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1、20112011 考研数学一真题试卷考研数学一真题试卷一选择题1曲线拐点222)4()3()2)(1(xxxxyA（1，0） B（2，0） C（3，0） D（4，0）2设数列单调递减，无界，则幂级数的收敛域 na nkknnnnaSa1, 2 , 1(, 0lim） nkn kxa1) 1(A(-1,1 B-1,1) C0,2) D(0,23设函数具有二阶连续导数，且，则函数在点（0，0）处取得极小值的)(xf0)0(, 0)(fxf)(ln)(yfxfz 一个充分条件A B C D0)0(, 1)0( ff0)0(, 1)0( ff0)0(, 1)0( ff0)0(, 1)0( ff4设的大
2、小关系是、则KJI444000cosln,cotln,sinln xdxKxdxJxdxIA IJK B IKJ C JIK D KJI5设 A 为 3 阶矩阵，将 A 的第二列加到第一列得矩阵 B，再交换 B 的第二行与第一行得单位矩阵。记则 A=, 010100001 , 01001001121 PPA B C D21PP21 1PP 12PP11 2PP6设是 4 阶矩阵，是 A 的伴随矩阵，若是方程组的一个基础解系，则),(4321A*AT)0 , 1 , 0 , 1 (0Ax的基础解系可为0*xAA B C D31,21,321,432,7设为两个分布函数，其相应的概率密度是连续函数
3、，则必为概率密度的是)(),(21xFxF)(),(21xfxfA B C D)()(21xfxf)()(222xFxf)()(21xFxf)()()()(1221xFxfxFxf8设随机变量 X 与 Y 相互独立，且 EX 与 EY 存在，记 U=maxx,y,V=x,y,则 E(UV)=A EUEV B EXEY C EUEY D EXEV二填空题9曲线的弧长 s=_)40(tan 0xxtdty10微分方程满足条件 y(0)=0 的解为 y=_xeyyxcos11设函数，则xydtttyxF 021sin),(_022 xxF12设 L 是柱面方程为与平面 z=x+y 的交线，从 z 轴
4、正向往 z 轴负向看去为逆时针方向，则曲线积分122 yx_22 dzyxdyxzdx13若二次曲面的方程为，经正交变换化为，则_42223222yzxzaxyzyx442 12 1 zya14设二维随机变量服从，则 (, )X Y22( , ;,;0)N 2()E XY三解答题15求极限110)1ln(limxexxx16设，其中函数 f 具有二阶连续偏导数，函数 g(x)可导，且在 x=1 处取得极值 g(1)=1,求)(,(xygxyfz 1, 12yxyxz17求方程不同实根的个数，其中 k 为参数。0arctan xxk18证明：1）对任意正整数 n，都有nnn1)11ln(112）
5、设,证明收敛。), 2 , 1(lnn1 211nnanna19已知函数 f(x,y)具有二阶连续偏导数，且 f(1,y)=0,f(x,1)=0,，其中Dadxdyyxf),(，计算二重积分。10 , 10),(yxyxDdxdyyxxyIDxy),( 20，不能由，T) 1 , 0 , 1 (1T) 1 , 1 , 0(2T)5 , 3 , 1 (3Ta ) 1 , 1 (1T)3 , 2 , 1 (2线性表出，求；将，由，线性表出。T)5 , 3 , 1 (3a12312321A 为三阶实矩阵，且2)(AR 101101101101 A（1）求 A 的特征值与特征向量；（2）求 A。22.
6、X01P1/32/3Y-101P1/31/31/31)(22YXP求：（1） （X，Y）的分布；（2）Z=XY 的分布；（3）XY23.设为来自正态总体的简单随机样本，其中已知，未知，和分别表示样本均nxxx,21),(2 0N002_ x2S值和样本方差。（1）求参数的最大似然估计2 2（2）计算和 2()E 2()D答案：答案：CCABDDDBCCABDDDB1【答案答案】【考点分析考点分析】本题考查拐点的判断。直接利用判断拐点的必要条件和第二充分条件即可。C【解析解析】由可知分别是的一、二、 4324321xxxxy1,2,3,4 23412340yxxxx三、四重根，故由导数与原函数之
7、间的关系可知，(1)0y(2)(3)(4)0yyy，故（3，0）是一拐点。(2)0y(3)(4)0yy(3)0,(4)0yy2【答案答案】【考点分析考点分析】本题考查幂级数的收敛域。主要涉及到收敛半径的计算和常数项级数收敛性的一些结论，C综合性较强。【解析解析】无界，说明幂级数的收敛半径； nkknnaS12 , 1LL11n n nax1R 单调减少，说明级数收敛，可知幂级数的收敛半径。 na0lim nna 11n n na11n n nax1R 因此，幂级数的收敛半径，收敛区间为。又由于时幂级数收敛，时幂级数发散。11n n nax1R 0,20x 2x 可知收敛域为。0,23【答案答案
8、】【考点分析考点分析】本题考查二元函数取极值的条件，直接套用二元函数取极值的充分条件即可。C【解析解析】由知，)(ln)(yfxfz ( )( )ln( ),( )( )xyf xzfxf yzfyf y( )( )( )xyfxzfyf y，( )ln( )xxzfxf y22( ) ( )( )( )( )yyfy f yfyzf xfy所以， 0 0(0)(0)0(0)xyx yfzff 0 0(0)ln(0)xxx yzff 220 0(0) (0)(0)(0)(0)(0)yyx yfffzfff 要使得函数在点(0,0)处取得极小值，仅需)(ln)(yfxfz ，(0)ln(0)0f
9、f(0)ln(0)(0)0fff所以有0)0(1)0( ff，4【答案答案】【考点分析考点分析】本题考查定积分的性质，直接将比较定积分的大小转化为比较对应的被积函数的大小即可。B【解析解析】时，因此(0,)4x20sincoscot2xxxlnsinlncoslncotxxx，故选（B）444000lnsinlncoslncotxdxxdxxdx 5【答案答案】【考点分析考点分析】本题考查初等矩阵与初等变换的关系。直接应用相关定理的结论即可。D【解析解析】由初等矩阵与初等变换的关系知，所以，故选（D）1APB2P BE1111 12121ABPPPP P6【答案答案】【考点分析考点分析】本题考
10、查齐次线性方程组的基础解系，需要综合应用秩，伴随矩阵等方面的知识，有一定D的灵活性。【解析解析】由的基础解系只有一个知，所以，又由知，都是0xA( )3r A ()1r A0A AA E1234, 的解，且的极大线生无关组就是其基础解系，又0xA0xA，所以线性相关，故或为极大无关组，故12341311 00,011 00A 13, 124，432，应选（D）7【答案答案】【考点分析考点分析】本题考查连续型随机变量概率密度的性质。D【解析解析】检验概率密度的性质：； 12210fx Fxfx F x。可知为概率密度，故选（） 。 1221121fx Fxfx F x dxF x Fx 1221
11、fx Fxfx F xD8、 【答案答案】【考点分析考点分析】本题考查随机变量数字特征的运算性质。计算时需要先对随机变量进行处理，有一定BUV的灵活性。【解析解析】由于max, min, UVX YX YXY可知()(max, min, )()() ( )E UVEX YX YE XYE X E Y故应选（B）9【答案答案】 【考点分析考点分析】本题考查曲线弧长的计算，直接代公式即可。14【解析解析】 2444224 0000tansec1tan14sydxxdxxdxxx 10【答案答案】【考点分析考点分析】本题考查一阶线性微分方程的求解。先按一阶线性微分方程的求解步骤求出其sinxyxe通
12、解，再根据定解条件，确定通解中的任意常数。【解析解析】原方程的通解为11cos cossindxdxxxxyeex edxCexdxCexC由，得，故所求解为0)0(y0C sinxyxe11【答案答案】【考点分析考点分析】本题考查偏导数的计算。4【解析解析】。故。 22232222222cos12sinsin,11yxyx yxyxyFyxyF xx yxx y220 24 x yF x 12【答案答案】【考点分析考点分析】本题考查第二类曲线积分的计算。首先将曲线写成参数方程的形式，再代入相应的计算公式计算即可。【解析解析】曲线的参数方程为，其中 从到。因此Lcossincossinxtyt
13、ztt t022220232 2202sincos (cossin )( sin )cos cos(cossin )2 sincossinsin coscos22Lyxzdxxdydzttttttttt dtttttttdt 13【答案答案】【考点分析考点分析】本题考查二次型在正交变换下的标准型的相关知识。题目中的条件相当于告诉了二次型1的特征值，通过特征值的相关性质可以解出。a【解析解析】本题等价于将二次型经正交变换后化为了。由正222( , , )3222f x y zxyzaxyxzyz22 114fyz交变换的特点可知，该二次型的特征值为。1,4,0该二次型的矩阵为，可知，因此。11 31 111a Aa 2210Aaa 1a 14【答案答案】【考点分析考点分析】：本题考查二维正态分布的性质。32【解析解析】：由于，由二维正态分布的性质可知随机变量独立。因此。0,X Y22()E XYEX EY由于服从，可知，则(, )X Y22( , ;,;0)N 2222,EXEYDYEY。22232()E XY 15【答案答案】【考点分析考点分析】：本题考查极限的计算，
