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1、多项式角动量代数的代数表示及实现吴 ? 楚?( 清华大学物理系, 北京? 100084)( 2005年 12月 29日收到; 2006年 3 月 29 日收到修改稿)? ? 本文利用三参数李群求代数表示的方法求出多项式角动量代数的代数表示及其酉表示, 找到一个能同时承载李代数及相对应的多项式角动量代数的基底, 并在该基底下求出两种代数之间的联系, 利用该联系则也可求出多项式角动量代数的代数表示. 最后求出多项式角动量代数的单玻色实现及其在有限维多项式函数空间的微分实现.关键词: 多项式角动量代数, Higgs 代数, su( 2) 代数PACC: 0365? E_mail:wtome99 ho
2、tmail. com1? 引言李代数在物理中有着广泛的应用 1, 2, 而作为李 代数的一种变形多项式角动量代数现在比较受到关注 3. 自从Higgs 4在研究球形映射空间中的开普勒势问题和各向同性的谐振子中发现了 Higgs 代数的 问题以来, 很多人对此进行了研究 5? 8, 如用求李代数的微分实现的方法来推导它的各种实现9? 12. Higgs4指出在 N 维球形空间中把在中心势场中的自由粒子的轨迹投影到它的切空间上, 在这种投影下粒子的空间对称性被保留, 而其位移不再保持均 匀性. 由此本文首先利用三参数李群求代数表示的方法求出多项式角动量代数的代数表示及其酉表示, 之后利用三参数李群
3、的一个特殊基底( 对角化 L12) 使它能同时承载这两个不同的代数, 那么可以得到李代数跟与其相对应的多项式角动量代数之间的联系. 更一般地说对于可解李群存在一个表示空间( slice space) , 使得其左不变向量场在某个方向上 为常数, 即 A?j( x) = ?j, 由李代数生成元的定义: Ij= - i( ?A?j( x)? ?j) ( ?( x)? ?x) |? = 0, 选择 ?( x) =- ix, 则有 I3 j= Ij, 则可知 SU( 2) 矩阵群生成元泡利矩阵满足 ?3= ?, 而此时多项式角动量代数和李代数拥有共同的| jm?基底, 由此可用李代数来研究多项式角动量
4、代数. 本文的结构如下: 首先用两种方法求解多项式角动量代数的代数表示, 一是通过三参 数李群求代数表示的方法求出多项式角动量代数的表示及其酉表示; 二是在 su( 2) 和多项式角动量代数的共同| jm?基底下, 利用两种代数生成元之间的 联系来求解多项式角动量代数的表示. 而后求出多项式角动量代数的单玻色实现及其在有限维多项式函数空间上的微分实现.2? 多项式角动量代数的代数表示多项式角动量代数的三个生成元 ? J0, ? J?, 它们之间满足以下对易关系: ? J0, ? J? = ? ? J?, ? J+, ? J- = f ( ? J0) ,( 1)其中 f ( ? J0) =?ni
5、= 1ai? Ji 0, ai为任意实数, i, n 为自然数. 借鉴线性李代数 Gasimir 算符的定义, 可以得到多项式角动量代数的 Casimir 算符 CC= ? J+? J-+ ? J-? J+ P( ? J0) ? 2= ? J+? J-+ r( ? J0- 1)= ? J-? J+ r( ? J0) ,( 2)利用 C跟其他的三个生成元对易, 可以得到 P( n) = f ( n) u( n) ?u( n) + f ( n- 1) u( n - 1)?u( n - 1) ,第 55 卷 第 6期 2006 年 6月 1000 -3290? 2006 ?55(06)?2676 -
6、06物? 理? 学? 报 ACTA PHYSICA SINICAVol. 55, No. 6, June, 2006 ? 2006 Chin. Phys. Soc.r( n) = f ( n) u( n) ?u( n) ,其中 n 为整数, ? 为离散卷积, n ?0, u( n) = 1; n 0, q = ? 1. 显然 g( m) 在 0, + ? )为单调函数, q = - 1 为单调增, 反之为单调减, 而在 (- ? , 0 分为 3 种情况: ( 1) k 全为奇数, q = - 1则g( m) 为单调减, q = 1 则为单调增; ( 2) 全为偶数时, g( m) 的单调性与
7、 a 时正好相反; ( 3) 既有偶数 也有奇数, g( m) 不为单调函数. 取 m, ? 为实数有? J+ 0= ? J0, ? J+ ?= ? J?, C+= C,?m+ 1 | ? J-| ?m?*?m + 1| ? J-| ?m?= ?m | ? J+? J-| ?m?,? ? 可以得到酉表示的充要条件?m | ? J-? J+| ?m? = g( m+ ) ?0.3?1? 对于有上界的情况g( m- i) = f ( m) u( m) ? u( m)- f ( m- i - 1) u( m- i - 1)? u( m- 1- i ) ,? ? 对于 ?m, ?m? 0, 当 g(
8、m) ?0 成立, 有 q= - 1 时情况( 1) 符合; q= 1 时情况( 2) 符合.3?2? 对于有下界的情况g( m+ i) = f ( m- 1) u( m- 1) ?u( m- 1)- f ( m+ i - 1) u( m+ i - 1)?u( m+ i - 1) ,? ? 同理对?m, ?m?0, 当 g( m) ?0成立时, 有 q= - 1, 情况( 1) ( 3) 都符合.3?3? 对于上下有界的情况g( m+ i) = f ( m- 1) u( m- 1) ? u( m- 1)- f ( m+ i - 1) u( m+ i - 1)?u( m+ i - 1) ?0,g
9、( m- i) = f ( m) u( m) ?u( m)- f ( m- i - 1) u( m- i - 1)?u( m- i - 1) ?0,? ? 当 ?m= ?i 2, i ? n 当 ak 0, b+ k= 0, b- k= ak, 则 ? J0, ? J+ ? = ? ? J+ ?,? J+ +, ? J+ - = f+( ? J0) ,? J+ 0= ? J0, ? J0, ? J- ? = ? ? J- ?,? J- +, ? J- - = f-( ? J0) ,( ? J? ?)+= ? J? ?,f+( ? J0) + f-( ? J0) = f ( ? J0) ,( 1
10、0)则利用复代数的性质, 有 i? J+ +- ? J- -, i? J+ -+ ? J- + = - f+( ? J0) - f-( ? J0)+ i ? J+ +, ? J- + - i ? J- -? J+ - , ? J+ +, ? J- + - ? J- -, ? J+ - = 0,J?+= ? J+ + i? J- -,J?-= ? J+ - i? J- +, J?+, J?- = f+( ? J0) - f-( ? J0) ,显然 J?+ ?= J?, 则 J?+, J?-对应的代数生成元为厄米. 当 ? J+ +和 i? J- -拥有相同的酉表示时, 则该表示也是 J?的酉表示
11、, 可以推知当 k 为偶数时为正, k 为奇数时为负, 则有上界的酉表示. 如果取J?+= ? J+ + ? J- -,J?-= ? J+ - ? J- +, J?+, J?- = f+( ? J0) + f-( ? J0) ,显然 J?+ ? ? J?, 此时多项式角动量代数的生成元既不是厄米也不是反厄米的, 那么除恒等表示外, 其无酉表示.4? 求 su( 2) 代数与其相对应的多项式 角动量代数之间的联系? ? 为了便于讨论, 根据 su( 2) 的代数结构: J0, J? = ? J?, J+, J- = J0,2678物? ? 理? ? 学? 报55卷C = J-J+ J0( J0+
12、 1) .? ? 根据李群生成元 的定义: Ij= - i( ?A?j( x)? ?j)( ?( x)? ?x) |? = 0, 如果 A?j( x) = ?j并且 ?( x ) = -ix 时, 可以得到 I3 j= Ij, 同样在 SU( 2) 的矩阵表示中有D( R) = e- iR,J0= - i?D( R) ?r0= - i?3D( R) ?3r0= J3 0.( 11)? ? SU( 2) 矩阵群的生成元泡利矩阵满足 ?3 i= ?i,那么显然对于 SU( 2) 来说它的生成元满足 su( 2) 代数同时也满足多项式角动量代数的对易关系( 差一个系数) , 那么作为 SU( 2)
13、的本征态| ?m?也是多项 式角动量代数的本征态| ?m?, 由此将 Dutt 3的方法推广来求出李代数与多项式角动量代数的联系. 设? J0= J0,? J+= J+a( J0, C) ,? J-= B( J0, C) J-,( 12)则由 ? J+, ? J- = f ( J0) 可以得到A( J0, C) B( J0, C) ( C - J0( J0+ 1) )= C- r( J0) .( 13)? ? 当?0m0| ( C - J0( J0+ 1) ) | ?0m0?= 0 时,?0m0| ( ? C- r( J0) ) | ?0m0?是其在零点处的同阶或者高阶无穷小, 则有A( J0
14、, C) B( J0, C) =C- r( J0) - J0( J0+ 1) + C, ( 14)? ? 取 A( J0, C) = B( J0, C) , 即? J+= J+C- r( J0) - J0( J0+ 1) + C,? J-= J-C- r( J0) - J0( J0+ 1) + C,( 15)? ? 通过上式可以直接求解其代数的表示, 则有上下界时, 可以得到? J?| jm? =t?( j, m) | jm ? 1?,?jm | C| jm?- C( j) ,? ? 其中 t?( j , m) = C( j) - r( m- 0. 5? 0?5) .有上界时:?mm | C|
15、 mm?= C( m) ,J?| mm? =t?( m, m) | mm ? 1?;? ? 有下界时?mm | C| mm? = C( m) ,J?| mm? =t?( m, m) | mm ? 1?, ? ? 显然与前面的讨论 g( m) 结果一致.5? 多项式角动量代数的实现利用玻色子来求多项式角动量代数的实现, 已知N = a+a, N, a+ = a+, N, a = - a, a, a+ = 1,( 16)? ? 则设 ? J+= a+F( N) = F( N - 1) a+,? J-= G( N) a = aG( N - 1) ,? J0= N,? ? 其中 F 和G 为N 的函数
16、, 可以得到F( N - 1) G( N - 1) N - G( N) F( N) ( 1+ N) = f ( N) ,G( N) F( N) ( N + 1) = C- r( N) ,( 17)? ? 其中 C取变形李代数的 Casimir 算符, 则 C= r( j) . 取 G( N) = F( N) , 有? J+=( C- r( N - 1) )? Na+, J-= a( C- r( N - 1) )PN,则多项式角动量代数的单玻色子实现为J+| jm4 = a+( C- r( N) )PN | jm + 14=r( j) - r( m) | jm + 14,J-| jm4 =r( j) - r( m - 1) | jm - 14,J0| jm4 = m | jm4,(
