）对于任意的）对于任意的，nRx，由于，由于，故，故1vx0Ax。进一步，。进一步
2、，0max 1 vxvAxAv1max00,10,10vvvxn vvn vAAxAxxRxAxxRxA （2 2）111max ()max()maxvvvvvxvxvxvAA xAxAxA（3 3）11max ()maxvvvvxvxABAB xAxBx。111maxmaxmaxvvvvvxvvxxvvAxBxAxBxAB根据矩阵范数的定义，根据矩阵范数的定义，是一个是一个vA矩阵范数。矩阵范数。性质性质 1 1 设设是由向量范数是由向量范数A诱导的矩阵范数，则诱导的矩阵范数，则x（1 1）；xAAx （2 2）；BAAB （3 3）时，时，。IA 1I证明证明 （1 1）由）由xAxA x 0max 当当时，时，0xAxAx。xAAx 进一步，当进一步，当时，时，0x显然成立。显然成立。xAAx （2 2）xBxAxxABAB xx)(max)(max 00BAxBxAxBxAxx 00maxmax。
