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1、1清华大学研究生课程钢筋混凝土有限元非线性方程组的解法江见鲸 陆新征清华大学土木工程系 2005清华大学研究生课程钢筋混凝土有限元非线性问题分类!几何非线性!材料非线性!边界非线性Nature is nonlinear;the best design use nature as an ally清华大学研究生课程钢筋混凝土有限元几何非线性清华大学研究生课程钢筋混凝土有限元大应变问题!小应变!大应变清华大学研究生课程钢筋混凝土有限元大位移问题清华大学研究生课程钢筋混凝土有限元材料非线性塑性非线性弹性粘弹性粘塑性断裂损伤徐变清华大学研究生课程钢筋混凝土有限元边界非线性!接触非线性!单元非线性清华大学
2、研究生课程钢筋混凝土有限元非线性方程（组）求解!每个非线性有限元问题，都包含有两类 非线性方程（组）的计算!单元刚度矩阵!整体刚度矩阵清华大学研究生课程钢筋混凝土有限元单元刚度矩阵!一般，已知!求!对于仅材料非线性etFeteettF+ eetettFF+=+eK),(eeetetFf=KVfVeetetTTd),(deBBDBBK=2清华大学研究生课程钢筋混凝土有限元整体刚度矩阵!已知!求Ft,t,F Fttt+=+1K =eKK清华大学研究生课程钢筋混凝土有限元一般计算过程!形成单元刚度矩阵!计算整体刚度矩阵!计算位移增量!计算单元应变增量!计算单元应力增量（非线性求解1）!计算总内力!计
3、算不平衡内力非线性求解2清华大学研究生课程钢筋混凝土有限元非线性方程组的解法!基本思路： 分段线性化方法，将荷载划分成很多小步，逐 步施加!具体操作方法：!显式求解法（增量法）!隐式求解法（迭代法）清华大学研究生课程钢筋混凝土有限元显式求解法!将荷载分成若干小步，逐步施加!认为在每个小步中，结构是线性的，同 一荷载步的刚度矩阵相同!不同荷载步的刚度矩阵可以不同!用一系列的折线去近似曲线清华大学研究生课程钢筋混凝土有限元欧拉折线法(Forward Euler Method) =inPP nnn+=1 innPK= 1 1清华大学研究生课程钢筋混凝土有限元计算步骤（对于单元刚度矩阵）!已知当前应力
4、、应变!根据当前应力应变求当前的切线刚度!根据当前切线刚度求单元刚度矩阵!根据单元刚度矩阵和应变增量求应力增 量清华大学研究生课程钢筋混凝土有限元计算步骤（对于整体刚度矩阵）!已知当前单元的切线刚度矩阵!形成整体刚度矩阵!根据荷载增量求位移增量清华大学研究生课程钢筋混凝土有限元修正的欧拉折线法(Mid-point Method)Pn-1n-1+1/2dnnK1K2Pn-1Pn清华大学研究生课程钢筋混凝土有限元单元刚度矩阵!已知应力，应变，应变增量!根据当前应力应变求切线刚度矩阵!求中点应力!根据中点应力和应变求此时 的切线刚度矩阵!得到最终单元应力1nK 2d11n nnn+=Kn， 2d1n
5、 n+ 1nK nnnnd11+=K3清华大学研究生课程钢筋混凝土有限元整体刚度矩阵!已知当前荷载Pn-1，位移n-1，荷载增量dPn!根据当前荷载和位移求得当前切线刚度矩阵 Kn-1!根据当前切线刚度矩阵求解当增加1/2dPn增量 时的位移增量d n!根据Pn-1+ 1/2dPn和n-1d n求得此时切线 模量Kn-1!总位移增量为： d n= Kn-1-1 dPn清华大学研究生课程钢筋混凝土有限元评述!显式求解法（增量法）的误差是逐步累 积的!通过减小步长的方法可以提高精度!不需要迭代，不存在收敛问题!一些研究者推荐在单元刚度矩阵部分采 用显式求解，在整体刚度矩阵部分采用 隐式求解清华大学
6、研究生课程钢筋混凝土有限元隐式方法!根据计算方法!割线刚度法!切线刚度法（Full Newton-Raphson)!等刚度法!改进的切线刚度法(Modified NR)!同样有单元刚度矩阵和整体刚度矩阵的 迭代问题。清华大学研究生课程钢筋混凝土有限元割线刚度法 PK1 01= 11K PK1 12= PKnn1 1 =清华大学研究生课程钢筋混凝土有限元评述!概念简单，对于比例加载的全量模型尤 其适用!当出现卸载或往复荷载时可能不适合清华大学研究生课程钢筋混凝土有限元切线刚度法(Full NR) PK1 01= 1internal 11KP internal 11PPP= 11 12PK= 21
7、2+= 清华大学研究生课程钢筋混凝土有限元评述!理论上收敛速度最快!每次迭代都要形成刚度矩阵!当接近屈服时，或者出现软化时，切线 刚度矩阵斜率特别小甚至不是正定矩阵， 往往带来收敛的困难清华大学研究生课程钢筋混凝土有限元等刚度法 PK1 01= internal 11P internal 11PPP= 11 02PK= 212+= 清华大学研究生课程钢筋混凝土有限元评述!收敛速度相对较慢!不需每次都形成新的刚度矩阵!在切线刚度矩阵奇异时效果有时要优于 切线刚度法4清华大学研究生课程钢筋混凝土有限元改进的切线刚度法(Modified NR)!不是每次迭代都 改变刚度矩阵， 而是迭代一定次 数后，
8、再改变刚 度矩阵清华大学研究生课程钢筋混凝土有限元弹塑性分析的应力更新算法!复习y ttdtdt1t1Et1t2t3清华大学研究生课程钢筋混凝土有限元应力更新显式算法!计算步骤!上一步单元已经屈服，加载后仍未屈服，使用弹性 本构矩阵De!上一步单元已经屈服，加载后仍然屈服，使用弹塑 性本构矩阵Dep!上一步单元处于弹性，加载后单元屈服，处于过渡 状态，使用加权组合方法D=mDe+(1-m)Dep11 =kkksm清华大学研究生课程钢筋混凝土有限元图示CBAA(1-R)eRe清华大学研究生课程钢筋混凝土有限元应力更新隐式算法!Backward Euler 算法(输入 n ijnpijn ij,1
9、1) 首先计算弹性应力增量:n klijklen ijt ijD+= ,1判断是否屈服: ),(1=npijt ijpp AFf,0=A 如果大于屈服应力. 0p Af 计算屈服面法线方向:ijt ijpijGm=)(返回屈服面:Bnp ijijeBt ijpmDF=0),(1清华大学研究生课程钢筋混凝土有限元积分步骤判断是否屈服:),(1ijBnpijijeBt ijpp BmmDFf+=迭代计算 )(i直至 eBA 计算新的塑性增量:p Ap BABp AAfff=计算新的投影方向:iji ijet ijp i ijmDGm=)()1( )(计算屈服函数:),()()(i ijp iji
10、ijet ijppmmDFf+=修正迭代变量: =Bpp Bp Bfff,0=Bpp BBAp Bp Ap Bfffff,0迭代结束 清华大学研究生课程钢筋混凝土有限元收敛标准!判断对象!力收敛标准!位移收敛标准!能量收敛标准!判断标准!相对误差!绝对误差!范数!无穷范数!一范数!二范数清华大学研究生课程钢筋混凝土有限元范数!无穷范数!一范数!二范数iVVmax=iVV1=2 2iVV清华大学研究生课程钢筋混凝土有限元相对误差和绝对误差!相对误差!绝对误差VVe=constantVe=5清华大学研究生课程钢筋混凝土有限元力收敛标准!一般以不平衡力作为分析对象，以节点 反力或荷载作为参考标准!一
11、般推荐使用2范数，也有使用无穷范数 的（MARC）误差容限支座反力或荷载节点不平衡力清华大学研究生课程钢筋混凝土有限元位移收敛标准!一般以位移增量为分析对象，以同级荷 载作用下总节点位移为参考标准!一般使用无穷范数误差容限同级荷载节点总位移某次迭代位移改变量清华大学研究生课程钢筋混凝土有限元能量收敛标准!一般以某次迭代的应变能增量为分析对 象，以同级荷载作用下总应变能为参考 标准误差容限同级荷载总应变能某次迭代应变能改变量清华大学研究生课程钢筋混凝土有限元注意事项!当结构出现屈服时，或者接触分析中发生分离 时，往往荷载变化很小而位移变化很快，这时 位移标准要好于力标准!当结构出现跳跃时，或者接
12、触刚刚发生时，往 往位移变化很小和荷载迅速增大。这时力标准 要好于位移标准!当结构发生分离或者卸载到零时，往往外力已 经非常小（几乎为零）。这时使用相对误差判 断往往会进行很多不必要的计算，应使用绝对 误差判断。清华大学研究生课程钢筋混凝土有限元考虑负刚度的计算方法清华大学研究生课程钢筋混凝土有限元负刚度带来的主要问题!刚度矩阵不再是正定矩阵，很多迭代算 法的收敛性不再得到保证!刚度矩阵存在奇异点（切线刚度为零）， 求逆可能失败!出现“分叉点”现象，在分叉点两侧来回 跳动无法收敛!出现损伤集中，应变集中问题清华大学研究生课程钢筋混凝土有限元解决负刚度问题的主要思路!人为引进一些刚度元素，使整体
13、刚度矩阵仍然 保持或接近正定!虚拟弹簧法!采取某种措施使程序能够自动降低荷载大小!位移控制法!弧长法!放松在极值点附近的收敛检查!增量法!强制迭代法清华大学研究生课程钢筋混凝土有限元虚拟弹簧法清华大学研究生课程钢筋混凝土有限元位移控制法!以位移来加载!控制关键节点的位移变化来决定施加荷 载的大小!使用Lagrange法或罚函数法来控制指定 节点位移!注：Lagrange法可能会导致刚度矩阵不对称!罚函数法可能会增大矩阵病态6清华大学研究生课程钢筋混凝土有限元弧长法清华大学研究生课程钢筋混凝土有限元特点!同时控制位移和荷载增量，能较好地跟 踪整个结构的反应!比较适用于几何非线性问题，特别是稳 定
14、问题清华大学研究生课程钢筋混凝土有限元基本方程fx= )(Ffx=)(F222222S=+xf清华大学研究生课程钢筋混凝土有限元计算过程kkkkRfxxK+=)(=xfr2S=2r清华大学研究生课程钢筋混凝土有限元) 1()()1(+=iiiurr() ()2) 1()() 1()(Siiii=+urur 2)()(Sii=rr ()02)() 1() 1(=+iiiruu ()22) 1() 1()1() 1()1(fxxuu+=+iiTiii ()22)()()()()(fxxrr+=iiTiii ()()0222)( 2) 1( 2) 1()()1()1(=+fffxxxiiiiiTi清华大学研究生课程钢筋混凝土有限元IIi Iiii)1()1()1()1(+=xxx f
