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1、三 峡 大 学2010 年研究生入学考试试题参考答案考试科目：824 理论力学（二）一、一、(15 分分)如图 1 所示的三铰拱桥，由左、右两拱铰接而成。设各拱自重不计，在拱 AC 上作用有载荷 P。试分别画出拱 AC 和 CB 的受力图。ACB图 1 解：由于拱 BC 自重不计，且只在 B、C 两处受到铰链约束，因此拱 BC 为二力构件。由于拱 AC 在、和三个力作用下平衡，根PCSAN据三力平衡汇交定理，确定铰链 A 处约束反力的方向。拱 AC 和 CBAN的受力，如图 1a 所示。CBCSBSACDPCSAN图 1a二、二、(25 分分)如图 2 所示，压路机的辗子重，半径。若kNP40
2、cmr120将此辗子拉过高的障碍物，在其中心作用一水平拉力，求cmh16OF此拉力的大小和辗子对障碍物的压力。 hrF o BAFoB APBN0ANP FBN图 2a 图 2b 图 2c解：选辗子为研究对象。辗子在重力、地面只承力、水平拉PAN力和障碍物的支反力的作用下处于平衡，如图 2b 所示。这些力汇FBN交于点，是一个平面汇交力系。当辗子刚离开地面时，拉O0AN力有最大值，这就是辗子越过障碍物的力学条件。F根据平面汇交力系平衡的几何条件，、和三个力应组成一PBNF个封闭的力三角形。应用三角公式，求得：（1）PtgF （2）cosPNB由图中的几何关系，求得：（3）577. 0)(22
3、hrhrrtg代入（1） 、 （2）式：kNNkNFB1 .235 .11 由作用力和反作用力关系知，辗子对障碍物的压力也等于 23.1kN。三、三、(30 分分)梯子 AB 靠在墙上，与水平面成角。梯子长，重量lAB 可以略去，如图 3 所示。已知梯子与地面、墙面间的静摩擦系数分别为、。重量为的人沿梯子登，他在梯上的位置点不能过高，即距1f2fPC离如超过一定限度，则梯子即将滑到。试求的范围。sAC ssCPACPABomaxAFmaxBFBNANxy B图 3a 图 3b解：设人沿梯子登已到极限位置，当时，梯子处于从静止maxss 转入滑倒的临界状态。梯子与地面的接触点 A 有沿地面向右滑
4、动的趋势，故该处摩擦力指向左方，且其大小达到最大值。同样maxAFANf1地，梯子与墙面的接触点 B 有向下滑动的趋势，故摩擦力指向上maxBF方，且其大小达到最大值。这时，梯子的受力图 3b 所示。、BNf2P、各力构成平面一般力系。取坐标轴如图 3b 所ANmaxAFBNmaxBF示，建立平衡方程： ； （1） 0X0maxABFN： ； （2） 0Y0maxPFNBA：（3） 0AM0)cos()sin()cos(maxmaxlFlNsPbB且有：(4)AANfF1max(5)BBNfF2max将（4） 、 （5）式代入（1） 、 （2）式中，消去后解得：AN(6)PffffNB2111
5、 将此值代入（3）式并利用关系式（5） ，整理后得到：BN(7)lffftgfs2121 max1)( 因此，为保持梯子静止，值的范围为：s(8)lffftgfs2121 max1)(0四、四、(30 分分)凸轮在水平面上向右作减速运动，如图 5 所示。求杆 AB 在图示位置时的加速度。设凸轮半径为，图示瞬时的速度和加速度分别R为和。aABR a eaaaanr raare图 5a 图 5b解：以杆 AB 上的点 A 为动点，凸轮为动参考体，则点 A 的绝对轨迹为直线，相对轨迹为凸轮轮廓曲线。由于牵连运动为平动，点的加速度合成定理为：（1）reaaaa式中为所求的加速度，已知它的方向沿直线 A
6、B，但指向和大小尚待aa确定。点 A 的牵连加速度为凸轮上与动点重合的那一点的加速度，即：（2）aaa点 A 的相对轨迹为曲线，于是相对加速度分为两个分量：切线分量的大小和指向都是未知的，法向分量的方向如图所示，大小为： ran ra（3）Rarn r2式中的相对速度可根据速度合成定理求出，它的方向如图 5b 所示。r大小为：（4） sinsine r于是（5）22sin1 Ran r加速度合成定理可写成如下形式：（6）n rreaaaaa假设和的指向如图所示。将上式投影到法线上，得aa ra（7）n reaaaacossin解得：（8）3222sin)sincos(sin1 RactgRaa
7、a当时，说明假设的的方向恰是真实的方向。0900aaaa五、 （25 分）分）半径为 r，重为的半圆柱体放在光滑的水平面上，一重为1P的小球从圆柱顶点无初速的滑下，如图 5 所示。 （1）列写系统运2P动微分方程；（2）求小球离开圆柱体前的轨迹。A图 5解：（1）系统具有两个自由度，选为广义坐标。研究半圆柱体与小, x球 A 所组成的系统。作用在系统上的外力如图（a）所示，xyAp1p2xAp2N(a)(b)系统动量在水平方向守恒，即，得出：0. cxm0.2.1AxgPxgP而cossin,cos,sin2. rrxxrxxrxxAAAsincos,sin,cos.2. rrxrxryAAA
8、故 0)cossin(.2.2.1rrxgPxgP 1再以小球 A 为分析对象，其受力图与加速度分析图如图（b）所示。列写小球的运动微分方程sin)cos(2.2PxrgP 2NPxrgPcos)sin(2.2.2 3式为系统的运动微分方程，整理后得 1 20sincos0)sincos()( .2.2.21grxrrpxpp（3）系统的初始动量为零，由系统在水平方向动量守恒得出sin)(121rpxppA所以小球的轨迹方程为：cossin211ryrpppxAA六、(25 分分)如图 6 所示之滚子，重量为，半径为，在常力作用下GRP从静止开始沿斜面作无滑动的滚动。设斜面与水平面成角；力 作
9、P用于滚子的中心，其方向与斜面成角。若滚子可以看作均质圆柱，C试求当滚子中心 沿斜面上升距离时滚子的角速度值。CssPFGNCc图 6解：以滚子为对象，考察滚子沿斜面滚动而上升距离这段过程。s过程开始时，滚子尚处于静止，其动能。过程终了时，计算滚子01T的动能为：(1)22 221 21ccgGJT滚子作为均质圆柱，对质心轴的转动惯量为。因2 21RgGJc为滚子沿斜面作无滑动的滚动，所以。代入（1）式得：Rc(2)22 243RgGT 在这过程中，滚子的受力情况如图 6 所示。常力的功为P；重力的功为。至于斜面的法向反力和滑动摩cosFsGsinGsN擦力，它们在滚子上的作用点就是滚子的速度瞬心，其瞬时速度为F零，力和的元功恒为零，所以它们在此过程中的全功也等于零。NF应用功能原理，可得：(3)sincos04322GsPsRgG解得：(4)sincos(341GPGsg R
