《2017版高中数学 第三讲 柯西不等式与排序不等式 3.2 一般形式的柯西不等式课件 新人教a版选修4-5》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2017版高中数学 第三讲 柯西不等式与排序不等式 3.2 一般形式的柯西不等式课件 新人教a版选修4-5（41页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、二 一般形式的柯西不等式【自主预习预习 】1.三维维形式的柯西不等式设设a1,a2,a3,b1,b2,b3是实实数,则则(a12+a22+a32)(b12+b22+b32)_,当且仅仅当_或存在一个数k,使得ai=kbi(i=1,2,3)时时等号成立.(a1b1+a2b2+a3b3)2bi=0(i=1,2,3)2.一般形式的柯西不等式设设a1,a2,a3,an,b1,b2,b3,bn是实实数,则则(a12+a22+an2)(b12+b22+bn2) _,当且仅仅当_或存在一个数k,使得ai=_(i=1,2,n)时时,等号成立.(a1b1+a2b2+anbn)2bi=0(i=1,2,n)kbi【
2、即时时小测测】1.若a12+a22+a32=4,b12+b22+b32=9,则则a1b1+a2b2+a3b3的最大值为值为 ( )A.4 B.6 C.9 D.3【解析】选B.根据柯西不等式,知(a1b1+a2b2+a3b3)2(a12+a22+a32)(b12+b22+b32)=36，所以-6a1b1+a2b2+ a3b36.2.已知x,y,z,aR,且x2+4y2+z2=6,则则使不等式x+2y+3za恒成立的a的最小值为值为 ( )A.6B. C.8D. 【解析】选B.由x2+4y2+z2=6,利用柯西不等式可得(x+2y+3z)2(x2+4y2+z2)(12+12+32)=66,故有x+
3、2y+3z ,当且仅当 时,取等号.再根据不等式x+2y+3za恒成立,可得a 3.已知a,b,cR,a+2b+3c=6,则则a2+4b2+9c2的最小值为值为_.【解析】因为(a2+4b2+9c2)(1+1+1)(a+2b+3c)2,所以a2+4b2+9c212.答案:12【知识识探究】 探究点 一般形式的柯西不等式1.三维维形式的柯西不等式中等号成立的条件写成可以吗吗?提示:不可以.因为若出现bi=0(i=1,2,3)的情况,则分式不成立了,但是,可以利用分式的形式来形象地记忆.2.在一般形式的柯西不等式中,等号成立的条件记为记为ai=kbi(i=1,2,3,n),可以吗吗?提示:不可以.
4、若bi=0,而ai0,则k不存在.【归纳总结归纳总结 】1.对对柯西不等式一般形式的说说明一般形式的柯西不等式是二维维形式、三维维形式、四维维形式的柯西不等式的归纳归纳 与推广,其特点可类类比二维维形式的柯西不等式来总结总结 ,左边边是平方和的积积,右边边是积积的和的平方.在使用时时,关键键是构造出符合柯西不等式的结结构形式.2.等号成立的条件ai=kbi(i=1,2,n)或bi=0,即: = =或b1=b2=bn=0.3.柯西不等式的两个变变式(1)设设aiR,bi0(i=1,2,n), ,当且仅仅当bi=ai时时等号成立.(2)设设ai,bi同号且不为为0(i=1,2,n),则则 ,当且仅
5、仅当bi=ai时时,等号成立.类类型一 利用柯西不等式证证明不等式【典例】已知a+b+c=1,且a,b,c是正数,求证证:【解题题探究】本例不等式右边边的9如何拆分才能运用柯西不等式?提示:9=(1+1+1)2.【证明】左边=2(a+b+c) =(a+b)+(b+c)+(c+a) (1+1+1)2=9.当且仅当a=b=c= 时,等号成立,所以,原不等式成立.【方法技巧】利用柯西不等式证证明不等式时时常用的技巧(1)构造符合柯西不等式的形式及条件,可以巧拆常数.(2)构造符合柯西不等式的形式及条件,可以重新安排各项项的次序. (3)构造符合柯西不等式的形式及条件,可以改变变式子的结结构,从而达到
6、使用柯西不等式的目的.(4)构造符合柯西不等式的形式及条件,可以添项项.【变变式训练训练 】1.已知a,b,cR+,求证证:【证明】由柯西不等式知所以原不等式成立.2.已知a1,a2,an都是正实实数,且a1+a2+an=1,求证证:【证明】左边=(a1+a2)+(a2+a3)+(an-1+an)+(an+a1) 【补偿训练补偿训练 】利用柯西不等式证证明a2+b2+c2+d2ab+bc+cd+da.(a,b,c,d是正数)【证明】(a2+b2+c2+d2)(b2+c2+d2+a2)(ab+bc+cd+da)2,所以a2+b2+c2+d2ab+bc+cd+da.类类型二 利用柯西不等式求最值值
7、【典例】已知a,b,c均为为正数,且a+2b+4c=3.求 的最小值值.【解题题探究】本例中的题设题设 条件如何转转化为为与所求式子的分母有关的形式?提示:由a+2b+4c=3可得(a+1)+2(b+1)+4(c+1)=10.【解析】因为a+2b+4c=3,所以(a+1)+2(b+1)+4(c+1)=10.因为a,b,c为正数,所以(a+1)+2(b+1)+4(c+1) 当且仅当(a+1)2=2(b+1)2=4(c+1)2,等式成立.故 的最小值为 .【延伸探究】1.本例 取得最小值时值时 a,b,c的值值是什么?【解析】由(a+1)2=2(b+1)2=4(c+1)2及(a+1)+2(b+1)
8、+4(c+1)=10得2(c+1)+2 (c+1)+4(c+1)=10,所以 2.若本例条件不变变,改为为求 的最大值值.【解析】由柯西不等式得 当且仅当a+1=2b+1=4c+1,即a=1,b= ,c= 时等号成立,所以 的最大值为3 .【方法技巧】利用柯西不等式求最值值的方法技巧利用柯西不等式可求某些含有约约束条件的多变变量函数的最值问题值问题 ,其关键键是对对原目标标函数通过过巧变结变结 构、巧拆常数、巧换换位置、巧添项项等技巧以保证证柯西不等式的结结构特征且出现现常数结结果,同时时要注意等号成立的条件.【变变式训练训练 】1.设设a,b,c为为正数,a+2b+3c=13,则则的最大值为
9、值为 ( )【解析】选C.根据柯西不等式,2.(2015福建高考)已知a0,b0,c0,函数f(x)=|x+a|+|x-b|+c的最小值为值为 4.(1)求a+b+c的值值.(2)求 a2+ b2+c2的最小值值.【解题指南】利用绝对值三角不等式和柯西不等式求解.【解析】(1)因为f(x)=|x+a|+|xb|+c|(x+a)(xb)|+c=|a+b|+c, 当且仅当-axb时,等号成立.又a0,b0,所以|a+b|=a+b,所以f(x)的最小值为a+b+c,又已知f(x)的最小值为4,所以a+b+c=4.(2)由(1)知a+b+c=4,由柯西不等式得 (4+9+1) =(a+b+c)2=16
10、,即 a2+ b2+c2 ,当且仅当 ,即 时等号成立,故 a2+ b2+c2的最小值为 .自我纠错纠错 求代数式的值值【典例】设设x,y,zR,且满满足:x2+y2+z2=1,x+2y+3z= ,则则x+y+z=_.【失误误案例】分析解题过题过 程,找出错误错误 之处处,并写出正确答案.提示:错误的根本原因是弄错了柯西不等式等号成立的条件,实际上本题中柯西不等式等号成立的条件是正确解答过程如下:【解析】由柯西不等式可知:(x+2y+3z)2(x2+y2+z2)(12+22+32),当且仅当 时取等号,此时y=2x,z=3x,x+2y+3z=14x= ,所以x= ,y= ,z= ,所以x+y+z= = .答案:
