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1、2.1.2 平面直角坐标系中的基本公式平面直角坐标系中的基本公式一、选择题1直角坐标平面上连结点(2,5)和点 M 的线段中点是(1,0)，那么点 M 坐标为( )A(4,5) B(4，5)C(4,5) D(4，5)答案 B2以 A(1,5)、B(5,1)、C(9，9)为顶点的三角形是( )A等边三角形 B等腰三角形C不等边三角形 D直角三角形答案 B解析 根据两点的距离公式，|AB|4，(15)2(51)22|AC|，(19)2(59)2296|BC|，(59)2(19)2296|AC|BC|AB|，ABC 为等腰三角形3已知点 A(x,5)关于点 C(1，y)的对称点是(2，3)，则点 P
2、(x，y)到原点的距离是( )A4 B. 13C. D.1517答案 D解析 由题意，得2x21，532y，x4，y1，|PO|.4212174已知ABC 的两个顶点 A(3,7)，B(2,5)，若 AC、BC 的中点都在坐标轴上，则 C点的坐标是( )A(3，7) B(3，7)或(2，5)C(3，5) D(2，7)或(3，5)答案 D解析 设 C(x，y)，显然 AC、BC 的中点不同在一条坐标轴上若 AC 的中点在 x 轴上，BC 中点在 y 轴上，则有 y70，2x0，即 C(2，7)；若 AC 中点在 y 轴上，BC 中点在 x 轴上，则有 3x0,5y0，即 C(3，5)5设 A(3
3、,4)，在 x 轴上有一点 P(x,0)，使得|PA|5，则 x 等于( )A0 B6C0 或 6 D0 或6答案 C解析 由|PA|5，得(x3)2(04)225，解得 x6 或 x0.6已知菱形的三个顶点分别为(a，b)、(b，a)、(0,0)，则它的第四个顶点是( )A(2a，b) B(ab，ab)C(ab，ba) D(ab，ba)答案 B解析 令 A(a，b)、B(b，a)、C(0,0)，因为三条线段 AB、AC、BC 中必有一条为对角线，另两条为相邻两边，由菱形的性质(相邻两边长度相等)及|AC|BC|，得a2b2AB 为对角线设 D(x0，y0)，由中点坐标公式，得Error!，解
4、得Error!.7某县位于山区，居民的居住区域大致呈如右图所示的五边形，近似由一个正方形和两个等腰直角三角形组成，若 AB60km，AECD30km，为了解决当地人民看电视难的问题，准备建一个电视转播台，理想方案是转播台距五边形各顶点的距离平方和最小，图中 P1、P2、P3、P4是 AC 的五等分点，则转播台应建在( )AP1处 BP2处CP3处 DP4处答案 A解析 以 AB 为 x 轴，AE 为 y 轴建立直角坐标系，则 A(0,0)、B(60,0)、C(30,30)、D(30,60)、E(0,30)，设点 P(x，y)，则 f(x，y)|AP|2|BP|2|CP|2|DP|2|EP|2x
5、2y2(x60)2y2(x30)2(y30)2(x30)2(y60)2x2(y30)25x25y2240x240y108005(x24)25(y24)25040.当xy24 时，f(x，y)有最小值，此时点 P 的坐标为(24,24)，与点 P1重合故选 A.8已知点 P1(3，5)，P2(1，2)，在直线 P1P2上有一点 P，且|P1P|15，则 P 点坐标为( )A(9，4)B(14,15)C(9,4)或(15，14)D(9,4)或(14,15)答案 C解析 由已知得点 P 在 P1P2的延长线上或 P2P1的延长线上，故有两解，排除选项A、B，选项 C、D 中有共同点(9,4)，只需验
6、证另外一点 P 是否适合|P1P|15.若P(15，14)，则|P1P|15，故选 C.(153)2(145)212292二、填空题9设 P 点在 x 轴上，Q 点在 y 轴上，PQ 的中点是 M(1，2)，则|PQ|等于_答案 25解析 设 P(a,0)，Q(0，b)，由中点坐标公式得Error!，Error!，|PQ|2.a2b220510已知ABC 的三个顶点 A(2，1)、B(1,3)、C(2,2)，则ABC 的重心坐标为_答案 (13，43)11已知ABC 三边 AB、BC、CA 的中点分别为 P(3，2)、Q(1,6)、R(4,2)，则顶点 A 的坐标为_答案 (2，6)解析 设
7、A(x0，y0)，则由 P 是 AB 的中点得 B(6x0，4y0)由 Q 是 BC 的中点得 C(x04,16y0)R 是 CA 的中点，4，2，x02，y06，A(2，6)x0x042y016y02三、解答题12已知平行四边形的三个顶点 A(2,1)，B(1,3)，C(3,4)，求第四个顶点 D 的坐标解析 若构成的平行四边形为 ABCD1，即 AC 为一条对角线，设 D1(x，y)，则由 AC 中点也是 BD1中点，(12，52)D1(2,2)同理可得，以 AB 为对角线的平行四边形 ACBD2，则 D2(6,0)；以 BC 为对角线的平行四边形 ACD3B，则 D3(4,6)，第四个顶
8、点 D 的坐标为：(2,2)或(6,0)或(4,6)13求证：A(2，5)、B(6,1)、C(5， )不能成为三角形的三个顶点12解析 由|AB|2，|AC|，|BC|满足|BC|AC|AB|，故 A、B、C 三133 132132点在同一条直线上，构不成三角形14求证：若圆内接四边形的两条对角线互相垂直，则从对角线交点到一边中点的线段长等于圆心到该边对边的距离解析 以两条对角线的交点为原点 O、对角线所在直线为坐标轴建立直角坐标系(如图所示)设 A(a,0)，B(0，b)，C(c,0)，D(0，d)，则 CD 的中点 E，(c2，d2)AB 的中点 H，(a2，b2)又圆心 G 到四个顶点的
9、距离相等，故圆心 G 的横坐标等于 AC 中点的横坐标，圆心 G 的纵坐标等于 BD 中点的纵坐标，即圆心 G，|OE|2，(ca2，db2)c2d24|GH|2，|OE|GH|，结论成立c2d2415已知三角形 ABC 的顶点 A(7,0)、B(2，3)、C(5,6)判断此三角形形状，并求其面积解析 |AB|3，(27)2(3)210|BC|3，(52)2(63)210|AC|6，(57)2625|AB|BC|且|AB|2|BC|2|AC|2.ABC 为等腰直角三角形SABC |AB|BC| 3345.1212101016(1)在数轴上求一点的坐标，使它到点 A(9)与到点 B(15)的距离相等；(2)在数轴上求一点的坐标，使它到点 A(3)的距离是它到点 B(9)的距离的 2 倍解析 (1)设该点为 M(x)，根据题意，有 d(A，M)|x9|，d(M，B)|15x|，|x9|15x|，x915x(显然不成立)，或 x915x，x3.故该点坐标为3.(2)设该点为 N(x)，则 d(A，N)|x3|，d(N，B)|9x|，根据题意有|x3|2|9x|，x3182x，或 x3182x.解得 x21，或 x5.故该点坐标是21 或5.
