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1、全国硕士研究生入学统一考试数学二模拟试卷（二）解答 常州大学 1 2012-09-15 一、 选择题 （1-8小题, 每小题4分, 共32分.下列每小题给出的四个选项中, 只有一个选项符合题目要求, 请 将所选项前的字母填在题后括号位置上.） （1） 【答案】D. 【考点】微分的几何意义;或 Lagrange 中值定理和 Taylor 公式. 【解析】(方法一) 见图示. (方法二) 利用 Lagrange 中值定理,存在01. （2）【答案】B. 【考点】积分上限函数的连续性;函数的奇偶性和定积分的换元方法. 【解析】( )f t可积sin0( )( )xF xf t dt=连续;而 sin
2、sinsin000()( )()( )( )stxxxFxf t dtfs dsf s dsF x=. （3）【答案】C. 【考点】复合函数和隐函数的导数. 【解析】将2( )( )xg xh xe+=对x求导数,得2( )( )2( )xg xh xxg x e+=+,代入1x =即得结论. （4）【答案】B. 【考点】求解常系数线性齐次微分方程的反问题. 【解析】特征根:1 i,特征方程:22(1)10220+ =+=,由此得到所求微分方程. （5）【答案】D. 【考点】二重积分化为二次积分,二重积分的极坐标变换. 【解析】若直接化为二次积分,应为 22111111()xxdxf xy d
3、y+或 222202()y yy ydyf xy dx(如图所示), 或做极坐标变换即得结论(注意dxdyrdrd=). （6）【答案】D. 【考点】由方程所确定的隐函数的导数. 【解析】在方程( , )0x y=两端对x求导,有 ( , )( , )( )0xyx yx yfx+=, 因此当 00(,)0xxy时,有 00(,)0yxy. （7）【答案】D. 【考点】向量组的秩. 全国硕士研究生入学统一考试数学二模拟试卷（二）解答 常州大学 2 2012-09-15 【解析】记sB , , ,21= = = =, 则ABAAAs= = = =), ,( 21. 若sAAA ,21线性无关,则
4、.) ()(), ,(sBrABrAAArss = = = = = = = 21故.) (sBr= = = =所以s ,21线性无关. （8）【答案】A. 【考点】初等变换与初等矩阵. 【解析】 = = = = = = = =3332311312112322213332312322211312111 001100010P aaaaaaaaaaaaaaaaaa, 故 . + + + + + + + + + += = = = = = = =13131211333332312323222133323113121123222121 10010001AP akaaaakaaaakaaakaaaaaaaa
5、aP 二、填空题 （9-14 小题, 每小题 4 分, 满分 24 分.请将答案写在题后横线位置上.） （9）【答案】32=y. 【考点】求曲线的渐近线. 【解析】cos22cos222limlimsin35sin335xxx xxx xxx x= +. （10）【答案】41. 【考点】分段函数的连续性,积分上限函数的导数. 【解析】33 0 4300sin( )sin()1limlim44xxxtdtx xx=. （11）【答案】1 6. 【考点】计算收敛的反常积分. 【解析】224242300 01(1)111 (1)2(1)6 (1)6xdxdx xxx+ += =+. （12）【答案】
6、xCxey =. 【考点】求解可分离变量的微分方程. 【解析】分离变量,得1dyxdxyx+= (0y ); 两端积分,得lnlnlnyxxC=+ (0C ),即xyCxe=(由于0y 是原方程的解,故C为任意常数). 全国硕士研究生入学统一考试数学二模拟试卷（二）解答 常州大学 3 2012-09-15 （13）【答案】e. 【考点】求隐函数的导数. 【解析】方程两端对x求导,得 yydydyexedxdx=+. 当0x =时1y =,代入上式,得0xdyedx=. （14）【答案】111 1 12 . 【考点】逆矩阵的概念与求法. 【解析】因为EBBA2+=,即EEA21B= = = =
7、)( .所以 = = = = = = = = 1111 21EA21B1)(. 三、解答题（15-23 小题, 共 94 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） （15） 【考点】计算极限的方法;Taylor 公式的应用. 【解析】(方法一)已知0)(sin)1 (33322 =+ xxo xxxxBxAx,即 0sinsinsin23+ xxBxxxA xxx由61sin3 xxx,1sinxx,得61, 1=BA. (方法二)利用 Taylor 公式:)(61sin33xoxxx+=,得 )(61sin)1 (3322xoxBAxxxBxAx+=+ 因此61, 1=BA. （16）
8、 【考点】计算不定积分. 【解析】222222 2x xxxxxedxxd ex eedx e= , 对于积分2xedx,令22xet=,则2 22ln(2),2txtdxdtt=+=+.于是 2222222122xtedxdtdttt=+22 2arctan222 2arctan122x xtetCeC=+= +, 因此 全国硕士研究生入学统一考试数学二模拟试卷（二）解答 常州大学 4 2012-09-15 22424 2arctan122xx xxxxeedxx eeC e=+ + . （17） 【考点】二重积分的计算,利用对称性计算二重积分. 【解析】根据左右对称性,01sin22=+
9、Ddxdyyxxy;利用极坐标替换,有 112 22200 0ln(1)ln21122DdxdyrdrIdrxyr=+=+（18） 【考点】判断迭代数列的收敛性并求极限. 【解析】nx时,有21. 在不等式21 1时0)( xf,函数)(xf严格增加,从而 0)()(=eff, 0lnelnlnee eelnlnee. （20） 【考点】应用函数的导数研究曲线的凹凸性;求曲线的切线方程;计算平面图形的面积. 【解析】 （I）1+=tt dxdy,0) 1(21322 +=tdxyd（1t）.曲线上凹. （II）设在切点),(00yx处0tt =,从而切点满足 ) 1(10 00 0+=xtty
10、, 即 ) 12(1102 0 002 0+=+ttttt. 得10=t,切点为00(,)(3,2)xy=.切线方程为012=+ yx. 全国硕士研究生入学统一考试数学二模拟试卷（二）解答 常州大学 5 2012-09-15 （III）33122000115( )(1)(2 )24xSy x dxdxttt dt+=+12301552(1)412tttdt=+ +=. （21） 【考点】计算多元复合函数的二阶偏导数;求解可降阶的二阶微分方程. 【解析】 （I） = yxfyxz1, = yxfyxz“1222 ; 2zxxfyyy= , 222432“zxxxxffyyyyy=+. 222 2
11、2 22202“2zzxxxxxyffxyyyyy=+=+1“( )( )0fufuu+=（0u）. （II）令)( ufp =,则)( “ufp =,得 10ppu+=1( )Cfupu= (1)1f=11C = 由1( )fuu=解得2( )lnf uuC=+,再由(1)1f=得20C =,即( )lnf uu=. （22） 【考点】解的性质和结构. 【解析】因为321,为bAx=的三个解,所以1322 + + + +是OAx = = = =的一个解.又 T 1(2,3,4,5) =,T 32(1,2,3,4)=+,T)6, 5, 4, 3(2132 = = = = + + + + 是OAx = = = =的一个线性无关的解. 所以, bAx=的通解为TTkx)5 , 4
