《模拟物理-04 第二章 part2 混沌》由会员分享，可在线阅读，更多相关《模拟物理-04 第二章 part2 混沌（54页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、混沌运动1、二维运动中的有序和混沌 在物理学中使用计算机的好处是：能够处能够处理不能解析求解的系统。理不能解析求解的系统。 通常，数值结果与可解模型给出的直观图象在定性上一致。这时定量的数值结果具有实用价值。 在少数情况下，计算机结果否定了我们的直观图像。突破经典图象 牛顿以后，机械宇宙观确立并且运转正常。 相对论指出高速运动下经典的直观图象不 可行。 量子力学指出微观下经典的直观图象不可 行。 惊人的是，一些经典的直观图象不可行。一些经典的直观图象不可行。 这时数值结果对正确理解这种现象有根本 的重要性。1.1 做二维运动的粒子 本例题中，我们将用数值积分计算一个做二维运动的粒子的轨道。 以
2、此为例研究这种令人惊奇的行为。 考虑一个单位质量单位质量的粒子。 它在一个位势V中作二维运动。 如果粒子的能量足够低，它将永远被约束在V中。 若与两个坐标(x, y)共轭的动量是(px, py)，则Hamilton量的形式为 粒子的轨道由坐标坐标和动量动量随时间的演化所确定。注意质量Hamilton量Hamilton方程 坐标和动量的随时间的演化由四个耦合的一阶微分方程规定，即Hamilton方程等能面约束 对于任何V(x,y)，这些方程都能使能量E守恒， 约束条件： 因此，约束条件把轨道限制在四维相空间相空间 中的一个三维流形上。 注释：相空间，流型 除此之外，关于系统的演化很难作出别的除此
3、之外，关于系统的演化很难作出别的 什么一般性判断。什么一般性判断。（最简单的轨道是一条闭合曲线。那（最简单的轨道是一条闭合曲线。那样样 的粒子永远不会跑到别的地方去。）的粒子永远不会跑到别的地方去。）注释 说到相空间，首先要理解一下“相”。如果大 家对于理解“相空间”的含义有困难，在英语 词典中查一下phase的含义，就会清楚了。A phase is a particular stage in a process or in the gradual development of something. 在我们这里，流形是所有可能轨道的集合，每 个不同的初始条件会给出一个不同的轨道，但 是他们都在
4、这个流形上。等能面约束 对于任何V(x,y)，这些方程都能使能量E守恒， 约束条件： 因此，约束条件把轨道限制在四维相空间相空间 中的一个三维流形上。 除此之外，关于系统的演化很难作出别的除此之外，关于系统的演化很难作出别的 什么一般性判断。什么一般性判断。（最简单的轨道是一条闭合曲线。那（最简单的轨道是一条闭合曲线。那样样 的粒子永远不会跑到别的地方去。）的粒子永远不会跑到别的地方去。）1.2 可积系统 能够对轨道作出进一步判断的一类重要的 二维Hamilton量是可积的可积的Hamilton量。 对于这种情况，除了能量以外，还有第二 个坐标和动量的函数是运动常数运动常数。 于是轨道被约束在
5、相空间的一个二维二维流形 上。 两种熟悉的可积系统是可分离变量的系统 和中心位势中心位势。可积系统1：可分离变量 可分离变量的情况下 其中Vx, Vy是两个独立的函数。 因此Hamilton量分离为两部分。 两个方向的运动没有耦合。 每一个方向上的Hamilton单独是一个运动常 数。（等价于，Hx-Hx和E=Hx+Hy）H=Hx+HyHx=px2/2+Vx , Hy=py2/2+Vy可积系统2：中心位势 在中心位势的场合 向心力导致角动量角动量是第二个运动常数 Hamilton量可以写为 其中pr是r的共轭动量。可积性的困难 可积系统的动力学是简单的。 但是要找出这种简单性常常很不容易。 没
6、有一个普遍的解析方法可以判断，在任没有一个普遍的解析方法可以判断，在任意一个位势中是否存在第二个运动常数，意一个位势中是否存在第二个运动常数，以及如果有的话如何求出它。以及如果有的话如何求出它。可积性的困难 数值计算看起来也不会改善情况。 因为数值计算因为数值计算只给出只给出给定初始条件下的轨迹。给定初始条件下的轨迹。 而这条轨迹即使在我们熟悉的情况下也可以是相当复杂的。 比如Lissajous图形。（示例）演示1.3 分析相空间 通过对相空间的分析，可以得出一个根据通过对相空间的分析，可以得出一个根据轨迹来检测可积性的办法。轨迹来检测可积性的办法。 考虑一个可分离变量的位势的情况。 因为两个
7、坐标上的运动是独立的，在(x, px)平面和( y, py)平面上画出的轨迹看起来可能是可积性的标志 一个粒子在一个可分离变量的二维位势中的轨迹 在(x, px)和(y, py)平面上的样子。这些闭合回路的存在是系统可积性的标志。数值做法：截面 根据轨迹可以得到一幅低维低维空间上的图。 假设每当我们观察到一个坐标例如 x 通过零 时，我们就在( y , py)平面上画出粒子的位置。 如果 x 运动和 y 运动的周期是不可通约的 （即它们的比值是一个无理数），那么随 着轨迹前进，这些观测值将逐渐描绘出完 整的( y, py)回路。 如果它们的周期是可通约的（即比值是有 理数）那么将得到沿回路的一
8、系列分立点。 在一个可积的Hamilton量的情形下，相空间的一般的拓扑性质，可以通过考虑中心位势中的运动来说明。 对于固定的能量值和角动量值，径向运动被限制在两个转折点rin和rout之间。这两个r值是方程的两个解：pr=0 例如：卫星轨道角动量守恒系统的截面 这两个半径在(x, y)平面中定义了一个圆环面。 对于给定的r值，能量守恒允许的径向运动的动量只能是 这两个动量在(x, y, pr)空间中确定了包含全部轨道的二维流形角动量守恒系统的截面角动量守恒系统的截面 如果通过考虑x=0平面来画出一幅(y, py)截面图，我们将会得到两个闭合回路闭合回路。画截面比画流形简单的多。x=0角动量守
9、恒系统的截面 利用截面方法，可以从轨迹出发，来研究利用截面方法，可以从轨迹出发，来研究同任何给定的同任何给定的Hamilton量相联系的相空间的量相联系的相空间的拓扑性质。拓扑性质。可以证明，中心位势的相空间的环面拓扑结构，是一切可积系统所共有的。 对于给定的运动常数，轨迹所在的流形叫做一个“不变环面”。可积系统的截面 环面的一般的截面图的样子可积系统的截面1.4 对可积性的扰动对可积性的扰动 问题：在一个破坏掉系统的可积性的扰动下，一个可积系统的环面会发生什么变化？ 对于小扰动，椭圆型不动点周围的大部分环面发生轻微的畸变，但仍保持它们的拓扑结构（KAM定理）。 但是相空间中邻接区域则变成混沌
10、的，给出的截面图看起来像是随机撒的一些点子截面图看起来像是随机撒的一些点子。 在这些混沌区域中又嵌入别的椭圆型不动点和别的混沌区域，构成层次结构。Henon-Heiles位势 对可积性的重大偏离必须用数值方法研究。 进行这一研究的一个例子是 这个位势原来是Henon和Heiles在研究恒星穿过星系的轨道时引入的。恒星的运动被认为限制在二维平面上。Henon-Heiles位势 Hamiltion 运动方程运动方程 有了运动方程，给定一组初始条件（x, y, px, py）就可以计算出一条轨道。 这里使用4阶Runge-Kutta方法。运动方程选择初条件1. 考虑束缚轨道 总能量 E1/6为了方便
11、满足这个条 件，我们直接选定E。2. 选择 x=0 3. 选择 y 1. 确定y的范围：当能量全部转化为势能Epot时， y方向上距离原点最远。 2. 在这个范围内选择一个y值。 4. 选择py 1. 确定py的范围：动能全部在y方向时，py最大 2. 在这个范围内选择一个Py值。 5. 计算Px选择初条件计算截面 当轨道穿过x=0的面时，x变号。 检测到x变号以后，计算轨道与x=0面的交点 的精确位置。 把运动方程转换为以x为自变量。 把x的值作为步长，使用RK方法反向积分一步。画图脚本1 只输出一个截面图画图脚本2 同时输出轨道和截面2. Lorenz方程 混沌运动是1963年由美国气象学家洛伦茨（Lorenz）在研究区域小气候的时候发现的。1963年洛伦茨利用计算机求解此方程。他发现当 = 10, b = 8/3 时，只要r 超过24.74，解就会变得混乱。轨道敏感地依赖于初始条件。
