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1、普物普物 1 第二篇第二篇 振动和波动振动和波动 南京信息工程大学南京信息工程大学 数理学院数理学院 詹詹 煜煜 第六章第六章 振动振动 第一节第一节 简谐振动简谐振动 一、简谐振动的基本特征一、简谐振动的基本特征 1. 振动的概念振动的概念（1）机械振动）机械振动 物体在某确定位置附近往复运动。物体在某确定位置附近往复运动。 （2）广义振动概念）广义振动概念 某种量在一定值附近反复变化。某种量在一定值附近反复变化。 2. 机械振动的特点机械振动的特点（1）有平衡点。 （）有平衡点。 （2）有周期性。）有周期性。 3. 机械振动的分类机械振动的分类（1）按振动规律分：）按振动规律分：简谐、非简
2、谐、随机。简谐、非简谐、随机。 （2）按产生振动原因分：）按产生振动原因分： 自由、受迫、自激、参变。自由、受迫、自激、参变。 （3）按自由度分：）按自由度分： 单自由度、多自由度。单自由度、多自由度。 （4）按振动位移分：）按振动位移分：角振动、线振动。角振动、线振动。 （5）按系统参数特征分：）按系统参数特征分：线性线性弹性力和阻尼力与 x 成线性关系，是对振动现象在振幅足够小的近似, 为线性常系数常微分方程，非线性。，非线性。 4弹簧弹簧振振子子运动运动 原点原点 O 平衡位置。平衡位置。kxF= mFa =mkx= 22dtxda =022 =+xmk dtxd令令2=mk02 22
3、=+xdtxd解为解为)tcos(Ax += 5单单摆摆摆长摆长l，小球质量，小球质量m，悬线与铅直线夹角，悬线与铅直线夹角 JM =有有()22 2sindtdmllmg=即即0sin22 =+ lg dtd负号是力矩与负号是力矩与的参的参考正方向相考正方向相反。反。 很小很小。 sin022 =+ lg dtd=x令02 22 =+xdtxd)cos( +=tAx 6动动力力学特征学特征 02 22 =+xdtxd7运动学特征运动学特征 )tcos(Ax += 振振子速子速度：度： )sin(+=tAdtdxv AV=max振振子加速子加速度：度： )cos(2 22 +=tAdtxda
4、Aa2 max= 8简谐振动简谐振动图象图象 二、二、描述描述简谐振动的特征量简谐振动的特征量 1周期周期 T：状态完全重复一次的时间。状态完全重复一次的时间。2=T kmT22=或或glT2= 2频率频率 v 或或 f：单位单位时间时间振动振动次次数。数。Tv1= 或或 vT1= 3角角频率频率（圆频率圆频率）vT22=单位单位时间时间变化的角度。变化的角度。 4振振幅幅 A：最最大位移。大位移。5位位相相 +t：决决定定状态状态和变化和变化趋势趋势。 6初相初相：0=t时时位位相相。 7位位相差相差：() ()()()12121122+=+=ttt 8周期、周期、频率频率、振、振幅幅A、初
5、相初相位位的的计算计算 （1）、f、T 由振动系统由振动系统决决定：定：22kg ml=或=固固有有频率频率 （2）,A由由初始条件决初始条件决定：定：0=t时时有有cos0Ax = sin0Av=即即22 02 0vxA+=)(00 xvarctg=1）值值所所在在象限象限： 1）00x，00v：象限象限 )( 4）00x，00v：象限象限 2）在在- 间间有有两解要通过满足初始条件两解要通过满足初始条件 x、v 方方程程验证验证。 例例：光滑水平面，光滑水平面，mNk/60. 1=，kgm40. 0=，求振动方程。 （，求振动方程。 （1） m在在mx10. 0=静止释放； （静止释放；
6、（2）m在在mx10. 0=处向左速率处向左速率sm/20. 0。解解： （1）() +=tAxcos smk/240. 060. 1=可得可得：mvxA10. 0010. 02 22 02 0=+=+=000arctgxvarctg=00x，00=vo0= ( )mtx2cos10. 0= （2） 初始条件初始条件：0=t时，时，mx10. 00=，smv/20. 00= ()mvxA21 . 0220. 010. 022 2 22 02 0=+=+=110. 0220. 000arctgarctgxvarctg= =00x，00舍去2 = 2= 解解一动一动能转能转变变为弹为弹性性势势能能
7、2211()22mM VkA+= 0.05Am= 解解二二初速是最初速是最大大速速度度sin()2VAA= = mVA05. 0=振动振动方方程：程：)240cos(05. 0=tx三三、矢矢量量图解图解法法和复数和复数解解法法 1矢矢量量图解图解法法 （1）旋转矢旋转矢量量Av模模为为振振幅幅A，逆逆时时针转针转动动，角角速速度度为为。 （2）表示法表示法 （1）振幅）振幅Av ，x 轴上投影轴上投影)tcos(Ax +=（2）周期周期 T。 （。 （3）初相，初相，() +t相相位。位。 例例：物体物体，振振幅幅m12. 0，周期周期s2。0=t时，时，位移位移m06. 0，向，向 x 轴
8、轴 正向正向运动。 （运动。 （1）求求物体振动物体振动方方程程； （2）1t 时时刻刻第一第一次次运动运动到到mx06. 0=处，求处，求物体物体从从1t运动运动到到平衡位置平衡位置所所用用最最短短时间时间。 解解： （1）设设() +=tAxcos mA12. 0= 1 222=ST 方方法法一一用用数学数学公式公式求求 cos0Ax =mA12. 0=,mx06. 00= 21cos= 3= 0sin0=Av 3= mtx =3cos12. 0方方法法二二用旋转矢用旋转矢量量法法求求 3= mtx=3cos12. 0（2） 方方法法一一用用数学数学式式() =3cos12. 006. 0
9、1t12 33t= 11sin()03vAt= =Atvs )32cos(02. 0)( =ttys 以以s点点为为坐标坐标原点：原点：32)(cos02. 0),(=uxttxy 例例：横横波在波在弦弦上上传播传播，波动波动方方程程为为()xty5200cos02. 0=(SI) 求求：?=uTfA、解解：=x TtAxftAuxtAy2cos2coscos=4 . 001. 02cos02. 04 . 01002cos02. 040200cos02. 0xtxtxtymA02. 0=smu/40= Hzf100=m4 . 0= sT01. 0= 例例：平面简谐波沿平面简谐波沿+x 方向传播
10、，波速方向传播，波速sm/20，A 处振动方程处振动方程ty4cos03. 0=(SI)，试以，试以 A、B、C 为原点，求波动方程。为原点，求波动方程。 解解： （1）以）以 A 为原点，为原点，波动波动方方程程40 0340 03420xyttxu.cos().cos()= （2）以以 B 为为原点原点，振动振动方方程程40 034920yt.cos()=(SI) 波动波动方方程：程：490 034205ytx.cos()=(SI) （3）以以 C 为为原点原点，振动振动方方程程40 034520cyt.cos()=(SI) 波动波动方方程程40 03420ytx.cos=+(SI) 例例
11、：沿沿x轴轴正向正向传播传播平平面面余弦余弦波波，sT2=，st31=时时的波的波形形如如图图。求求：o点的振动点的振动方方程程； 该该波波方方程 （波程 （波函函数）数） ；C 点振动点振动方方程程；C 点点到到 O 点点距离距离。 解解：=T220=Tu005 10cos() 10cos()3t =+=+ 0()33+= 03 =或或0= 0sin() 033VA=+5 6C = C 点振动点振动方方程程0510cos()6ytcm= 5 2036Cx = += CO 间间距离距离23.33xcm= 第第三三节节 波动波动方方程和波的程和波的能能量量 一、一、 一一维维波动波动方方程的程的
12、微微分分形形式式将将cosxytu=求求二二阶阶导导数数 )(cos2 22uxtAty=)(cos2222uxtuAxy= 得得222221 ty uxy =二、二、 一一维维波动波动方方程的动程的动力力学学推推导导平平面面纵纵波在波在细细长长棒棒中中传播传播 截截面面 S 密密度度，力力协强），单位截面所受协强），单位截面所受：应力：应力(。 t 时时 BC 所所受受合外合外力力SdxxSdxx=+)(振速振速 V，牛顿定律，牛顿定律tV xtVSdxSdxx= =,根据根据胡克胡克定律：定律：xyYLLY=0Y 杨氏杨氏弹弹性性模模量量 动动力力学学方方程程tyVtV xyY=,22 2
13、222/1 ty Yxy = 可得可得Yu =三三、波、波速速横横波在波在固固体体中中传播传播速速度：度：Gu =G：切切变变弹弹性性模模量量 纵纵波波速速度：度：Bu =（液液、气气、固固体体中中）B：容容变变弹弹性性模模量量 对对大多数大多数金属金属，BY，Yu =四四、波的、波的能能量量杆元杆元能能量量pkdWdWdW+= 1动动能能2 2 21 21=dtdydVdmVdWk=uxtAdV222sin212势势能能 t时时刻刻体体元元伸伸长长dy，端端面面恢恢复复力力f。dxdyYSf= dxdySYf =又又 kdyf =有有dxYSk = ()() dxdyYSdykdWp2 2 21 21=2221 21= =dxdyYdVdxdyYSdx Yu = 2uY=有有= uxtAuxysin =uxtAudVudWp22 22 2sin21=uxtAdV222sin213总能总能=+=uxtAdVdWdWdWpk222sin （1）pkdWdW =（2）随）随 t 变。变。 4波动的波动的能能量量密密度度w：空空间间某点某点处处单位体单位体积内积内波动波动能能量。量。 =uxtAdVdWw222sin5平平均均能能量量密密度度w：单位体单位体积内积内一一个个周期平周期平均均含含有的有的能能量。量。 =TTdtuxtATwdtTw 02220sin11dtuxtTAT
