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1、向量加法运算及其几何意义1课题：2.2.1 向量加法运算及其几何意义东莞市第十高级中学 梁春霞本节内容：普通高中课程标准实验教科书（人教 A 版） 数学必修 4第二 章平面向量的第二节“平面向量的线性运算”的第一课时-向量加法运算 及其几何意义下面，我从内容和内容解析、目标和目标解析、教学问题诊断分析、教学 支持条件分析、教学过程设计、目标检测设计、教学反思七个方面对本节课的 教案设计加以说明.一内容和内容解析一内容和内容解析向量的加法是学生在认识向量概念之后首先要掌握的运算，其主要内容有 向量加法的定义，向量求和的三角形法则和平行四边形法则，向量加法满足的 运算律及向量加法的实际应用向量的加
2、法让学生进一步加强对向量几何意义 的理解，还为接下来学习向量的减法奠定基础，起到承上启下的重要作用 数的加法启发我们，从运算的角度看，位移的合成、力的合成可看作向量 的加法.借助于物理中位移的合成、力的合成来理解向量的加法，让学生顺理成 章接受向量的加法定义结合图形掌握向量加法的三角形法则和平行四边形法 则.联系数的运算律理解和掌握向量加法运算的交换律和结合律教学重点：会用向量加法的三角形法则和平行四边形法则，作两个向量的 和向量.二目标和目标解析二目标和目标解析 1通过对向量加法的探究，使学生掌握向量加法的概念，结合物理学实际 理解向量加法的几何意义能正确领会向量加法的三角形法则和平行四边形
3、法 则的几何意义，并能运用法则作出两个已知向量的和向量 2在应用中，理解向量加法满足交换律和结合律以及表述两个运算律的几 何意义掌握有特殊位置关系的两个向量之和，比如共线向量，共起点向量、 共终点向量等 3通过本节的学习，培养学生类比、迁移、分类、归纳等数学方面的能 力三教学问题诊断三教学问题诊断 向量的加法可以通过数的加法类比而得，但是向量既是代数的对象，又是 几何的对象，其加法涉及到方向，对于方向相反的两个向量相加，学生可能对 其有一定的陌生 向量加法的三角形法则和平行四边形法则通过物理学中位移和力的合成推 导而出三角形法则的实质是首尾相接连端点平行四边形法则的实质是起点 相同连对角对不共
4、线向量相加，两个法则都可以选用由共线向量的加法总 结出三角形法则适用于任意两个向量的相加，而平行四边形法则仅适用于不共 线向量相加向量加法运算及其几何意义2教学难点：对三角形法则的理解；方向相反的两个向量的加法主要是让 学生认识到三角形法则的实质是：将已知向量首尾相接，而不是表示向量的有 向线段之间必须构成三角形四教学支持条件分析四教学支持条件分析 1多媒体技术的运用，能直观地表现向量的平移，相等向量的意义，更能 说清两个法则的几何意义及运算律 2让学生利用三角板在黑板上自己画图证明向量加法的结合律，培养他们 探索问题，解决问题的能力，感受成功的喜悦 3利用实物投影仪投影学生自己探究的问题，并
5、且给与适当的评价与鼓 励五教学过程五教学过程 数学学习过程是学生在原有认知基础上的主动建构，学生是认知的主体， 设计教学过程必须遵循学生的认知规律，尽可能地让学生去经历知识的形成与 发展过程，为了更好地使不同层次的学生形成自己对课题知识的理解，结合本 教材的特点，我设计了如下的教学过程，启发学生逐步认识向量加法的定义及 其几何意义, 会用向量加法的三角形法则和平行四边形法则作两个向量的和向 量,掌握向量加法运算律的交换律和结合律， 初步形成用向量加法运算解决实 际问题的能力.一一 溯本逐源溯本逐源数可以进行运算，而且每一种运算都有自己的定义、法则和运算规律，与 数的运算类比，向量是否也能进行运
6、算呢？ 在探讨这个问题之前，先来回忆上节课学习的内容： （1） 向量是怎么定义的 （既有大小，又有方向的量叫做向量 ） （2） 判断下列量哪些是向量： 长度、位移、质量、体积、力（设计意图：通过对旧知识的回忆，引出新课的内容 ）二二 趁热打铁趁热打铁在众多的量中，我们知道位移和力是向量，下面一起来思考几个问题问题 1：如图 1，某人从点 A 到点 B，再从点 B 按原方向到点 C，则两次 位移的和可用哪个向量表示？由此可得到什么结论？ 说明：ABC（图 1）ABBCACuuu ruuu ruuu r问题 2：如图 2，某人从点 A 到点 B，再从点 B 按反方向到点 C，则两次 位移的和可用哪
7、个向量表示？由此可得到什么结论？ 说明：向量加法运算及其几何意义3ABC （图 2）ABBCACuuu ruuu ruuu r问题 3：如图 3，某人从点 A 到点 B，再从点 B 改变方向到点 C，则两次 位移的和可用哪个向量表示？由此可得到什么结论？ 说明：ABC（图 3）ABBCACuuu ruuu ruuu r上述分析表明，两个向量可以相加，并且两个向量的和还是一个向量一般地，求两个向量和的运算，叫做向量的加法上述求两个向量和的方 法，称为向量加法的三角形法则 （设计意图：三个相关问题的思考，让学生自发的总结两个向量可以相加， 并且其和还是一个向量，总结出向量的加法的定义和向量加法的三
8、角形法则定 义 ）三三 顺藤摸瓜顺藤摸瓜位移的合成可以看作向量加法三角形法则的物理模型，而力的合成又可以看作向量加法的什么物理模型呢？一起来探究一下：如图 4 表示橡皮条在两个力和的作用下，沿着的方向伸长了;1F2FGCEO如图 5 表示橡皮条在一个力的作用下，沿相同的方向伸长了相同长度F .EOOF1F2GE(图 4)向量加法运算及其几何意义4EGFO (图 5)从力学的观点看，力与,之间的关系如何？F1F2F分析：力对橡皮条产生的效果与力,共同作用产生的效果相同，物理F1F2F学中把力叫做与的合力F1F2F从图 6 我们可以发现，力在以,为邻力平行四边形的对角线上，并且F1F2F大小等于平
9、行四边形对角线的长FF1F2GCABEO(图 6)由上面的分析，力的合成可以看作向量加法平行四边形的物理模型说明：数的加法启发我们，从数的运算的角度看，可以认为是与的ACuuu rABuuu rBCuuu r和，可以认为是与的和，即位移，力的合成可以看作向量的加法F1F2F（设计意图：位移和力都是向量，让学生从位移的合成可以看作向量加法三 角形法则的物理模型为基础，探究力的合成是向量加法的平行四边形法则的物 理模型 ）四四 牛刀小试牛刀小试例 1：如图 7，已知向量，求作向量arbrabrr（图 7）说明：让学生自己动手作图，老师在班级巡视并指导，找两个学生分别用 不同的方法在黑板上作出作法
10、1： （1）在平面内任取一点 O（如图 8） ，（2）作，OAauu u rrABbuuu rrba向量加法运算及其几何意义5（3）作OBabuuu rrr作法 2：（1）在平面内任取一点 O（如图 9） ，（2）作，OAauu u rrOBbuuu rr（3）作OCabuuu rrrOABOAC B（图 8） (图 9)说明：作图完毕后，让学生归纳总结用三角形法则和平行四边形法则球作 两个向量的和向量，其作用特点分别如何？ 三角形法则：首尾相接连端点 平行四边形法则：起点相同连对角设计意图：通过例题分析，让学生会用向量加法的三角形法则和平行四 边形法则，作两个向量的和向量，并且学会归纳总结向
11、量加法的三角形法则和 平行四边形法则的作用特点五五 抽丝剥茧抽丝剥茧 问题 4：当在数轴上表示两个同向向量时，它们的加法与数的加法有什么 关系？ 说明：（图 10）ababrrrr问题 5：当在数轴上表示两个反向量时，它们的加法与数的加法又有什么 关系？ 说明：abababab+rrab+rrab+rra向量加法运算及其几何意义6（图 11）abbarrrr问题 6：当，不共线时，和向量的长度与向量，的长度和arbrabrrarbr之间的大小关系如何？abrr说明：（图 12）三角形的两边之和大于第三边，即当向量，不共线时有arbrababrrrr综上所述，我们可得结论：ababrrrr设计意
12、图：由两个向量共线与否，共线向量的方向相同与否，推出向量 的加法与数的加法的关系，在向学生讲授知识的同时向他们渗透分类讨论的数 学思想 六六 再接再厉再接再厉数的加法满足交换律和结合律，即对任意的，有, a bR，abbaabcabc那么对于任意向量，的加法是否也满足交换律与结合律？arbr一起画图探究：如图 13：作，以,为邻边作平行四边形,则ABauuu rrADbuuu rrABADABCD，因为，所以BCbuuu rrDCauuu rrACABBCabuuu ruuu ruuu rrrACADDCbauuu ruuu ruuu rrr 满足交换律abbarrrrbab+rrabab+r
13、r向量加法运算及其几何意义7ADCB(图 13)结合律让学生自己验证，并找学生上黑板上讲 综上所述，向量的加法满足交换律和结合律规定：00aaarrrrr设计意图：由数的加法满足交换律和结合律类比向量的加法也满足交换律 和结合律，让学生渗透出类比思想只探究交换律，而结合律的证明让学生自 己验证，培养学生自己解决问题的能力 七七 提纲挈领提纲挈领 1知识小结： (1)向量加法的定义 (2)向量加法的三角形法则和平行四边形法则作两个向量的和向量 (3)向量加法的运算律 2思想方法小结：类比思想 数形结合思想 归纳思想 分类讨论思想 六目标检测设计六目标检测设计学以致用学以致用 例 2：化简：(1)
14、 _ABCDBCuuu ruuu ruuu r(2) _ MABNACCBuuu ruuu ruuu ruu u r(3) _ABBDCADCuuu ruuu ruu u ruuu r例 3：长江两岸之间没有大桥的地方，常常通过轮渡进行运输如图所示 (见书 P83)，一艘船从长江南岸 A 点出发，以 5km/h 的速度向垂直于对岸的方 向行驶，同时江水的速度为向东 2km/h (1) 试用向量表示江水速度、船速以及船实际航行的速度；(2) 求船实际航行的速度的大小与方向设计意图：例 2 的化简是向量加法运算律的运用；而例 3 则是向量加法 的实际问题，目的是让学生体验数学来源于实际又应用于实际的意识两道题 都涉及到图形，建议画图，领略数形结合的思想七教学反思七教学反思 培养数学的应用意识是当今数学教育的主题，本节课的内容与实际问题联 系紧密，应强化数学来源于实际又应用于实际的意识在本节课的学习中，由 于涉及到两个向量有共线和不共线这两种情况，因此有利于渗透分类讨论的数 学思想 “向量的加法”蕴涵了数形结合、类比的数学思想，因此在概念的教学 中不但要注重知识的学习，而且要把它作为一个载体，通过概念的获得培养学abba向量加法运算及其几何意义8生的抽象概括等能力，领会数形结合、类比等数学思想.
