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1、线性空间习题课 1. 求一个齐次线性方程组,使得0=Ax0=Ax的解空间是由向量组 ,) 1 , 0 , 1 , 1 (,)0 , 1 , 1, 1 (21TT=T) 1 , 1 , 0 , 2(3=所生成的的子空间. 4F解: 由题意可知1230AAA=,则123(,)0A =,记,从而有,取转置,即123112 110(,)101 011B = 0AB =0TTB A =TA的列向量组是方程组0TB x =的解. (故求的问题转化为求的基础解系的问题,求出基础解系,行向量形式摆成矩阵,此矩阵即为所求齐次线性方程组的系数矩阵.) 0=Ax0TB x =0=Ax11101110 1101021
2、1 20110000TB = ,得一组基础解系为,则所求齐次线性方程组为. 12( 1,1,2,0) ,( 1, 1,0,2)TTXX= = 0=Ax12312420 20xxx xxx+= +=2. 设,记,求W的一组基. = 220110101 A,|33=FBBAABBW解:设,则, = zyxfedcba B += 120100100 EA = 120100100120100100zyxfedcbazyxfedcba即,列成线性方程组,求解. + = +zyxzfedfcbaczfyexdzyxzyx2020202220= dx,fcy22 =eba=+,zye22=+ 则.则,W是维
3、线性空间,一组基为: += cbaccbacba B 200 0| , ,02abc Wabca b cF cabc =+3100010001,. 1000100101201001003. 设, )(, 0) 1 (| )(nxxffxfWR=(1) 证明:W是的子空间. (2) 求W的一组基和维数. nxR解: (1) 任取( ), ( )f x g xW,首先,则 (1)0, (1)0fg=对( )( )f xg x+,故(1)(1)0fg+=( )( )f xg xW+,对加法封闭. 对,有,即,对数乘封闭,从而W是的子空间. ( )kf x(1)0kf=( )kf xWnxR(2) 线
4、性无关,且若是一个12) 1( ,) 1( , 1nxxx?)(xf1n次多项式满足.则在1点泰勒展开有0) 1 (=f)(xf1)1( 2) 1()!1() 1 () 1(! 2) 1 ( ) 1)(1 ( )( +=nn xnfxfxfxf?.故W是维子空间, 1n12) 1( ,) 1( , 1nxxx?是一组基. 4. 不是的子空间. 11212( ,)|1nVx xxxxx=+n+?nFVx xxxxx=+?nF=是的子空间. 21212( ,)|0nn=31122 |(),0n n ijnnnVA AaFaaa=+=?是n nF的子空间. 4 |(),n nTT ijnVA AaF
5、AAorAA= 不是n nF的子空间. n nP中, 1 |0VA A=,.都不是子空间 2 2 |VA AA=5. 在中,判断的线性相关性. 2 2P 1234111111,111111aaAAAAaa=1解: 假设,代入得 112233440k Ak Ak Ak A+=12341234123412340akkkkkakkk kkakkkkkak+=+列成线性方程组,其系数矩阵为,其行列式 111 11 111 111a a a a 3111 111(3)(1)111 111a aaaa a=+. 1a 且时,行列式非零,线性方程组只有零解, 3a 1234,A A A A线性无关. 1a
6、=或时,行列式为零,线性方程组有非零解, 3a = 1234,A A A A线性相关. 6 补充题第 2 题 设n,21?是的一组基,VFA是一个mn矩阵,令Anm),(),(2121?=则 )(),(21Arrm=?. 证明: 设,并设是的一个极大无关组. rAr=)(),(21mXXXA?=rXXX,21?mXXX,21?则任给,可由线性表出,设mrj, 1?+=jXrXXX,21?rjrjjjXkXkXkX+=?2211,则 )(,(),(22112121rjrjjnjnjXkXkXkX+=? rnjrnjnjXkXkXk),(),(),(2122121211?+=rjrjjkkk+=?
7、2211即j()可由mrj, 1?+=r,21?线性表出, 假设02211=+rrlll?,则,其中, =rnrrlllAlll?211212121),(),(0),(11rXXA?=由于n,21?是基,则,而0211=rlllA?1A列满秩,从而则021=rlll?r,21?线性无关,故r,21?是m,21?的一个极大无关组,从而)(),(21Arrrm=?. 7. 求中4 P x23 1142fxxx= +,23 21 932fxxx= +,3 356fxx= +,23 45752fxxx=+,的秩. 解:同上题,做线性组合,看解的情况.或者如下. 1234,ffff可由231, ,x x
8、x线性表出.列成形式表达式 23 123411554967(,)(1, ,)23051212Affffx xx= = 115511551034 496701210121 230500000000 121200000000A = ,由此,可得12,ff是1234,ffff的一个极大无关组,且3124132,42fffff= += f. 8 在中,求的一个极大线性无关组. 2 2P 123450103000205,1101131226AAAAA=解: 12345111221220000013025(,)(,)1011211326AA A A A AEEEE= = 0000010112 130250
9、1238 101120071027 1132600000A = 123,秩为 3,故A A A5是1234,A A A A A的一个极大无关组. 9. 在中,证明 nP x22 1231,1,1,1n n1ffx fxxfxxx= += += +?线性无关. 证明: 假设,整理后得 1 122330nnk fk fk fk f+=?2 1223()()()n nnnnkkkkkxkkxk x+=?10,故系数全为零,可解得 120nkkk=?,线性无关. 或者21 123111011(,)(1, ,)001n nAffffx xx= = ?,其中A行列式为 1,矩阵可逆,满秩,故123,nff
10、ff?满秩,线性无关. 10 线性空间中,取两组基3 F x22 1231,1,2fx fxfxx= = +=+和 22 123,1,1gx gxgxx= = +,(1) 求123,fff到的过渡矩阵. (2) 求123,g gg2123fxx= +在基123,fff和下的坐标. 123,g gg解: (1) 2 123110(,)(1, ,)101012Afffx x= =,则 2 123011(,)(1, ,) 101011Bg ggx x= =21 123123(,)(1, ,)(,)g ggx xBfffA B=,123,fff到的过渡矩阵为123,g gg1A B,(具体算出来).
11、(2) 221 12311123(1, ,) 2(,)233fxxx xfffA = += 221 12311123(1, ,) 2(,)233fxxx xg gg B = += .(算出最后结果) 11 12341011111 1,0000101 1AAAA=, 4123410011111,11111001BBBB=(1) 求由123,A A A A到1234,B B B B的过渡矩阵. (2) 求一个矩阵A,使得A在基1234,A A A A和基1234,B B B B下有相同的坐标. 解: (1) 12341112212211110111(,)(,)00110001AA A A AEEEE= = 12341112212210110111(,)(,)11101101BB B B BEEEE= = ,则 1 1234111221221234(,)(,)(,)B B B BEEEEBA A A A A B=. (2) 由题意,列下等式: 12341234(,)(,)AA A A A XB B B B X=,则 11223344(,)AB AB AB AB X= 0,化为线性方程组求解. 线性方程组的系数矩阵为,求解的,即0100 0000 1101 1100 (0,0,1,0)T3AA=满足要求.
