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1、20122012 年高中自主招生数学模拟试卷年高中自主招生数学模拟试卷一、选择题（每小题一、选择题（每小题 4 4 分，共分，共 3232 分）分） 1、如图一个长为 m、宽为 n 的长方形（mn）沿虚线剪开，拼接成图 2，成为在一角去掉一个小正方形后的一个大正方形，则去掉的小正方形的边长为（ A A ）A、 B、mn C、 D、2mn 2m 2n2、如图，在矩形中截取两个相同的圆作为圆柱的上下底面，剩余的矩形作为圆柱的侧 面，刚好能组合成圆柱设矩形的长和宽分别为 y 和 x，则 y 与 x 的函数图象大致是 （ A A ）A B C D 3、设 minx,y表示 x,y 两个数中的最小值，例
2、如 min0,2=0，min12,8=8，则 关于 x 的函数关系式可以表示为（ A A ）A、 B、 22 22xxyxx 22 22xxyxxC、y =2x D、y=x24、 如图，在平面直角坐标系中，P 的圆心是（2，a） （a2） ，半径为 2，函数 y=x 的图象被P 截得的弦 AB 的长为，2 3则 a 的值是（ B B ）A、 B、 C、+2 D、2 2222 323 5、如果把 1、3、6、10 这样的数称为“三角形数” ，而把1、4、9、16 这样的数称 为“正方形数” 从图中可以发现，任何一个大于 1 的“正方形数”都可以看作两个 相邻“三角形数”之和下列等式中， 符合这一
3、规律的是（ D D ） A、13 = 3+10B、25 = 9+16 C、49 = 18+31 D、36 = 15+21 6、如图，在 RtABC 中，ACB=90，A=30，BC=2，将ABC 绕 点 C 按顺时针方向旋转 n 度后，得到EDC，此时，点 D 在 AB 边 上，斜边 DE 交 AC 边于点 F，则 n 的大小和图中阴影部分的面积 分别为（ C C ）A、30，2 B、60，2 C、60， D、60， 3 237、某种型号的变速自行车的主动轴上有三个齿轮，齿数分别是 48，36，24；后轴上有四 个齿轮，齿数分别是 36，24，16，12.则这种变速车共有（ B B ）档不同的
4、车速.A、4 B、8 C、12 D、16 8、如图所示，四边形 ABCD 中，DCAB，BC=1， AB=AC=AD=2则 BD 的长为（ B B ）A、 B、 C、 D、14153 22 3二、填空题（每小题二、填空题（每小题 4 4 分，共分，共 2424 分）分）9、设ab，是方程的两个实数根，则22aab的值为_20112011_.220120xx10、如图，平面内 4 条直线是一组平行线，相邻 2 条1234llll、平行线的距离都是 1 个单位长度，正方形 ABCD 的 4 个顶点 A、B、C、D 都在这些平行线上，其中点 A、C 分别在直线上，14ll、该正方形的面积是 9 9
5、或或 5 5 平方单位11、如图，在平面直角坐标系中，反比例函数)0, 0(kxxky的图象经过点 A（1, 2） ，B（m ，n） （m1） ，过点 B 作 y 轴的垂线,垂足为 C.若ABC 面积为，则点 B 的坐标为_（3 3，_.）3212、 如图，等腰梯形 MNPQ 的上底长为 2，腰长为 3，一个 底角为 60正方形 ABCD 的边长为 1，它的一边 AD 在 MN 上，且顶点 A 与 M 重合现将正方形 ABCD 在梯 形的外面沿边 MN、NP、PQ 进行翻滚，翻滚到有一个顶 点与 Q 重合时，点 A 所经过的路线与梯形 MNPQ 的三边MN、NP、PQ 所围成图形的面积是_72
6、313、如图，在矩形 ABCD 中，AB=2，BC=4，D 的半径为 1 现将一个直角三角板的直角顶点与矩形的对称中心 O 重合，绕着 O 点转动三角板，使它的一条直角边与D切于点 H，此时两直角边与 AD 交于 E，F 两点，则的值为 tanEFO3 4 14、已知三个边长分别为 2、3、5 的正三角形从左到右如图排列，则图中阴影部分面积为_3 8三、解答题（第三、解答题（第 1515、1616 小题各小题各 1010 分，第分，第 1717、1818 小题各小题各 1212 分，共分，共 4444 分）分） 15、如图，一个边长为 16m 的正方形客厅，用边长分别为 1m 和 0.5m 的
7、两种正方形地板 砖铺设其地面要求正中心一块是边长为 1m 的大地板砖，然后从内到外一圈小地板 砖、一圈大地板砖相间镶嵌问铺好整个客厅地面共需要边长为 1m 的大地板砖多少 块？ 解：客厅面积=1616=256m2 从图中可看出 1m 一块，则 0.5m 的正好两块，但是每个角 上又少一个边长 0.5m 的地板砖 大小的个数比为 37：48 则设大地板砖个数为 x，小的为 y 37x+48y=256 37：48=x：y 解得 x=181（块） 答：铺好整个客厅地面共需要边长为 1m 的大地板砖 181 块 16、我们规定：等腰三角形的底边与腰的比叫做顶角的正对例如，在ABC 中，AB=AC，顶角
8、 A 的正对记作 sadA，这时 sadA容易知道一个角的大小与BC AB底边 腰这个角的正对值是相互唯一确定的根据上述角的正对定义，解下列问题： （1）对于 0A180，A 的正对值 sadA 的取值范围是 0 0sadAsadA2 2 （2）sad36= 51 2（3）已知 sinA，其中A 为锐角，试求 sadA 的值3 5解：（3）如图，在ABC 中，ACB=90，sinA=3 5在 AB 上取点 D，使 AD=AC，作 DHAC，H 为垂足，令 BC=3k，AB=5k，则 AD=AC=4k，22(5 )(3 )kk又在ADH 中，AHD=90，sinA=DH=ADsinA=k，3 5
9、12 5AH=k22ADDH16 5则在CDH 中，CH=ACAH=k，CD=k4 522DHCH4 10 5于是在ACD 中，AD=AC=4k，CD=k4 10 5由正对的定义可得：sadA=，即 sad=10 510 517、如图，梯形 ABCD 中，ADBC，CDBC，已知 AB=5，BC=6，cosB=点 O 为 BC 边3 5 上的动点，连结 OD，以 O 为圆心，BO 为半径的O 分别交边 AB 于点 P，交线段 OD 于点 M，交射线 BC 于点 N，联结 MN （1）当 BO=AD 时，求 BP 的长； （2） 点 O 运动的过程中，是否存在 BP=MN 的情况？若存在，请求出
10、当 BO 为多长时 BP=MN；若不存在，请说明理由； （3）在点 O 运动的过程中，以点 C 为圆心，CN 为半径作C，请直接写出当C 存在 时，O 与C 的位置关系，以及相应的C 半径 CN 的取值范围.解：（1）过点 A 作 AEBC,由 AB=5，cosB=得 BE=3 3 5CDBC，AD/BC，BC=6，AD=EC=BC-BE=3当 BO=AD=3 时， 过点 O 作 OHAB,则 BH=HP,BH= BP=cosBHBBO3935518 5 （2）不存在 BP=MN 的情况 假设 BP=MN 成立，则必有BOP=DOC过 P 作 PQBC，过点 O 作 OHAB, CDBC，则有
11、PQODOC设 BO=x，则 PO=x,由，得 BH=, BP=2BH=3cos5BHBx3 5x6 5xBQ=BPcosB=，PQ=，OQ=18 25x24 25x187 2525xxxPQODOC，即，得PQDC OQOC24 425 76 25xxx29 6x ABCDOPMNABCD（备用图）ABCDOPMNQH当时，BP=5=AB，与点 P 应在边 AB 上不符，29 6x 6 5x29 5 不存在 BP=MN 的情况 （3）情况一：O 与C 相外切，此时，0CN6；情况二：O 与C 相内切，此时，0CN.7 3 18、已知：二次函数2yaxbxc的图象与 x 轴交于 A、B 两点，
12、与 y 轴交于点 C， 其中点 B 在 x 轴的正半轴上，点 C 在 y 轴的正半轴上，线段 OB、OC 的长（OBOC） 是方程 x210x160 的两个根，且 A 点坐标为（6，0） （1）求此二次函数的表达式； （2）若点 E 是线段 AB 上的一个动点（与点 A、点 B 不重合） ，过点 E 作 EFAC 交 BC 于点 F，连接 CE，设 AE 的长为 m，CEF 的面积为 S，求 S 与 m 之间的函数关系 式，并写出自变量 m 的取值范围； （3）在（2）的基础上试说明 S 是否存在最大值，若存在，请求出 S 的最大值， 并求出此时点 E 的坐标，判断此时BCE 的形状；若不存在
13、，请说明理由 解：(1）解方程 x210x160 得 x12，x28 B（2，0）、C（0，8） 所求二次函数的表达式为 y x2 x8 2 38 3 （2）AB8，OC8，依题意，AEm，则 BE8m， OA6，OC8， AC10. EFAC, BEFBAC. . 即 . EF.EF ACBE ABEF 108m 8405m 4 过点 F 作 FGAB，垂足为 G，则 sinFEGsinCAB . . 4 5FG EF4 5FG 8m. 4 5405m 4 SSBCESBFE118) 88) 8)22mmm （0m8）2142mm (3)存在 理由如下:S m24m （m4）281 21 2 当 m4 时，S 有最大值，S最大值最大值8. m4，点 E 的坐标为（2，0） BCE 为等腰三角形
