《（全国通用版）2019版高考数学一轮复习第九章解析几何课时达标检测（四十五）圆锥曲线中的定点、定值、存在性问题文》由会员分享，可在线阅读，更多相关《（全国通用版）2019版高考数学一轮复习第九章解析几何课时达标检测（四十五）圆锥曲线中的定点、定值、存在性问题文（7页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、1课时达标检测（四十五）课时达标检测（四十五） 圆锥曲线中的定点、定值、存在性问题圆锥曲线中的定点、定值、存在性问题一般难度题全员必做1(2018郑州质检)已知动圆M恒过点(0,1)，且与直线y1 相切(1)求圆心M的轨迹方程；(2)动直线l过点P(0，2)，且与点M的轨迹交于A，B两点，点C与点B关于y轴对称，求证：直线AC恒过定点解：(1)由题意得，点M与点(0,1)的距离始终等于点M到直线y1 的距离，由抛物线的定义知圆心M的轨迹是以点(0,1)为焦点，直线y1 为准线的抛物线，则1，p2.圆心M的轨迹方程为x24y.p 2(2)设直线l：ykx2，A(x1，y1)，B(x2，y2)，则
2、C(x2，y2)，联立Error!消去y整理得x24kx80，x1x24k，x1x28.kAC，直线AC的方程为yy1(xx1)y1y2 x1x2x2 1 4x2 24 x1x2x1x2 4x1x2 4即yy1(xx1)xx，x1x2 4x1x2 4x1x1x2 4x2 1 4x1x2 4x1x2 4x1x28，yxx2，即直线AC恒过定点(0,2)x1x2 4x1x2 4x1x2 42在平面直角坐标系xOy中，已知点A(x1，y1)，B(x2，y2)是椭圆E：y21 上的x2 4非坐标轴上的点，且 4kOAkOB10(kOA，kOB分别为直线OA，OB的斜率)(1)证明：xx，yy均为定值；
3、2 12 22 12 2(2)判断OAB的面积是否为定值，若是，求出该定值；若不是，请说明理由解：(1)证明：依题意，x1，x2，y1，y2均不为 0，则由 4kOAkOB10，得10，4y1y2 x1x2化简得y2，x1x2 4y1因为点A，B在椭圆上，所以x4y4，2 12 1x4y4，2 22 2把y2代入，x1x2 4y1整理得(x4y)x16y.2 12 12 22 12结合得x4y，同理可得x4y，2 22 12 12 2从而xx4yx4，为定值，2 12 22 22 2yyy1，为定值2 12 22 1x2 1 4(2)SOAB |OA|OB|sinAOB1 21 2x2 1y2
4、 1x2 2y2 21cos2AOB 1 2x2 1y2 1x2 2y2 21x1x2y1y22 x2 1y2 1x2 2y2 2 1 2x2 1y2 1x2 2y2 2x1x2y1y22 |x1y2x2y1|.1 2由(1)知x4y，x4y，易知y2，y1或y2，y1，2 22 12 12 2x1 2x2 2x1 2x2 2SOAB |x1y2x2y1|1，1 21 2|1 2x2 12y2 1|x2 14y2 1 4因此OAB的面积为定值 1.3(2018广州惠州调研)已知椭圆C：1(ab0)的左、右焦点分别为x2 a2y2 b2F1(1,0)，F2(1,0)，点A在椭圆C上(1，22)(
5、1)求椭圆C的标准方程；(2)是否存在斜率为 2 的直线，使得当直线与椭圆C有两个不同交点M，N时，能在直线y 上找到一点P，在椭圆C上找到一点Q，满足？若存在，求出直线的方5 3PMNQ程；若不存在，说明理由解：(1)设椭圆C的焦距为 2c，则c1，因为A在椭圆C上，所以 2a|AF1|AF2|2，(1，22)2因此a，b2a2c21，2故椭圆C的方程为y21.x2 2(2)不存在满足条件的直线，证明如下：设直线的方程为y2xt，设M(x1，y1)，N(x2，y2)，P，Q(x4，y4)，MN的中点为D(x0，y0)，(x3，5 3)由Error!消去x，得 9y22tyt280，3所以y1
6、y2，且4t236(t28)0，2t 9故y0 ，且3b0)的右焦点为F(1,0)，右顶x2 a2y2 b2点为A，且|AF|1.(1)求椭圆C的标准方程；(2)若动直线l：ykxm与椭圆C有且只有一个交点P，且与直线x4 交于点Q，问，是否存在一个定点M(t,0)，使得0.若存在，求出点MMPMQ的坐标；若不存在，说明理由解：(1)由c1，ac1，得a2，b，3故椭圆C的标准方程为1.x2 4y2 3(2)由Error!消去y得(34k2)x28kmx4m2120，64k2m24(34k2)(4m212)0，即m234k2.设P(xP，yP)，则xP，4km 34k24k myPkxPmm
7、，即P.4k2 m3 m(4k m，3m)M(t,0)，Q(4,4km)，(4t,4km)，MP(4k mt，3m)MQ(4t) (4km)t24t3(t1)0 恒成立，MPMQ(4k mt)3 m4k m4故Error!解得t1.存在点M(1,0)符合题意2(2018河北质检)已知椭圆E：1 的右焦点为F(c,0)，且abc0，设x2 a2y2 b2短轴的一个端点为D，原点O到直线DF的距离为，过原点和x轴不重合的直线与椭圆E32相交于C，G两点，且|4.GFCF(1)求椭圆E的方程；(2)是否存在过点P(2,1)的直线l与椭圆E相交于不同的两点A，B且使得24OP成立？若存在，试求出直线l
8、的方程；若不存在，请说明理由PAPB解：(1)由椭圆的对称性知|2a4，GFCFa2.又原点O到直线DF的距离为，32，bc，bc a323又a2b2c24，abc0，b，c1.3故椭圆E的方程为1.x2 4y2 3(2)当直线l与x轴垂直时不满足条件故可设A(x1，y1)，B(x2，y2)，直线l的方程为yk(x2)1，代入椭圆方程得(34k2)x28k(2k1)x16k216k80，32(6k3)0，k .1 2x1x2，x1x2，8k2k1 34k216k216k8 34k224，OPPAPB即 4(x12)(x22)(y11)(y21)5，4(x12)(x22)(1k2)5，即 4x1
9、x22(x1x2)4(1k2)5，4(1k2)16k216k8 34k22 8k2k1 34k24545，44k2 34k2解得k ，k 不符合题意，舍去1 21 2存在满足条件的直线l，其方程为yx.1 2较高难度题学霸做1如图，已知椭圆1 的左焦点为F，过点F的直线x2 4y2 3交椭圆于A，B两点，线段AB的中点为G，AB的中垂线与x轴和y轴分别交于D，E两点(1)若点G的横坐标为 ，求直线AB的斜率；1 4(2)记GFD的面积为S1，OED(O为原点)的面积为S2.试问：是否存在直线AB，使得S1S2？说明理由解：(1)由条件可得c2a2b21，故F点坐标为(1,0)依题意可知，直线A
10、B的斜率存在，设其方程为yk(x1)，将其代入1，x2 4y2 3整理得(4k23)x28k2x4k2120.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，所以x1x2.8k2 4k23故点G的横坐标为 ，x1x2 24k2 4k231 4解得k ，1 2故直线AB的斜率为 或 .1 21 2(2)假设存在直线AB，使得S1S2，显然直线AB不能与x，y轴垂直，即直线AB斜率存在且不为零由(1)可得G.(4k2 4k23，3k 4k23)设D点坐标为(xD,0)因为DGAB，所以k1，3k 4k23 4k2 4k23xD解得xD，即D.k2 4k23(k2 4k23，0)6因为GFDOED，所以S1S
11、2|GD|OD|.所以 ，(k2 4k234k2 4k23)2(3k 4k23)2|k2 4k23|整理得 8k290.因为此方程无解，所以不存在直线AB，使得S1S2.2(2018广西陆川县模拟)已知椭圆D：x21 的左焦点为F，其左，右顶点为y2 b2A，C，椭圆与y轴正半轴的交点为B，FBC的外接圆的圆心P(m，n)在直线xy0 上(1)求椭圆D的方程；(2)已知直线l：x，N是椭圆D上的动点，MNl，垂足为M，问：是否存在点2N，使得FMN为等腰三角形？若存在，求出点N的坐标；若不存在，请说明理由解：(1)由题意知，圆心P既在边FC的垂直平分线上，也在边BC的垂直平分线上，F(c,0)
12、，则边FC的垂直平分线方程为x，1c 2因为边BC的中点坐标为，直线BC的斜率为b，(1 2，b 2)所以边BC的垂直平分线的方程为y ，b 21 b(x1 2)联立，解得m，n，1c 2b2c 2b因为P(m，n)在直线xy0 上，所以0，1c 2b2c 2b即(1b)(bc)0，因为 1b0，所以bc.由b21c2，得b2c2 ，所以椭圆D的方程为x22y21.1 2(2)由(1)，知F，椭圆上的点的横坐标满足1x1，(22，0)设N(x，y)，由题意得M(，y)，2则|MN|x|，|FN|，|MF| .2(x22)2y21 2y2若|MN|FN|，即|x| ，与x22y21 联立，解得2(x22)2y2x1，显然不符合条件；2若|MN|MF|，即|x| ，21 2y27与x22y21 联立，解得x或x1(显然不符合条件，舍去)，232所以满足条件的点N的坐标为；(23， 146)若|FN|MF|，即 ，(x22)2y21 2y2与x22y21 联立，解得x0 或x1(显然不符合条件，舍去)，2所以满足条件的点N的坐标为.(0， 22)综上，存在点N或，使得FMN为等腰三角形(23， 146) (0， 22)
