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1、习题 11-1 常数项级数的概念和性质 习题 11-1 常数项级数的概念和性质 1填空题： （1）收敛，则 =1nnu=+ ) 3(lim2 nnnuu. （2）收敛，且=1nnannaaaS+=L21，则=+)2(lim11nnnnSSS . （3）L+)31 21()31 21()31 21(3322的和是 . （4）若的和是 3，则的和是 =1nnu=3nnu. （5）的和是 2，则=1nnt=12nnt的和是 . （6）当x1 时，的和是 =1nnx. 2根据级数收敛与发散的定义判别下列级数的敛散性： （1）=+1) 12)(12(1nnn（2）=+1)122(nnnn 3判别下列级数
2、的敛散性： （1） （2）=11) 1(nn=11)54() 1(nnn（3）=1)23(nn（4）=1001. 0nn（5）=+1632nnnn（6）LL+nn512251151习题 11-2 常数项级数的审敛法 习题 11-2 常数项级数的审敛法 1用比较审敛法或比较审敛法的极限形式判别下列级数的敛散性： （1）=+111nnn（2）=+12 22cos11nnnn（3）=12sinnn2用比值审敛法或根值审敛法判别下列级数的敛散性： （1）=123nnnn（2）=1!2nnnnn（3）= 11213nnnn3判别下列级数的敛散性： （1）=+1223nnnn（2）=+12) 1(3nnn
3、（3）=+1)1(nn nna， （0） a4判断下列级数是否收敛，若收敛是绝对收敛还是条件收敛？ （1）=1)cos1 () 1(nn na， （a0） （2）=2ln1) 1(nn n5已知级数和都收敛，试证明级数绝对收敛. =12nna=12nnb=1nnnba习题 11-3 幂级数 习题 11-3 幂级数 1填空题： （1）若幂级数=123nnnxa在0=x处收敛，则在5=x处 （收敛、发散）. （2）若2lim1=+nnncc，则幂级数的收敛半径为 =02nn nxc. （3）=1) 3(nnnnx的收敛域 . （4）=+03) 1(3nn nn x的收敛域 （5）=+1122) 1
4、(nnn n nx的收敛域 . (6) =+02)2(11nnxnn的收敛域 . 2求下列幂级数的收敛域： （1）=+1212nnn xn（2）=13 212nn nxn（3）=1)3(31nn nxn3若幂级数的收敛域是-9,9，写出的收敛域. =1nn nxa=12nn nxa4利用逐项求导或逐项积分，求下列级数在收敛区间内的和函数： （1）， （-1=11nnnxx1） （2）=11212nnnx， （-1x1） ，并求级数12) 12(1nnn的和. 5求幂级数的收敛域及其和函数. +1) 12(nnxn习题 11-4 函数展开成幂级数 习题 11-4 函数展开成幂级数 1将下列函数展
5、开成x的幂级数，并求展开式成立的区间： （1）， （a0） （2）， （a0 且)ln(xa +xa1a） ， （3） （4）x2sin)1ln()1 (xx+ 2将函数2)1 (1)(xxf+=在处展开成幂级数. 10=x3将函数xxf+=31)(展开成（2x）的幂级数. 4将函数212)(2+=xxxxf展开成（2x）的幂级数. 习题 11-5 函数的幂级数展开式的应用 习题 11-5 函数的幂级数展开式的应用 1利用函数的幂级数展开式求9522的近似值（误差不超过 0.00001）. 2利用被积函数的幂级数展开式求定积分+5 . 0041xdx的近似值（误差不超过 0.00001）. 习
6、题 11-7 傅里叶级数 习题 11-7 傅里叶级数 1填空题： （1）如果是周期为)(xf2的周期函数,并且=+=10)sincos(2)(nnnnxbnxaaxf则=0a， =na，=nb ), 2 , 1(L=n；若又为偶函数，则)(xf=0a，=na ，=nb ), 2 , 1(L=n. （2）满足收敛定理条件，其傅立叶级数的和函数为，已知在处左连续，且，则)(xf)(xS)(xf0=x2)0(, 1)0(=Sf= +)(lim 0xf x. （3）设1, ( ) 1,0xx f xxx0+= 展成以2为周期的傅立叶级数的函数为，则)(xS= )3(S， =)12(S，=)(kS （4
7、）是以)(xf2为周期的函数， 已知其傅立叶系数是， 若nnba ,)()(xfxg=， 则的傅立叶系数、与的关系是= )(xg na bbnnba , na ， = bb. （5）在xexfxcos)(=,上傅立叶系数=0a ，=1b 2将函数（2)(xxf=x）展开成傅里叶级数. 3以2为周期的周期函数在)(xf,上的表达式为 pp xxxf0100)(，将其展开为傅里叶级数. 4将函数（0xxxfsin)(=x）分别展开成： （1）正弦级数 （2）余弦级数 习题 11-8 一般周期函数的傅里叶级数 习题 11-8 一般周期函数的傅里叶级数 1将函数) 11( ,2)(+=xxxf展开成傅里叶级数.
