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1、第 1 页 共 7 页题目:构造法在中学数学解题中的应用年级：数统学院 2011 级 2 班 专业：数学与应用数学姓名： 学号：20111021229摘要：摘要：本文从构造方程、函数、图形、递推数列这些常见构造出发，构造出解 题的数学模型, 从而使问题得到解决。在构造法解题的过程中，可以使代数、三 角、几何等各种数学知识互相渗透，在解题中被广泛应用。它是一种极其富有技 巧性和创造性的解题方法，运用构造法解数学题可从中激发学生的发散思维，使 学生思维和解题能力得到培养，对培养学生的多元化思维和创新精神大有裨益。关关键词键词：构造、数学解题、转化。 1.1. 前言前言构造法，即构造出使用公式或定理
2、的条件，或对所解题目赋予几何意义，或构造出题目所满足的条件的具体事例来验证结论的正确性或推翻结论等手段来解题的方法，是运用数学的基本思想, 经过认真的观察, 深入的思考, 构造出解题的数学模型, 从而使问题得到解决。它内涵十分丰富, 没有完全固定的模式第 2 页 共 7 页可以套用, 它是以广泛抽象的普遍性与现实问题的特殊性为基础, 针对具体的问题的特点而采取相应的解决办法。在解题时，要善于将数与形结合，将式与方程、函数、图形等建立联系，构造出一种新的问题形式，架起一座连接条件和结论的桥梁，如方程、函数、图形、模型等，在数学表达的几种形式之间找出相互关系。从而使问题得以解决。 2.2. 构造法
3、在数学中的应用构造法在数学中的应用2.12.1 构造函数法构造函数法在求解某些数学问题中，根据问题的条件，构想、组合一种新的函数关系，使问题在新的观点下实行转化并利用函数的有关性质解决原问题是一种行之有效的解题手段。在解决不等式的证明题时常常通过构造辅助函数，把原来问题转化为研究辅助函数的性质，并利用函数的单调性、有界性、奇偶性等性质来解决。例1：求证不等式：(0)1 22xxxx证明：构造函数：( )(0)1 22xxxf xx2()1 22212xxxxxxxfxA1 (1 2 )1 22x xxx.( )1 22xxxxf x所以的图像关于轴对称。当时，故；当时，( )f xy0x 1
4、20x( )0f x 0x 依图象的对称性知.故当时，恒有.即 ( )0f x 0x ( )0f x .(0)1 22xxxx例2：已知，求证： 0x 115 12xxxx 证明：构造函数，则，设,由1( )(0)f xxxx12xx2第 3 页 共 7 页 ) 1)(11)()1(1)()(ff显然：因为，所以-0，1，所以，2( )( )0ff所以在上是单调递增的，所以( )f x2,115(2)12xfxxx 以上两题的实质上是用的函数的单调性、奇偶性来证明的，其中如何来构造恰当的函数是进一步证明的关键。2.22.2 构造递推数列构造递推数列数列的通项公式是数列的核心内容之一，它如同函数
5、中的解析式一样，有了解析式便可研究其性质等；有了数列的通项公式便可求出任一项以及前项n和等.因此，求数列的通项公式往往是解题的突破口、关键点。因此近年来的高考题中经常出现给出数列的解析式（包括递推关系式和非递推关系式） ，求通项公式的问题，常常用构造法(构造等差、等比数列)。例3：数列中，求通项. na123nnaana解：令且，得，则数列是以6为首项，12()nnatat 23tt 3t 3na 2为公比的等比数列，所以，则.136 2nna A16 23n naA本题是形如为非零常数）的，若，则为等差数1( ,nnapaq p q1p na列，否则，构造等比数列。1()nnatp at 例
6、4：已知数列满足，求通项 na11 4a *11(2,)( 1)2n nn naannNa.na解： 112( 1)nnnaa 1111( 1)( 2)( 1)nnnnaa 11( 1)3a 第 4 页 共 7 页数列是首项是3，公比为-2的等比数列.从而1( 1)nna 11( 1)3 ( 2)nnna 即11 3 ( 2)( 1)nnna 本题形如为非零常数)，将其变形为1( , ,n n npaap q rqar111nnrq ap ap若，则是等差数列，公差为，可用公式求通项；若，则采用pr1naq ppr构造等比数列.1()nnatm at 例5：已知数列满足：，若数列 na* 11
7、1,21,nnaaannN是等比数列，求实数的值；求通项.napnq, p qna解：设*1(1),()nnap nqm nNapnq得1(1)nnap nqmampnmq因为,所以121nnaan21nnanpnpqmampnmq 即(2)(1)10nm apmp npqmq 由已知可得，所以0na 202 101 102mm pmpp pqmqq 第 5 页 共 7 页则存在常数使得数列为等比数列.1,2pqnapnq所以，则.124 2nnan122n nan本题形如为非零常数）的形式，解决此问题，一般1( , ,nnapaqnr p q r将其构造为等比数列.1(1)()nnat nm
8、p atnm2.32.3 构造方程或方程组构造方程或方程组根据题设条件，利用方程的根的定义、根的判别式、韦达定理等相关知识构造出方程或方程组，然后利用方程或方程组的有关知识，使问题得以解决。例 6：已知实数满足 ，求的值。, ,x y z25,9xyzxyy23xyz解：由已知可得： 21619xyxyz以为两实数根，构造方程，因为方程有实根，所以1,xy22690mmz222( 6)4(9)40zz 所以，所以方程有两个相等的实数根，所以20,=0z 且2690mm，于是有，所以，所以.123mm13xy 2,3,0xyz238xyz例 7：求证：),2(3tansectansec 3122
9、 Zkk证明：设则：tansectansec22 y2(1)tan(1)tan(1)0yyy当时，显然成立.1y 当时1y 22(1)4(1)(31)(3)0yyyy 所以：133y2.42.4 构造图形法构造图形法数与形是和谐统一的，是数学教学中不可分割的两方面，用数与形转化思想解题，能充分利用几何直观性，且解法简洁，在解题过程中能培养学生的创第 6 页 共 7 页造性思维。要灵活运用数形结合的方法，必须对解析几何中的公式及其各种变形有相当深刻的认识，也要对所求解的问题的数、式、形等特征有比较准确的把握，敢于联想，善于联想是构造法的关键。例 8： 一个四面体的所有棱长都为，四个顶点在同一球面
10、上，则此球2的表面积为（ ）. A3 B.4 C.3 D. 63 ACB1D1A1D1C1B1ADCB图 1解：构造一个棱长为 1 的正方体(如图 1) ，连1111ABCDABC D，则四面体为符合题意的四面体，它的外111111,AB AD AC CD CB B D11BACD接球的直径即为正方体的对角线长.设该外接球的半径为,则,所R123RAC以此正四面体外接球的表面积为,故选 A.243SR图2例 9：已知全集，集合为真子集，若，5 , 4, 3 , 2 , 1U,S TU2TS ，,则有（ ）4TSCu 5 , 1TCSCuuA.， B.，S3T3SCu3T3C.， D.，S3TC
11、u3SCu3TCu3分析：由韦恩图 3 知，三个集合的关系如下图：一目了然，选答案 C.第 7 页 共 7 页514T23 SU图 33.3. 总结总结通过上述的例子说明了，构造法解题有着在你意想不到的功效，问题很快便可解决。它可以构造函数、方程、图形甚至其它构造，就会促使学生要熟悉几何、代数、三角等基本知识技能并多方设法加以综合利用，这对学生的多元思维培养学习兴趣的提高以及钻研独创精神的发挥十分有利。构造法解题的思维过程具有一定的灵活性和创造性，运用构造法解题需要掌握数学知识之间的互相关系，而且需要较强的思维能力和创新意识。参考文献：参考文献：1 薛金星. 怎样解题M. 北京教育出版社，20
12、04.205-214. 2 王桂青. 初中数学竞赛中的构造法分析J.考试周刊，2007， （1）：101-102. 3 黄加卫. 给数学构造性解题方法提个醒J.中学数学研究，2006， （4）：26-28. 4 戴红波. 构造在数学解题中的应用J.宁波教育学院学报，2010，12（3）：134-135. 5 周权. 运用构造法巧证组合题J.高中数学教与学，2008：44-45. 6 蒲怡萧. 一道例题的构造解法J.数学大世界.高中版，2003， （9）：26. 7 陈巧红. 用构造法巧求根式函数的最值J.数学通报，2006， （20）：17-18. 8 王小兰. 浅析构造法在不等式证明中的应用J.教育战线，2007， （6）：126. 9 王向群. 两类求和问题的又一构造解法J.数学通讯，2001， （7）：22. 10 王业文. 无理方程的构造解法例谈J.中学数学（苏州） ，1998， （8：36-37. 11 刘颖. 浅析构造法在初等数学中的应用J.职业教育，2007， （6）：225-226. 12 刘震源. 浅谈构造法在中学数学中的应用J.中国校外教育（理论） ，2007， （1）：89-91.
