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1、第 3 讲 函数的奇偶性及周期性 随堂演练巩固 1.已知定义在 R 上的奇函数 f(x)满足 f(x+2)=f(x),则 f(6)的值为( ) A.1B.0C.1D.2答案：B 2.函数 f(x)=x3+sinx+1(xR),若 f(a)=2,则 f(a)的值为( )A.3B.0C.1D.2 答案：B 3.已知 f(x)在 R 上是奇函数，且满足 f(x+4)=f(x),当 x(0,2)时，f(x)=2x2,则 f(7)等于( ) A.2B.2 C.98D.98 答案：A 4.已知函数 f(x)是定义在 R 上的奇函数，当 x0 时，f(x)= 12x,则不等式f(x)0答案：A 解析：f(x
2、)=f(x),f(x)f(x)=f2(x)0. 2.若函数 f(x)=x2+SX(axSX)(aR)，则下列结论正确的是( )A.任意 aR，f(x)在(0，+)上是增函数B.任意 aR，f(x)在(0，+)上是减函数C.存在 aR，f(x)是偶函数D.存在 aR，f(x)是奇函数 答案：C 解析：当 a=0 时，f(x)=x2是偶函数，故选 C. 3.在 R 上定义的函数 f(x)是偶函数，且 f(x)=f(2x)，若 f(x)在区间1,2上 是减函数，则 f(x)( ) A.在区间2，1上是增函数，在区间3,4上是增函数 B.在区间2，1上是增函数，在区间3,4上是减函数 C.在区间2，1
3、上是减函数，在区间3,4上是增函数 D.在区间2，1上是减函数，在区间3,4上是减函数 答案：B 解析：由 f(x)=f(2x)知函数 f(x)的图象关于直线 x=1 对称，作出函数的简 图如下.4.(2011 届山东临沂检测)f(x)是定义在 R 上以 3 为周期的奇函数，且 f(2) =0，则方程 f(x)=0 在区间(0,6)内解的个数的最小值是( )A.2B.3C.4D.7答案：D 解析：f(x)是定义在 R 上以 3 为周期的奇函数，f(5)=f(2)=0,f(1)=f(2)=0.则f(1)=0，即 f(1)=0；f(4)=f(1)=0. 又 f(0)=0，f(3)=f(0)=0，f
4、(1.5)=f(1.5)=f(1.5).f(1.5)=0，则 f(4.5)=f(1.5)=0，因此在区间(0,6)上，f(1)=f(1.5)=f(2)=f(3)=f(4)=f(4.5)= f(5)= 0，解的个数的最小值为 7. 5.设函数 f(x)满足：y=f(x+1)是偶函数；在1,+)上为增函数，则 f(1)与 f(2)的大小关系是( )A.f(1)f(2)B.f(1)f(2),即 f(1)f(2).6.已知函数 f(x)是 R 上的偶函数，g(x)是 R 上的奇函数，且 g(x)=f(x1)， 若 f(2)=2,则 f(2 010)的值为 ( )A.2B.0C.2D.2 答案：A 解析
5、：由 g(x)=f(x1),得 g(x)=f(x1). 又 g(x)为 R 上的奇函数，g(x)=g(x).f(x1)=f(x1),即 f(x1)=f(x1).用 x+1 替换 x,得 f(x)=f(x2). 又 f(x)是 R 上的偶函数，f(x)=f(x+2).f(x)=f(x+4),即 f(x)的周期为 4.f(2 010)=f(4502+2)=f(2)=2.7.函数 f(x)在 R 上为奇函数，且 x0 时，f(x)=+1，则当 x0 时，f(x)= +1,x当 x0,f(x)=f(x)=(+1),x即 x0,a1,因此 a=.2229.已知 f(x)与 g(x)都是定义在 R 上的奇
6、函数，若 F(x)=af(x)+ bg(x)+2，且 F(2)=5，则 F(2)=_.答案：1 解析：f(x)与 g(x)都是定义在 R 上的奇函数.f(x)=f(x)，g(x)=g(x).F(2)+F(2)=af(2)+bg(2)+2+af(2)+bg(2)+2=af(2)+bg(2)+2af(2)bg(2)+2=4. 又 F(2)=5，F(2)=4F(2)=45=1.10.已知函数 f(x)=是奇函数. 0, 0, 0, 0,222xmxxxxxx(1)求实数 m 的值； (2)若函数 f(x)在区间1,a2上单调递增，求实数 a 的取值范围. 解：(1)设 x0, 所以 f(x)=(x)
7、2+2(x)=x22x. 又 f(x)为奇函数，所以 f(x)=f(x). 于是 x0.12 , 0222112xxxxf(x1)f(x2)0,即 f(x1)f(x2).故 f(x)在(0，1)上单调递减. 12.若定义在 R 上的函数 f(x)对任意的 x1,x2R,都有 f(x1+x2)=f(x1)+f(x2)1 成立，且当 x0 时，f(x)1. (1)求证：g(x)=f(x)1 为奇函数； (2)求证：f(x)是 R 上的增函数； (3)若 f(4)=5,解不等式 f(3m2m2)0,f(x1+x2)=f(x1)+f(x2)1,f(x2x1)=f(x2)+f(x1)1=f(x2)f(x1)1=f(x2)f(x1)+1.当 x0 时，f(x)1,f(x2x1)=f(x2)f(x1)+11.f(x1)f(x2).f(x)是 R 上的增函数.(3)f(x1+x2)=f(x1)+f(x2)1,且 f(4)=5,f(4)=f(2)+f(2)1f(2)=3.由不等式 f(3m2m2)3,得 f(3m2m2)f(2),由(2)知，f(x)是 R 上的增函数，3m2m22.3m2m40.1m.34不等式 f(3m2m2)3 的解集为(1, ).34
