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1、3 6 数学通讯2 O 1 3 年第 1 、 2期( 上半月) 辅教 导学 解析几何长度问题的求解策略 王文彬 ( 江西省抚州市第一 中学 ， 3 4 4 0 0 0 ) 在解析几何问题 中， 如涉及 到线段 的长度关 系， 利用两点间的距离公式往往难 以奏效， 也非明 智之举 对此类问题 ， 我们通常总是运用 向量进行 “ 软着陆” ： 将线段的长度关系转化为 向量关系 ， 进 而转化为向量的坐标运算 下面举例说 明 例 l 如 图 1 ， 已知过 点 N( -2 ， o ) 的直线 z 与椭圆 +Y = 1交 于不 同的两点 A， B( 点 A在 N 与 B之间) ， 点 M 是 弦 AB
2、 的 中点 ， 求 的取值范围 J 一 图 1 解 析 设 ：= ， 易 知 1 一 ，接 下来将此向量式坐标化 设 A( x 1 ， 】 ) ， B( x 2 ， 2 ) ， M( x o ， ) ， 则 ( 一 2一 z 0 ， 一 Y 0 )= ( z l z 0 ， Y 1 一 Y 0 ) ， 所 以 一2一z 。= ( 1 3 5“ 。 ) ， 于是 可得 ： 旦： 直线 l 的方程 可设 为 Y k ( z+ 2 ) ， 与椭 圆方 程联 立得 ( 1十 2 矗 。 ) 十 8 k z+ 8 k 一 2= 0 令 A一 ( 8 k ) 一4 ( 1 +2 k 。 ) ( 8 忌 2
3、 ) 0 ， 可得 足 。 z 。 ， 所 以 z 一z 一 ， 而 2= ： =2一 一 ， 代 人 得 赢 2 一 4 五 又 0 k b o )过点 M( ， 1 ) ， 且左焦点 为 F ( 一 2 ， O ) ( 1 ) 求椭圆 C的方程 ； ( 2 )当过点 P( 4 ， 1 ) 的动直线 z 与椭圆C交于 两个不同的点 A， B时， 在线段 A B上取点 Q， 满足 I l I 商I ， 证明点Q总在某 定 直线上 解析 ( 1 ) 易求得椭圆c的方程为x z T y2 1 ( 2 ) 将条件变为 一 匕 值为 A ， 则 一 一 商 ， 一 商 再设 A( x 1 ， Y 1
4、) ， B( x 2 ， Y 2 ) ， Q( ， ) ， 贝 0 ( 4一 l ， 1一 Y 1 )一一 ( z 2 4 ， Y 2 1 )， ( z X 1 ， Y Y 1 )一 ( z 2 一 ， Y 2一 ) 由此得 4 一 等 一 z一 z一 1 ：= l 一 图 2 以下设法消去 z ， z ， y ， Y 。 ， ， 求得 ， 之问 的关 系 由于点 A， B都在椭圆C上 ， 故有 z +2 y 一 4 ， z ； + 2 y i= 4 得 辅教导学 数学通讯2 O 1 3年第 1 、 2期( 上半月) 3 7 4 z 一 车 得 = + X 2得 4 z均一 化 简得 2 x+
5、Y一2 0 故点 Q总在直线 2 +Y一2： 0上 例 3 已知曲线 c ： + ： 1 ( o ) ， 直线 z 的斜率为 ， 且过点 M( 0 ， 一2 ) ， 若直线 l 与曲线 C交 于不同的两点 A， B， 且 I MA I 1 墙I 一 ， 求曲线c 的方程 解析 由 I MA I I MB l 一 可知 商 一号 或 一 号 ， 直 线 z 的 方 程 为 一 一 2 由 j 一 _ 。 l 僦 + Y 一 ( m + 2 ) x 。一 4 + 4一 m = 0 令I lm + Z。 。 2或 O ) ， 且与直线 z 。 ： 一一m相切， 动圆圆心 M 的轨迹方 二 的 取 值
6、 范 围 p1 解析 容易求得曲线 C的 方程为 一 4 m y 设 ， 一 ，A( x ， Y a ) ， B ( x 2 ， ) ， 则由 一 得 ( 一z s ， ) 一 1 ( x l 一砖 ， Y 1 ) ， 所以 m 1 Y 1 同理可 得 m 一 ,l z Y 2 于是有 1= ， 2= ， 故 Y1 2 + A ：一 ( + )一 Y1 Yz 1 Yz 设 z 2 ： Y= = = +m， 与 。一 4 m y联立得 一 ( 2 m+ 4 ) + 。 = 0 ， 所 以 l+ Y 2 2 m + 4 。 ， Y l Y 2= = = 代 入 一 2 + 4 k 。 2 ， 所
7、以 + _ 的 取 值 范 围 为 ( 2 ， + ) 例 5 已知直线 l ： Y一 2 一 4 与抛物线 Y 。 一4 x交于点A， B， 过弦 AB上 任意一点 P( 不含端 点 A， B) 作斜率为 一2的直线 Z 交抛 物 线 于 C ， D 两 点 ， 求 证 ： I P A I I P B I I P C 1 1 P D I 解 析 设 l P A卜 1 P B J ， A( x 1 ， 1 ) ， B( x 2 ， Y 2 ) ， 则 一一商 商 l o 图 4 一一( zl t ， y 1 2 t + 4 ) ( 2 一 t ， Y 2 2 t + 4 ) 一一( z1 一
8、t ， 2 z l 一 2 t ) ( 2 一 t ， 2 z 2 2 t ) 一5 t ( s c l + 2 )一 5 l 2 5 t 。 由 。 4 。 + 4 _ o ，故 zl + z2 5 ， 1 2= 4 代 入上式 得 一 2 5 t 一 2 O 一 5 。 又 直线 Z 1 的方程 为 一2 +4= = = 一2 ( z 一 ) ， 即 一一2 x+ 4 t 一 4 设 = I尸 C 【 1 P D f ， C( x 。 ， 蛐 ) ， D( x 4 ， Y ) ， 则 3 8 数学通讯2 O 1 3 年第 1 、 2期( 上半月) 辅教导学 “=一 P- -5 一一( 3
9、一 t ， Y 3 2 t + 4 ) ( 4 一 t ， Y 4 2 t + 4 ) 一一( z 3 一 t ， 一 2 z 3 + 2 ) ( z 4 一 t ， 一 2 4 + 2 t ) 一5 t ( z3 + 4 )一 5 x 3 z 4 5 t 。 ， 由 ： + 4 t - 4 ,得 - 。 + ( 3 4 t ) x+ 4 t 一 8 + 4 0 ， 故 3 +z 4 4 t 一3 ， 3 4 4 t 一8 +4 ， 代人 上式 得 = 5 ( 4 一3 ) 一5 ( 4 t 。 一8 t +4 ) 一5 t 一 2 5 t 一2 O一 5 2 所 以 一 ， 原命题得证 从上
10、 面所 举 的例 子 可 看 到 ， 在 将 长 度 关 系 向 量 化之后 ， 再 将 向量 关 系 坐标 化 时往 往 会 遇 到 是 选择横坐标相等还是选择纵坐标相等 的问题 ， 选 择时应以简便为原则 当然有些 问题可能两者都 要考虑 另外 ， 上述各例涉及到的线段均在同一直 线上， 如不具备这一特点 ， 必须另寻他法 ( 收稿 日期 ： 2 0 1 2 0 6 3 0 ) 两道 2 0 1 2 年全国课标卷理科选择题的解析 季丙富 ( 河 南平顶 山第二 中学 ， 4 6 7 0 0 0 ) 2 0 1 2年高考全 国课 标卷 理科 选 择 题 的第 l 1 、 1 2题 难 度 较
11、 大 ， 本 文 谈 谈 这 两 道 试 题 的解 析 和 警示 题 目1 ( 2 0 1 2 年全国课标卷 1 1 题)已知三棱 锥 S A B C 的所有 顶 点都 在 球 0 的球 面 上 ， AA B C是边长为 1 的正三角形， S C为球0的直径 ， 且 S C= 2 ， 则此棱锥的体积为 ( ) (A ) 譬 (B ) b b (c ) 争 (D ) 0 方 法 一 ( 估 算 法 ) V s A B c 2 R 一 ， 排除 B， C， D， 故选( A) 方法二( 直接法) 由正弦定理 ， 可得 AA BC 的外接圆的半径 一 由垂径定理， 点 0到面ABC的距离 一 一 因
12、 为 S C为球 0的直径 ， 得 点 S到面ABC的距 离为 2 d： ， 因此 ， 此棱 锥的体 积为 ： = = s 一 1 x 丁2 4 -6- 一 故选 ( A) 方法 三 ( 割 补 法 ) 如 图 1 ， 取 A B 的中点 D， 连结 S D， C D， 则 S D， C D都 与 AB 垂 直 ，所 以 A B 垂 直 于 平 面 SC D 因为 S C为球 O的直 径 ， 所 以 S AC AS BC = ： ： 9 0 。 ， 易求得 S A S B 一 ， 图 1 S D 一 ， c D 一 ， S 3 c D一 ， 所 以此棱 锥 的 1 体积为V一s D A BV_A 故 选 ( A) 评 析 球 的内接 与外 切 问题 是对 学生能 力 的 一个较大的挑 战， 球 的截面问题在 高中教材上是 没有 的 ， 垂径 定理 在课本 上 也没 有 直接 出现 ， 而是 出现在人教版必修 2 教材 3 0页“ 探究与发现” 祖 咂原理与柱体、 锥体 、 球体的体积这篇阅读材料 上 本题的求解需要重视教材阅读材料的学 习， 强 调 学生在 学习 时 ， 既要 重 视教 材知 识 的学 习 ， 同 时
