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1、专题五 方案设计问题方案设计问题涉及面较广，内容比较丰富，题型变化较多，不仅有方程、不等式、函数，还有几何图形的设计等.方案设计型题是通过设置一个实际问题情境，给出若干信息，提出解决问题的要求，要求学生运用学过的知识和方法，进行设计和操作，寻求恰当的解决方案.有时也给出几个不同的解决方案,要求判断哪个方案较优.它包括与方程、不等式有关的方案设计、与函数有关的方案设计和与几何图形有关的方案设计.方案设计问题常见类型：1.解决与方程、不等式有关的方案设计题目，通常利用方程或不等式求出符合题意的方案；2.与函数有关的方案设计一般有较多种供选择的解决问题的方案，但在实施中要考虑到经济因素，此类问题类似
2、于求最大值或最小值的问题，通常用函数的性质进行分析；3.与几何图形有关的方案设计，一般是利用几何图形的性质，设计出符合某种要求和特点的图案.方程、不等式方案设计【技法点拨】方程、不等式方案设计的主要步骤(1)利用方程、不等式建立相应的数学模型；(2)列出方程(组)或不等式(组)；(3)通过解方程(组)或不等式(组)，确定未知数的值；(4)确定方案.【例1】(2012广安中考)某学校为了改善办学条件，计划购置一批电子白板和一批笔记本电脑.经投标，购买1块电子白板比买3台笔记本电脑多3 000元，购买4块电子白板和5台笔记本电脑共需8万元.(1)求购买1块电子白板和一台笔记本电脑各需多少元？(2)
3、根据该校实际情况，需购买电子白板和笔记本电脑的总数为396，要求购买的资金不超过2 700 000元，并且购买笔记本电脑的台数不超过电子白板数量的3倍.该校有哪几种购买方案？(3)上面的哪种购买方案最省钱？按最省钱方案购买需要多少钱？【思路点拨】(3)根据(2)中的方案算出每个方案的费用，求出结果. 【自主解答】(1)设购买1块电子白板需要x元，一台笔记本电脑需要y元，由题意得：解得答：购买1块电子白板需要15 000元，一台笔记本电脑需要4 000元(2)设购买电子白板a块,则购买笔记本电脑(396-a)台,由题意得;解得：a为正整数，a=99，100，101，则电脑依次买：297台，296
4、台，295台因此该校有三种购买方案：方案一：购买笔记本电脑295台，则购买电子白板101块；方案二：购买笔记本电脑296台，则购买电子白板100块；方案三：购买笔记本电脑297台，则购买电子白板99块(3)购买笔记本电脑和电子白板的总费用为：方案一：2954 000+10115 000=2 695 000(元)方案二：2964 000+10015 000=2 684 000(元)方案三：2974 000+9915 000=2 673 000(元)因此，方案三最省钱，按这种方案共需费用2 673 000元【对点训练】1.(2012资阳中考)为了解决农民工子女就近入学问题，我市第一小学计划2012
5、年秋季学期扩大办学规模学校决定开支八万元全部用于购买课桌凳、办公桌椅和电脑，要求购买的课桌凳与办公桌椅的数量比为201，购买电脑的资金不低于16 000元，但不超过24 000元已知一套办公桌椅比一套课桌凳贵80元，用2 000元恰好可以买到10套课桌凳和4套办公桌椅(课桌凳和办公桌椅均成套购进)(1)一套课桌凳和一套办公桌椅的价格分别为多少元？(2)求出课桌凳和办公桌椅的购买方案【解析】(1)设一套课桌凳和一套办公桌椅的价格分别为x元和y元，得 解得，一套课桌凳和一套办公桌椅的价格分别为120元和200元.(2)设购买办公桌椅m套，则购买课桌凳20m套，由题意有解得，m为整数，m=22,23
6、,24，有三种购买方案.2.(2011湛江中考)某工厂计划生产A,B两种产品共10件，其生产成本和利润如下表：(1)若工厂计划获利14万元,问A,B两种产品应分别生产多少件？(2)若工厂计划投入资金不多于44万元，且获利多于14万元，问工厂有哪几种生产方案？(3)在(2)的条件下,哪种生产方案获利最大？并求出最大利润A种产产品B种产产品成本(万元/件)25利润润(万元/件)13【解析】(1)设生产A种产品x件，则生产B种产品(10-x)件，则x1+(10-x)3=14，解得x=8，所以应生产A种产品8件，B种产品2件.(2)设应生产A种产品x件，则生产B种产品(10-x)件，由题意有解得2x8
7、；所以可以采用的方案：A种产品2件，B种产品8件；A种产品3件，B种产品7件；A种产品4件，B种产品6件；A种产品5件，B种产品5件；A种产品6件，B种产品4件；A种产品7件，B种产品3件.共6种方案；(3)由已知可得，B产品生产越多，获利越大，所以当A种产品生产2件，B种产品生产8件时可获得最大利润，其最大利润为21+83=26(万元).3(2011德州中考)为创建“国家卫生城市”，进一步优化市中心城区的环境，德州市政府拟对部分路段的人行道地砖、花池、排水管道等公用设施全面更新改造，根据市政建设的需要，须在60天内完成工程.现在甲、乙两个工程队有能力承包这个工程.经调查知道：乙队单独完成此项
8、工程的时间比甲队单独完成多用25天，甲、乙两队合作完成工程需要30天，甲队每天的工程费用为2 500元，乙队每天的工程费用为2 000元.(1)甲、乙两个工程队单独完成各需多少天？(2)请你设计一种符合要求的施工方案，并求出所需的工程费用.【解析】(1)设甲工程队单独完成该工程需x天，则乙工程队单独完成该工程需(x+25)天.根据题意得：方程两边同乘以x(x+25),得30(x+25)+30x=x(x+25),即x2-35x-750=0.解得x1=50,x2=-15.经检验，x1=50,x2=-15都是原方程的解.但x2=-15不符合题意，应舍去.x=50，当x=50时，x+25=75.答：甲
9、工程队单独完成该工程需50天，乙工程队单独完成该工程需75天.(2)此问题只要设计出符合条件的一种方案即可.(答案不唯一)方案一：由甲工程队单独完成.所需费用为2 50050=125 000(元).方案二：甲、乙两队合作完成.所需费用为：(2 500+2 000)30=135 000(元).函数方案设计 【技法点拨】函数方案设计是指由题目提供的背景材料或图表信息，确定函数关系式.利用函数图象的性质获得解决问题的具体方法.解决此类问题的难点主要是正确确定函数关系式，关键是熟悉函数的性质及如何通过不等式确定函数自变量的取值范围.【例2】(2012德州中考)现从A，B向甲、乙两地运送蔬菜，A，B两个
10、蔬菜市场各有蔬菜14吨，其中甲地需要蔬菜15吨，乙地需要蔬菜13吨，从A到甲地运费50元/吨，到乙地30元/吨；从B地到甲地运费60元/吨，到乙地45元/吨.(1)设A地到甲地运送蔬菜x吨，请完成下表：(2)设总运费为W元，请写出W与x的函数关系式;(3)怎样调运蔬菜才能使运费最少？运往甲地(单单位：吨 )运往乙地(单单位：吨 )AxB【思路点拨】【自主解答】(1)(2)由题意，得W=50x+30(14-x)+60(15-x)+45(x-1),整理得,W=5x+1 275. 运往甲地(单位：吨) 运往乙地(单位：吨)Ax14-xB15-xx-1(3)A，B到两地运送的蔬菜为非负数， 解不等式组
11、，得1x14,在W=5x+1 275中，W随x的增大而增大,当x最小为1时，W有最小值1 280元.当A运往甲地蔬菜为1吨，运往乙地蔬菜为13吨；B运往甲地蔬菜为14吨，运往乙地蔬菜为0吨时，运费最少，为1 280元.【对点训练】4.(2012益阳中考)为响应市政府“创建国家森林城市”的号召，某小区计划购进A，B两种树苗共17棵，已知A种树苗每棵80元，B种树苗每棵60元(1)若购进A，B两种树苗刚好用去1 220元，问购进A，B两种树苗各多少棵？(2)若购买B种树苗的数量少于A种树苗的数量，请你给出一种费用最省的方案，并求出该方案所需费用【解析】(1)设购进A种树苗x 棵，则购进B种树苗(1
12、7-x)棵，根据题意得： 80x+60(17-x)=1 220,解得x=10，17-x=7.答：购进A种树苗10棵，B种树苗7棵.(2)设购进A种树苗x棵,则购进B种树苗(17-x)棵,根据题意得：17-xx,解得购进A,B两种树苗所需费用为80x+60(17-x)=20x+1 020,则费用最省需x取最小整数9，此时17-x=8,这时所需费用为809+608=1 200(元).答：费用最省方案为：购进A种树苗9棵，B种树苗8棵. 这时所需费用为1 200元.5.(2012嘉兴中考)某汽车租赁公司拥有20辆汽车据统计，当每辆车的日租金为400元时，可全部租出；当每辆车的日租金每增加50元时，未
13、租出的车将增加1辆；公司平均每日的各项支出共4 800元设公司每日租出x辆车时，日收益为y元(日收益=日租金收入-平均每日各项支出)(1)公司每日租出x辆车时，每辆车的日租金为_元(用含x的代数式表示)；(2)当每日租出多少辆时，租赁公司日收益最大？最大是多少元？(3)当每日租出多少辆时，租赁公司的日收益不盈也不亏？【解析】(1)某汽车租赁公司拥有20辆汽车据统计，当每辆车的日租金为400元时，可全部租出；当每辆车的日租金每增加50元时，未租出的车将增加1辆；当全部未租出时，每辆租金为：400+2050=1 400元，公司每日租出x辆车时，每辆车的日租金为1 400-50x.(2)根据题意得出
14、：y=x(-50x+1 400)-4 800，=-50x2+1 400x-4 800，=-50(x-14)2+5 000当x=14时，y有最大值5 000.当每日租出14辆时，租赁公司日收益最大，最大值为5 000元.(3)要使租赁公司日收益不盈也不亏，即y=0.即-50(x-14)2+5 000=0，解得x1=24，x2=4.x=24不合题意，舍去.当每日租出4辆时，租赁公司日收益不盈也不亏.6.(2012绵阳中考) 某种子商店销售“黄金一号”玉米种子,为惠民促销,推出两种销售方案供采购者选择.方案一:每千克种子价格为4元，无论购买多少均不打折；方案二:购买3千克以内(含3千克)的价格为每千
15、克5元,若一次性购买超过3千克的,则超过3千克的部分的种子价格打7折.(1)请分别求出方案一和方案二中购买的种子数量x(千克)和付款金额y(元)之间的函数关系式;(2)若你去购买一定量的种子,你会怎样选择方案?说明理由.【解析】(1)方案一：y=4x；方案二：y=5x(0x3),y=35+(x-3)570%=3.5x +4.5(x3)；(2)设购买x千克的种子时，两种方案所付金额一样，则4x=3.5x+4.5，解这个方程得：x=9，当购买9千克种子时，两种方案所付金额相同；当购买种子0x3时，方案一所付金额少，选择方案一；当购买种子3x9时，方案一所付金额少，选择方案一；当购买种子为9千克时，
16、两种方案所付金额相同；当购买种子质量超过9千克时,方案二所付金额少,应选择方案二.图形方案设计【技法点拨】方程、不等式方案设计问题主要是利用方程、不等式的相关知识，建立相应的数学模型，利用列方程(组)和不等式(组)，通过有关的计算，找到方程(组)的解和不等式(组)的解集，再结合题目要求，确定未知数的具体数值.未知数有几个值，即有几种方案.【例3】(2010枣庄中考)在33的正方形格点图中，有格点ABC和DEF，且ABC和DEF关于某直线成轴对称，请在下面给出的图中画出4个这样的DEF.【思路点拨】确定一条直线为对称轴，然后再画出DEF，使其与ABC关于这条直线成轴对称.【自主解答】答案不唯一，如图所示：【对点训练】7.(2010温州中考)七巧板是我们祖先的一项卓越创造，用它可以拼出多种图形.请你用七巧板中标号为，的三块板(如图1)经过平移、旋转拼成图形(1)拼成矩形，在图
