《2008年第7届中国女子数学奥林匹克(cgmo)试题(含答案)》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2008年第7届中国女子数学奥林匹克(cgmo)试题(含答案)（12页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、120082008 年第七届中国女子数学奥林匹克年第七届中国女子数学奥林匹克2008 年第七届中国女子数学奥林匹克竞赛于 8 月 11 日至 8 月 18 日在广东省中山纪念 中学隆重举行。中国数学奥林匹克竞赛委员会主席王杰教授，广东省教育厅副厅长叶小山 ，中山市人大常委会副主任吴建新，中山市教育局局长刘传沛、副局长周信、中山纪念中 学校长贺优琳等领导及专家出席了开幕式。共有 48 支队伍参与参赛，其中有来自美国、菲 律宾、中国香港和澳门特别行政区的 8 支参赛队伍，参赛选手 180 余人。 中国女子数学奥林匹克竞赛始于 2002 年，每年举办一次，至今成功举办六届，吸引了 来自国内外众多女子
2、精英。 该活动的主要目的是提高女中学生学习数学的兴趣和信心，提 升女中学生数学素质的整体水平。 她们除了参加两次数学比赛外， 还组织了健美操比赛 和其它娱乐活动。 数学考试分一试和二试，选手个人总成绩为一、二试得分之和。个人按 比赛成绩角逐 15 块金牌、30 块银牌、45 块铜牌。本次活动的主试委员会由朱华伟、叶中 豪， 冯祖鸣， 刘诗雄， 李胜宏，李伟固， 郑焕， 邹宇， 梁应德， 熊斌等专家组成。1(a) 问能否将集合1, 2,96表示为它的 32 个三元子集的并集，且三元子集的元素之和都相等；(b) 问能否将集合1, 2,99表示为它的 33 个三元子集的并集，且三元子集的元素之和都相
3、等(刘诗雄供题)2已知实系数多项式32( )xaxbxcxd有三个正根，且(0)0求证：322970ba dabc (朱华伟供题)3. 求最小常数1a ，使得对正方形ABCD内部任一点P，都存在,PABPBCPCDPDA中的某两个三角形，使得它们的面积之比属于区间1, aa(李伟固供题)4 在凸四边形 ABCD 的外部分别作正三角形 ABQ，正三角形 BCR，正三角形CDS，正三角形 DAP，记四边形 ABCD 的对角线之和为 x，四边形 PQRS 的对2边中点连线之和为 y，求y x的最大值(熊斌供题)5 已知凸四边形 ABCD 满足 ABBC，ADDCE 是线段 AB 上一点，F 是线段
4、AD 上一点，满足 B，E，F，D 四点共圆作DPE 顺向相似于ADC；作BQF 顺向相似于ABC求证：A，P，Q 三点共线(叶中豪供题)（注：两个三角形顺向相似是指它们的对应顶点同按顺时针方向或同按逆时针方向排列 ）QPCABDEF6. 设正数列12,nx xx满足 7 21187)8xx x（及88 21 117 1,2()kk kkk kkxxxxxkx x 求正实数a，使得当1xa时，有单调性12nxxx；当10xa时，不具有单调性(李胜宏供题)37. 给定一个 20082008 的棋盘，棋盘上每个小方格的颜色均不相同在棋盘的每一个小方格中填入C，G，M，O这 4 个字母中的一个，若棋
5、盘中每一个 22 的小棋盘中都有C，G，M，O这 4 个字母，则称这个棋盘为“和谐棋盘”问有多少种不同的“和谐棋盘”？(冯祖鸣供题)8 对于正整数n，令2200822009nn nf求证：数列12,ff 中有无穷多个奇数和无穷多个偶数(x表示不超过 x 的最大整数) (冯祖鸣供题)参考答案参考答案1、解：(a)不能因为96 (96 1)32|129648 972(b)能每个三元集的元素和为129999 (99 1)1503333 2将1, 2,3, 66每两个一组，分成 33 个组， ，每组两数之和可以排成一个公差为 1的等差数列：1 50,349,3334,266, 465,3251 故如下
6、 33 组数，每组三个数之和均相等： 1,50,99 , 3,49,98 , 33,34,83 , 2,66,82 , 4,65,81 , 32,51,67 .注：此题的一般情况是设集合1, 2,3,3Mn的三元子集族,iiiiAxy z，1,2,in 满足12nAAAM记iiiisxyz，求所有的整数n，使对任意 ,(1)i jijn ，ijss解：首先，|1233nn ，即3 (31)2|312nnnn 所以，n为奇数又当n为奇数时，可将1, 2,3, 2n每两个一组，分成n个组，每组两数之和可以排成一个公差为 1 的等差数列：111 (),3(),(1)22nnnnnn；4322 , 4
7、(21), (1)()2nnnnn其通项公式为1121 (1)1,22 1312(1) 2(1).22knnknkk annnknkkn 易知93312knank 为一常数，故如下n组数每组三个数之和均相等：1111,3, 3,31 ,1,31222nnnnnnnn nn ；332,2 ,31,1,2122nnnnnnn 当n为奇数时，依次取上述数组为12,nA AA，则其为满足题设的三元子集族故n为所有的奇数2、证明：设实系数多项式32( )xaxbxcxd的三个正根分别为1x ，2x，3x，由韦达定理有123bxxxa ，12233 1cx xx xx xa，123dx x xa 由(0)
8、0，可得0d ，故0a 不等式两边同除以3a，不等式等价于3 729bcbd aaaa，3 12312233 11231237()()2()9xxxx xx xx xxxxx x x，222222333 1213212331321232()x xx xx xx xx xx xxxx 因为1x ，2x，3x大于 0，所以22 1212()()0.xxxx也就是2233 122112.x xx xxx同理22332233 233223311331,.x xx xxxx xx xxx三个不等式相加可得不等式，当且仅当123xxx时不等式等号成立3、解：min15 2a首先证明min15 2a，记15
9、 2不妨设正方形边长为2 对正方形ABCD内部一点P，令1S，2S，3S，4S分别表示PAB，5PBC，PCD，PDA的面积，不妨设1243SSSS令1224,SS SS，如果, ，由13241SSSS，得221S S，得21S 故2121111111SS ，矛盾故min, ，这表明mina反过来对于任意(1,)a，取定15( ,)2ta，使得28 19tbt我们在正方形ABCD内取点P，使得12342,1bbSb SSSbtt ，则我们有122315( ,)2SStaSS ，3 2 42,(1)4(1)SbbaStbb由此我们得到对任意,1,2,3,4i j，有1, ijSaaS这表明min
10、a4、解：若四边形 ABCD 是正方形时，可得y x13 2下面证明：y x13 2设1111,P Q R S分别是边 DA，AB，BC，CD 的中点，SP，PQ，QR，RS 的中点分别为 E，F，G，H则1111P Q R S 是平行四边形连接11,PE S E ，设点 M，N 分别是 DP，DS 的中点，则11DSS NDNEM，11DPPMMDEN，又 113606060PDSPDS240(180)60ENDEND611ENSEMP ，所以 1111DPSMPENES ，从而，11EPS是正三角形同理可得，11GQ R 也是正三角形设 U，V 分别是11PS ，11Q R 的中点，于是有
11、11111133 22EGEUUVVGPSPQQ R111113322PQPSBDAC，同理可得 13 22FHACBD，把上面两式相加，得13 2yx，即 y x13 275、证明证明 将 B、E、F、D 四点所共圆的圆心记作 O联结 OB、OF、BD在BDF 中，O 是外心，故BOF2BDA；又ABDCBD，故CDA2BDA于是BOFCDAEPD，由此可知等腰BOFEPD 另一方面，由 B、E、F、D 四点共圆知ABFADE 综合，可知，四边形 ABOF四边形 ADPE，由此得BAODAP 同理，可得BAODAQ ，表明 A、P、Q 三点共线。FOPCABDE【附注附注】事实上，当四边形
12、ABCD 不是菱形时，A、P、Q 三点共线与B、E、F、D 四点共圆互为充要条件8可利用同一法给予说明：取定 E 点，考虑让 F 点沿着直线 AD 运动根据相似变换可知，这时 Q 点的轨迹必是一条直线，它经过 P 点（由充分性保证） 以下只要说明这条轨迹与直线 AP 不重合即可，即只要论证 A 点不在轨迹上为此，作BAABQFABC于是由BAAABC，可得 AABC又因四边形 ABCD 不是菱形，故 AD 不平于 BC这就表明 A、A、D 三点不共线，也就保证了 A 点不在轨迹上因此，只有当 B、E、F、D 四点共圆时，Q 点才落在直线 AP 上AQPCABDEF而当四边形 ABCD 是菱形时
13、，不管 E、F 位置如何，所得到的 P、Q 两点总位于对角线 AC 上9PQCBDAFE6、解：由88 21 117 1()kk kkk kkxxxxxx x ，有1 88 1111kkkkkkxx xxxx即12 888 11111117=8kkkkkkxxx xxxxxx于是，7 17 8kkkxxx，则当10x 时，0,2kxk由8 11()8kkkkxxxx，则当8108kx，即1 88kx 时，有10kkxx，即1,1kkxxk 而1 78817718=888kkkxxx，且当1 8=8kx时，等号成立于是，取1 8=8a，则当1 88kx时12nxxx当1 8 18x 时，21xx且23nxxx故所求常数1 8=8a107、解：有200812 224种不同的“和谐棋盘”我们首先证明下面这个结论：在每个“和谐棋盘”中，至少出现以下情况中的某一种：(1) 每一行都是某两个字母交替出现；(2) 每一列都是某两个字母交替出现其实，假设某一行不是交替的，则这一行必定包含三个相邻的小方格填有不同的字母不失一般性，假设这三个字母为C，G，M，如图 1 所示这很容易得到25XXO，并且14XXM和36XXC，如图 2 所示图 1 图 2同理，我们就可以得到这三列都是两个字母交替出现从而容易得到每一列都
