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1、单元能力测试单元能力测试一、选择题(本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分) 1如果方程 x2ky23 表示焦点在 y 轴上的椭圆，那么实数 k 的取值范围 是( ) A(0，) B(0,2) C(1，) D(0,1) 答案 D解析 方程化为1，由 3 得 0b0)与双曲线1(m0，n0)有相同的焦x2a2y2b2x2m2y2n2 点(c,0)和(c,0)若 c 是 a 与 m 的等比中项，n2是 m2与 c2的等差中项，则椭圆 的离心率等于( )A. B.1333C. D.1222 答案 B 解析 c2am,2n2c2m2，又 n2c2m2，m2 c2，即 mc.c2ac，则 e
2、 .133333ca33 8.如图，过抛物线 x24py(p0)焦点的直线依次交抛物线与圆 x2(yp)2p2于点 A、B、C、D，则的值是( )ABCDA8p2 B4p2 C2p2 Dp2 答案 D解析 |AF|pyA，|DF|pyB，|yAyBp2.因为，ABCDABCDAB的方向相同，所以|yAyBp2.CDABCDABCD9已知抛物线 y22px(p0)与双曲线1 有相同的焦点 F，点 A 是x2a2y2b2 两曲线的交点，且 AFx 轴，则双曲线的离心率为( )A. B.15123C.1 D.22 212 答案 C解析 由已知 F( ，0)，且 AFx 轴，则 A( ，p)，把抛物线
3、代入双曲线得 yAp2p2p，a2b2，b2ap24 4a44a2b2b4. 又b2c2a2，c46a2c2a40， 即 e46e210，解得 e1.210. 已知两点 M(3,0)，N(3,0)，点 P 为坐标平面内一动点，且|MNMP0，则动点 P(x，y)到点 A(3,0)的距离的最小值为( )MNNPA2 B3 C4 D6 答案 B解析 因为 M(3,0)，N(3,0)，所以(6,0)，|6，(x3，y)，MNMNMP(x3，y)NP由|0 得 66(x3)0，化简整理得MNMPMNNPx32y2 y212x，所以点 A 是抛物线 y212x 的焦点，所以点 P 到 A 的距离的最小值
4、 就是原点到 A(3,0)的距离，所以 d3. 11过点 P(x，y)的直线分别与 x 轴和 y 轴的正半轴交于 A、B 两点，点 Q与点 P 关于 y 轴对称，O 为坐标原点，若2且1，则点 P 的轨BPPAOQAB迹方程是( )A3x2 y21(x0，y0)32B3x2 y21(x0，y0)32C. x23y21(x0，y0)32D. x23y21(x0，y0)32 答案 D解析 设 Q(x，y)，则 P(x，y)，由2，BPPAA( x,0)，B(0,3y)( x,3y)32AB32从而由(x，y)( x,3y)1.OPAB32得 x23y21 其中 x0，y0，故选 D.32 12已知
5、抛物线 yx2上有一定点 A(1,1)和两动点 P、Q，当 PAPQ 时， 点 Q 的横坐标取值范围是( ) A(，3 B1，) C3,1 D(，31，) 答案 D 解析 设 P(x1，x )，Q(x2，x )2 12 2kAPx11，kPQx2x1x2 11x11x2 2x2 1x2x1 由题意得 kPAkPQ(x11)(x2x1)1x2x1(1x1)1.利用函数性质知 x2(，311x111x1 1，)，故选 D. 二、填空题(本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分，把答案填在题中横线 上)13设双曲线 x2y21 的两条渐近线与直线 x围成的三角形区域(包22 含边界)为 E，
6、P(x，y)为该区域的一个动点，则目标函数 zx2y 的最小值为 _答案 22 14已知正方形 ABCD，则以 A、B 为焦点，且过 C、D 两点的椭圆的离心 率为_ 答案 12解析 令 AB2，则 AC2，2椭圆中 c1,2a22a1，22可得 e 1.ca121215若焦点在 x 轴上的椭圆1 上有一点，使它与两个焦点的连线x245y2b2 互相垂直，则 b 的取值范围是_答案 b且 b03 1023 102 解析 设椭圆的两焦点为 F1(c,0)，F2(c,0)以 F1F2为直径的圆与椭圆有公共 点时，在椭圆上必存在点满足它与两个焦点的连线互相垂直，此时条件满足cb，从而得 c2b2a2
7、b2b2b2 a2，解得b且 b0.124523 1023 102 16已知 AC，BD 为圆 O：x2y24 的两条相互垂直的弦，垂足为 M(1， )，则四边形 ABCD 的面积的最大值为_2答案 5 解析 设圆心 O 到 AC、BD 的距离分别为 d1、d2，由垂径定理得 AC2 ，BD2.又 ACBD，d d OM23，4d2 14d2 22 12 2(S四边形 ABCD)2( ACBD)24(4d )(4d )4()24( )122 12 24d2 14d2 2252225(当且仅当 d1d2时等号成立)，S四边形 ABCD5，即四边形 ABCD 的面积的 最大值为 5. 三、解答题(
8、本大题共 6 小题，共 70 分，解答应写出文字说明、证明过程或 演算步骤) 17(本小题满分 10 分)在直角坐标系 xOy 中，以 O 为圆心的圆与直线 x y4 相切3(1)求圆 O 的方程； (2)圆 O 与 x 轴相交于 A，B 两点，圆内的动点 P 满足 PA，PO，PB 成等比数列，求的取值范围PAPB解析 (1)依题设，圆 O 的半径 r 等于原点 O 到直线 xy4 的距离，即3r2.得圆 O 的方程为 x2y24.413 (2)不妨设 A(x1,0)，B(x2,0)，x1b0)的两焦点，且 AB 的中点 D 在椭圆 E 上x2a2y2b2 (1)若ABC60，|AB|4，试
9、求椭圆 E 的方程； (2)设椭圆离心率为 e，求 cosABC. 解析 (1)因为ABC60，且ABC 为等腰三角形，所以ABC 是正三角形 又因为点 B，C 是椭圆的两焦点，设椭圆焦距为 2c，则 2c|BC|AB|4，如右图所示，连结 CD，由 AB 中点 D 在椭圆上，得2a|BD|CD| |AB|AB|22，12323 所以 a1，3从而 a242，b2a2c22，33故所求椭圆 E 的方程为1.x242 3y22 3 (2)设椭圆的长半轴、短半轴、半焦距分别为 a，b，c，且|AD|DB|m，连结 CD， 则|BO|OC|c，|DC|2am，在 RtAOB 中，cosABC.c2m
10、 在BCD 中，由余弦定理，得cosABC.2c2m22am22 2c m由式得 2m，代入式得 cosABC.2a2c2aac2a2c2e2e219(本小题满分 12 分)如图，点 A，B 分别是椭圆1 长轴的左、x236y220 右端点，点 F 是椭圆的右焦点，点 P 在椭圆上，且位于 x 轴上方，PAPF. (1)求点 P 的坐标； (2)设 M 是椭圆长轴 AB 的一点，M 到直线 AP 的距离等于|MB|，求椭圆上的点到点 M 的距离 d 的最小值 解析 (1)由已知可得点 A(6,0)，F(4,0)， 设点 P 的坐标是(x，y)，则(x6，y)，(x4，y)，APFP由已知得Er
11、ror!，则 2x29x180，x 或 x6.32 点 P 位于 x 轴上方，x6 舍去，只能取 x ，由于 y0，于是 y，3252 3点 P 的坐标是( ，)3252 3(2)直线 AP 的方程是 xy60.3设点 M 的坐标是(m,0)(6m6)，则 M 到直线 AP 的距离是，m62于是6m，解得 m2，m62 椭圆上的点(x，y)到点 M 的距离 d 有d2(x2)2y2x24x420 x259 (x )215，4992 由于6x6，当 x 时，d 取得最小值.921520(本小题满分 12 分)设椭圆 C：1(a0)的左、右焦点分别为x2a2y22F1、F2，A 是椭圆 C 上的一
12、点，且0，坐标原点 O 到直线 AF1的距AF2F1F2离为 |OF1|.13 (1)求椭圆 C 的方程； (2)设 Q 是椭圆 C 上的一点，过点 Q 的直线 l 交 x 轴于点 P(1,0)，交 y 轴于点 M，若2，求直线 l 的方程MQQP解析 (1)由题设知 F1(，0)，a22F2(，0)a22由于0，则有，所以点 A 的坐标为(， )，故AF2F1F2AF2F1F2a222a所在直线方程为 y( )AF1xa a221a所以坐标原点 O 到直线 AF1的距离为(a)，a22a212又|OF1|，所以，a22a22a2113 a22 解得 a2(a)，2所求椭圆的方程为1.x24y
13、22 (2)由题意可知直线 l 的斜率存在，设直线 l 斜率为 k， 直线 l 的方程为 yk(x1)，则有 M(0，k)设 Q(x1，y1)，2，MQQP(x1，y1k)2(1x1，y1)， Error!，又 Q 在椭圆 C 上，得1，2324k322 解得 k4. 故直线 l 的方程为 y4(x1)或 y4(x1)， 即 4xy40 或 4xy40.21(本小题满分 12 分)已知椭圆 C：1(ab0)的长轴长为 4.x2a2y2b2 (1)若以原点为圆心、椭圆短半轴长为半径的圆与直线 yx2 相切，求椭 圆的焦点坐标； (2)若点 P 是椭圆 C 上的任意一点，过原点的直线 l 与椭圆相
14、交于 M，N 两点，记直线 PM，PN 的斜率分别为 kPM，kPN，当 kPMkPN 时，求椭圆的方14 程解 (1)由 b，得 b.2112又2a4，a2，a24，b22，c2a2b22， 两个焦点坐标为(，0)，(，0)22(2)由于过原点的直线 l 与椭圆相交的两点 M，N 关于坐标原点对称，不妨设 M(x0，y0)，N(x0，y0)，P(x，y)，M，N，P 在椭圆上，它们满足椭圆方程，即有1，1，两式x2 0a2y2 0b2x2a2y2b2相减得.y2y2 0x2x2 0b2a2由题意它们的斜率存在，则 kPM，kPN，yy0xx0yy0xx0kPMkPN，yy0xx0yy0xx0y2y2 0x2x2 0b2a2则 ，由 a2，得 b1.故椭圆方程为y1.b2a214x2422(本小题满分 12 分)椭圆1(ab0)的左、右焦点为 F1、F2，过x2a2y2b2 F1的直线 l 与椭圆交于 A
