《四川省德阳市2012高考数学难点33函数的连续性及其应用》由会员分享，可在线阅读，更多相关《四川省德阳市2012高考数学难点33函数的连续性及其应用（5页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、用心 爱心 专心- 1 -难点难点 3333 函数的连续性及其应用函数的连续性及其应用函数的连续性是新教材新增加的内容之一函数的连续性是新教材新增加的内容之一. .它把高中的极限知识与大学知识紧密联在一它把高中的极限知识与大学知识紧密联在一起起. .在高考中，必将这一块内容溶入到函数内容中去，因而一定成为高考的又一个热点在高考中，必将这一块内容溶入到函数内容中去，因而一定成为高考的又一个热点. .本本节内容重点阐述这一块知识的知识结构体系节内容重点阐述这一块知识的知识结构体系. .难点磁场难点磁场()已知函数已知函数f f( (x x)=)= )51 ( ) 1(log) 11( ) 1()
2、1( 32xxxxxx(1)(1)讨论讨论f f( (x x) )在点在点x x= =1,0,11,0,1 处处的连续性；的连续性；(2)(2)求求f f( (x x) )的连续区的连续区间间. .案例探究案例探究例例 1 1已知函数已知函数f f( (x x)=)=, ,242 xx(1)(1)求求f f( (x x) )的定义域，并作出函数的图象；的定义域，并作出函数的图象；(2)(2)求求f f( (x x) )的不连续点的不连续点x x0 0; ;(3)(3)对对f f( (x x) )补充定义，使其是补充定义，使其是 R R 上的连续函数上的连续函数. .命题意图：函数的连续性，尤其
3、是在某定点处的连续性在函数图象上有最直观的反映命题意图：函数的连续性，尤其是在某定点处的连续性在函数图象上有最直观的反映. .因因而画函数图象去直观反映题目中的连续性问题也就而画函数图象去直观反映题目中的连续性问题也就成为一种最重要的方法成为一种最重要的方法. .知识依托：本题是分式函数，所知识依托：本题是分式函数，所以解答本题的闪光点是能准确以解答本题的闪光点是能准确画出它的图象画出它的图象. .错解分析：第错解分析：第(3)(3)问是本题的难点，考生通过自己对所学连续函问是本题的难点，考生通过自己对所学连续函数定义的了解数定义的了解. .应明确知道第应明确知道第(3)(3)问是求的分数函数
4、解析式问是求的分数函数解析式. .技巧与方法：对分式化简变形，注意等价性，观察图象进行解技巧与方法：对分式化简变形，注意等价性，观察图象进行解答答. .解：解：(1)(1)当当x x+20+20 时，有时，有x x2 2因此，函数的定义域是因此，函数的定义域是( (,2)(2)(2,+)2,+)当当x x2 2 时，时，f f( (x x)=)= = =x x2,2,242 xx其图象如上图其图象如上图(2)(2)由定义域知，函数由定义域知，函数f f( (x x) )的不连续点是的不连续点是x x0 0= =2.2.用心 爱心 专心- 2 -(3)(3)因为当因为当x x2 2 时，时，f
5、f( (x x)=)=x x2,2,所以所以= =4.4.)2(lim)(lim 22 xxf xx因此，将因此，将f f( (x x) )的表达式改写为的表达式改写为f f( (x x)=)= 2)( 4)2( 242xxxx则函数则函数f f( (x x) )在在 R R 上是连续函数上是连续函数. .例例 2 2求证：方程求证：方程x x= =a asinsinx x+ +b b( (a a0,0,b b0)0)至少有一个正根，至少有一个正根，且它不大于且它不大于a a+ +b b. .命题意图：要判定方程命题意图：要判定方程f f( (x x)=0)=0 是否有实根是否有实根. .即即
6、判定对应的连续函数判定对应的连续函数y y= =f f( (x x) )的图象是否的图象是否与与x x轴有交点，轴有交点，因此根据连续函数的性质，只要找到图象上的两点，满足一点在因此根据连续函数的性质，只要找到图象上的两点，满足一点在x x轴上方，轴上方，另一点在另一点在x x轴下方即可轴下方即可. .本题主要考查这种解题方法本题主要考查这种解题方法. .知识依托：解答本题的闪光点要找到合适的两点，使函数值其一为负，另一为正知识依托：解答本题的闪光点要找到合适的两点，使函数值其一为负，另一为正. .错解分析：因为本题为超越方程，因而考生最易想错解分析：因为本题为超越方程，因而考生最易想到画图象
7、观察，而忽视连续性的性到画图象观察，而忽视连续性的性质在解这类题目中的简便作用质在解这类题目中的简便作用. .证明：设证明：设f f( (x x)=)=a asinsinx x+ +b bx x, ,则则f f(0)=(0)=b b0,0,f f( (a a+ +b b)=)=a asin(sin(a a+ +b b)+)+b b( (a a+ +b b)=)=a asin(sin(a a+ +b b) )1 10,0,又又f f( (x x) )在在(0,(0,a a+ +b b内是连续函数，所以存在一个内是连续函数，所以存在一个x x0 0(0,(0,a a+ +b b ，使，使f f(
8、(x x0 0)=0,)=0,即即x x0 0是方是方程程f f( (x x)=0)=0 的根，也就是方程的根，也就是方程x x= =a asinsinx x+ +b b的根的根. .因此，方程因此，方程x x= =a asinsinx x+ +b b至少存在一个正根，且它不大于至少存在一个正根，且它不大于a a+ +b b. .锦囊妙计锦囊妙计1.1.深刻理解函数深刻理解函数f f( (x x) )在在x x0 0处连续的概念：处连续的概念：等式等式f f( (x x)=)=f f( (x x0 0) )的涵义是：的涵义是：(1)(1)f f( (x x0 0) )在在x x= =x x0
9、0处有定义，即处有定义，即f f( (x x0 0) )存在；存在；(2)(2)lim0xxf f( (x x) )存在，这里隐含着存在，这里隐含着f f( (x x) )在点在点x x= =x x0 0附近有定义；附近有定义；(3(3 ) )f f( (x x) )在点在点x x0 0处的极限值等于处的极限值等于lim0xx这一点的函数值，即这一点的函数值，即f f( (x x)=)=f f( (x x0 0).).lim0xx函数函数f f( (x x) )在在x x0 0处连续，反映在图象上是处连续，反映在图象上是f f( (x x) )的图象在点的图象在点x x= =x x0 0处是不
10、间断的处是不间断的. .2.2.函数函数f f( (x x) )在点在点x x0 0不连续，就是不连续，就是f f( (x x) )的图象在点的图象在点x x= =x x0 0处是间断的处是间断的. .其情形：其情形：(1)(1)f f( (x x) )存在；存在；f f( (x x0 0) )存在，但存在，但f f( (x x)f f( (x x0 0);(2);(2)f f( (x x) )存在，但存在，但lim0xxlim0xxlim0xxf f( (x x0 0) )不存在不存在.(3).(3) f f( (x x) )不存在不存在. .lim0xx3.3.由连续函数的定义，可以得到计
11、算函数极限的一种方法：如果函数由连续函数的定义，可以得到计算函数极限的一种方法：如果函数f f( (x x) )在其定义区在其定义区间内是连续的，点间内是连续的，点x x0 0是定义区间内的一点，那么求是定义区间内的一点，那么求x xx x0 0时函数时函数f f( (x x) )的极限，只要求出的极限，只要求出用心 爱心 专心- 3 -f f( (x x) )在点在点x x0 0处的函数值处的函数值f f( (x x0 0) )就可以了，即就可以了，即f f( (x x)=)=f f( (x x0 0).).lim0xx歼灭难点训练歼灭难点训练一、选择题一、选择题1.()1.()若若f f(
12、 (x x)=)=在点在点x x=0=0 处连续，则处连续，则f f(0)(0)等于等于( ( ) )11113xxA.A. B.B.C.1C.1D.0D.023 322.()2.()设设f f( (x x)=)=则则f f( (x x) )的连续区间为的连续区间为( ( ) ) 21 11 2110 xxxxA.(0A.(0，2)2)B.(0B.(0，1)1)C.(0C.(0，1)(11)(1，2)2)D.(1D.(1，2)2)二、填空题二、填空题3.()3.() =_.=_.xxxxarctan4)2ln(lim214.(4.()若若f f( (x x)=)=处处连续，则处处连续，则a a
13、的值为的值为_._. 0 0 11xbxaxxx三、解答题三、解答题5.()5.()已知函数已知函数f f( (x x)=)= )0( 1)0( 121211xxxx(1)(1)f f( (x x) )在在x x=0=0处是否连续？说明理由；处是否连续？说明理由；(2)(2)讨论讨论f f( (x x) )在闭区间在闭区间1,01,0和和0,10,1上的连续性上的连续性. .6.()6.()已知已知f f( (x x)=)= )0()0(11xbxaxxx(1)(1)求求f f( (x x););(2)(2)求常数求常数a a的值，使的值，使f f( (x x) )在区间在区间( (,+),+
14、)内处处连续内处处连续. .7.()7.()求证任何一个实系数一元三次方程求证任何一个实系数一元三次方程a a0 0x x3 3+ +a a1 1x x2 2+ +a a2 2x x+ +a a3 3=0(=0(a a0 0, ,a a1 1, ,a a2 2, ,a a3 3R,R,a a0 00)0)至少有一个实至少有一个实数根数根. .用心 爱心 专心- 4 -8.()8.()求函数求函数f f( (x x)=)=的不连续点和连续区间的不连续点和连续区间. . ) 1( )21(log) 1( 2xxxx参考答案参考答案难点磁场难点磁场解：解：(1)(1)f f( (x x)=3,)=3, f f( (x x)=)=1,1,所以所以f f( (x x) )不存在，所以不存在，所以f f( (x x) )在在x x= =1 1 处不处不lim 1xlim 1xlim 1x连续，连续，但但f f( (x x)=)=f f( (1)=1)=1 1, , f f( (x x)f f( (1),1),所以所以f f( (x x) )在在x x= =1 1 处右连续，左不连处右连续，左不连lim 1xlim 1x续续f f( (x x)=3=)=3=f f(1),(1), f f( (x x) )不存在，所以不存在，所以f f(
