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1、因素分析 （factor analysis）温红博提纲探索性因素分析的理论基础探索性因素分析的步骤验证性因素分析简介引言因素分析是一种利用数学方式进行数据缩减(data reduction)和数据汇总(data summarization)的 精简方法，能将众多的变量浓缩成为较少的几个 精简变量。所获得的精简变量即是因素(factor) 。引言因素分析目的之一在获得测验的构念效度 (construct validity)，利用因素分析抽取变量 之间的共同因素(common factor)，以较少的构面 (因素)代表原来较复杂的多变量结构。引言探索性因素分析(exploratory factor
2、 analysis, EFA)：传统的因素分析程序中，对于因素结构的 寻找，并未有任何假设与预期结果。对于因素的抽取、因素的数量、因素的内容，以 及变量的分类，研究前都没有事先的预期，全由 因素分析的程序决定。引言验证性因素分析(confirmatory factor analysis, CFA)：使用于研究进入较成熟阶段， 验证或确认因素分析各参数的性质或因素的数量 。一、探索性因素分析的理论基础探索性因素分析的理论基础因素分析的基本模式： Zji = aj1F1i + aj2F2i + aj3F3i + + ajmFmi + djUjiZji: 为第i个被试在第j个变量的标准化分数 Fmi
3、: 是第i个被试在第m个共同因素上的分数 m: 所有变量共同因素的数目 Uji:是第i个被试在第j个变量的唯一因素的分数 dj :是第i个被试在第j个变量的唯一因素的加权 Ajm: 因素加权或组型负荷量（pattern loading），代表 第m个共同因素对j个变量变异量之贡献Z、F、U分别为平均数为0，标准差为1的标准分数。探索性因素分析的理论基础因素分析的基本假设：1.所有的共同因素之间都有相关或都无相关。 2.所有的共同因素都直接解释所有的观察变量 。 3.所有的唯一性因素之间互不相关。 4.每一个观察变量只被一个唯一性因素所解释 。 5.所有的共同因素与所有的唯一性因素之间都 没有相
4、关。探索性因素分析的理论基础共同性与唯一性： 被试在第j个变量上的z分数的变异量为：展开上式： 内是共同因素所造成的变异量，之和称为变量j 的共同性(communality)，以 表示， 则称为唯一性（uniqueness）。 探索性因素分析的理论基础共同性与唯一性： 因而： 如果各共同因素之间没有相关，那么：所以，当各因素之间没有相关时，共同性即为各组 型负荷量的平方和。探索性因素分析的理论基础解释率： 共通因素Fj对所有随机变量之变异量的总贡献量为 ：此值亦称为因素Fj的特征值(Eigenvalue)。将其除 以变量数（即总变异）后再乘以100，就是这个因 素所能解释的变异百分比。以三个变
5、量抽取两个共同因素为例，三个 变量的线性组合分别为：转换成因素矩阵如下：探索性因素分析的理论基础探索性因素分析的理论基础变量F1(共同因素一) F2(共同因素二) 共同性h2唯一因素d2X1a11a12X2a21a22X3a31a32特征值解释量探索性因素分析的理论基础共同性，就是每个变量在每个共同因素的负 荷量的平方总和（每行中所有因素负荷量的平方 和），也就是个别变量可以被共同因素解释的变 异量百分比，这个值是变量与共同因素间多元相 关的平方。探索性因素分析的理论基础特征值是每个变量在某一共同因素的因素负 荷量的平方总和（每列所有因素负荷量的平方和 ）。将每个共同因素的特征值除以观察变量总
6、数 ，就是共同因素可以解释的变异量。探索性因素分析的理论基础结构负荷量（structure loading）： 因素与变量之间的相关就是结构负荷量，任一变量与任一因素 的相关是：展开后为：如果各因素之间相关为0 ，则 ，组型负荷 量与结构负荷量相同。探索性因素分析的理论基础再生相关系数（ Reproduced correlation coefficients）假定两个变量之间的相关为：则可得到： 这就称为再生相关系数，而其与原变量之间差量为残 差相关系数（Residual correlation coefficients ）探索性因素分析的理论基础因素分数（ Factor scores ）当抽
7、取适当的因素后，相对于每个被试，因素必须有 对应的值，这些值即称为因素分数。探索性因素分析的理论基础因素分数的产生由因素负荷量为基础，通过回归分析原理 来获得一组因素分数系数，即可计算因素分数因素分数系数为因素负荷量与相关系数反矩阵的乘积因素分数为原始变量分数转换为Z分数后乘以因素分数系 数而得2123相关矩阵Observed correlation matrix由观察变量计算得到的相关系数矩阵Reproduced correlation matrix由因素导出的相关系数矩阵Residual correlation matrix观察相关系数矩阵与再生相关系数矩阵的差异24因素分析的各类矩阵Or
8、thogonal rotation直交转轴不具有相关的所有因素转轴结果Oblique rotation斜交转轴因素间具有相关的转轴结果Loading matrix因素负荷矩阵直交转轴后各观察变量与因素间的相关系数矩阵Structure matrix结构矩阵斜交转轴后各观察变量与因素间的相关系数矩阵Pattern matrix组型矩阵斜交转轴后各观察变量与因素间排除因素间相关后之相关系 数矩阵Factor score coefficients matrix因素分数系数矩阵用以反应因素得分的类回归方程式系数矩阵二、探索性因素分析的步骤探索性因素分析的步骤1. 选择所分析的变量 2. 准备相关矩阵，
9、估计共同性 3. 决定因素的数目 4. 从相关矩阵中抽取共同因素 5. 旋转因素，增加变量与因素之间关系的解释 6. 结果解释探索性因素分析的步骤探索性因素分析的步骤Descriptive功能窗口各项功能选项如下 Univariate descriptives显示各变量的有效观察值数目、平均 数和标准偏差。 Initial solution此为内定选项，显示未转轴前之各变量的共通 性、特征值(eigenvalues) 、和可解释之变异量的百分比。 Coefficients显示变量间的相关系数距阵。 Significance levels显示相关系数单边的显著水平。 Determinant显示相
10、关系数距阵的行列式值。 KMO and Bartletts test of sphericity Inverse显示相关系数距阵的反距阵。 Reproduced显示再生相关系数距阵和残差距阵。 Anti-image：显示反影相关系数距阵(anti-image correlation matrix)和反影共变数距阵(anti-image covariance matrix)探索性因素分析的步骤取样适切性量数(KMO, Kaiser-Meyer-Olkin measure of sampling adequacy)或简称MSA，用以度量抽样的适当性， 是比较变量之相关系数与偏相关系数的值。对每个变
11、量Xi 也可依照相似的方法计算对应的KMO值，表为 MSAi，其测度公式如下：探索性因素分析的步骤Bartletts test of sphericity： Bartlett球形检验用以检定相关距阵是否为单元距阵 (identity matrix：对角线的相关系数为1，其余为0)，若 是则不适合应用因素分析技术。检定假设如下： H0：相关距阵为单元距阵 H1：相关距阵不为单元距阵 实际分析时，很少呈现球形检定接受虚无假设。探索性因素分析的步骤KMO检验KMO取样适当性 0.5以下不宜 0.50.6不理想 0.60.7普通 0.70.8尚可 0.80.9佳 0.9极佳MSA0.5以下不合适0.5
12、以上合适Bartlett球形检验反映像相关系数矩阵对角线外的相关愈小愈好。：没有共同因素：有共同因素A1A2A3 反映 像相 关A1.868a-.406-.201 A2-.406.897a-.154 A3-.201-.154.922aKMO与Bartlett检定 Kaiser-Meyer-Olkin取样适切性量数。.899 Bartlett球形检定近似卡方分配3654.902 自由度153 显著性.000探索性因素分析的步骤探索性因素分析的步骤因素抽取功能窗口各项功能选项如下 Method选取因素抽取方法，有下列方法：Principal components：主成份分析法。Un-weighte
13、d least squares：未加权之最小平方法 。Generalized least squares：一般化的最小平方法 。Maximum likelihood：最大概似法Principal-axis factoring：主轴因素法。Alpha factoring： Alpha因素法。Image factoring：映像因素法。34不同的萃取方法一主成分法(Principal components)目的在使每一个成分能够代表最大的观察变异量第一个主成分为观察变量的线性整合，能够反应最大的变异量， 依序发展各主成分可以得到最大的解释变异量主要因素法(principal factors)以共同
14、性为分析的对象因素的抽取以迭代程序来进行，反复带入共同性直到无改善能够产生最理想的再生矩阵映像因素萃取(image factor extraction)各观察变量的变异量为其他变量的投射。每一个变量的映像分数 以多元回归的方法来计算，映像分数的共变矩阵被进行PCA类似PCA，能够产生单一的数学解，对角线与FA相同，为共同性因素负荷量不是相关系数，而是变量与因素的共变35不同的萃取方法二最大概似因素萃取(maximum likelihood factor extraction)以因素负荷量的总体估计数为主要目的计算样本求得之观察矩阵能够反应总体的最大机率的负荷量因素可进行显著性考验，适用于验证性
15、分析也即是求取变量与因素间的最大典型相关无加权最小平方法(unweighted least squares factoring)求取观察与再生矩阵的残差的最小平方值共同性是分析完成之后才进行计算一般加权最小平方法(generalized weighted least squares factoring)在无加权平方法下，增加权数的考虑(以共同性加权)有较大的共同变异的变量被较大的加权Alpha法(alpha factoring)处理共同因素的信度，提高因素的类化性（generalizability）共同性的估计是在使因素的alpha信度达到最大36四种因素抽取方法比较主成分分析主轴因素法Alp
16、ha因素法 映像因素法12121212T1-.087.988-.086.981-.086.981-.086.968T2-.072.989-.071.977-.071.977-.071.965T3.997-.026.994-.026.994-.026.993-.026T4.998.040.997.040.997.040.993.040特征值2.0161.9422.0051.9091.9971.9171.9841.870解释50.4148.5450.1247.7349.9347.9249.6146.74转轴特征值2.0031.9551.9951.9191.9951.9191.9831.871直交50.0748.8849.8747.9949.8747.9949.5946.76总变异98.9597.8597.8596.3537探索性因素分析
