《同济大学的高等数学讲义 (10)》由会员分享，可在线阅读，更多相关《同济大学的高等数学讲义 (10)（30页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第四单元第四单元函数的极值、最大值与最小值函数的极值、最大值与最小值一、本单元的内容要点一、本单元的内容要点1.函数的极值与极值点的定义函数的极值与极值点的定义若存在点若存在点x0的去心领域，使得的去心领域，使得x0有，则称有，则称 f (x0)是是 f (x)的一个极大的一个极大(小小)值，值，x0是是f (x)的极大的极大(小小)值点值点0(, )U x?0(, )U x?00( )()( ( )()f xf xf xf x( )fx第二充分若，则第二充分若，则x0为极值点当，为极值点当，f (x0)为极小值；当，为极小值；当，f (x0)为极大值为极大值0( ) 0f x=0( ) 0f
2、 x0( ) 0f x0( ) 0f x( )0fx( )0fx0()0fxx0时，时，, 由定理由定理2知，知，f (x)在在x0处取得极大值同理可证情形和的情形处取得极大值同理可证情形和的情形( )0fx( )0fx( )10f =( )0fx( )0fx最大值与最小值问题最大值与最小值问题人们做任何事情，小至日常用具的制作，大至生产科人们做任何事情，小至日常用具的制作，大至生产科研和各类经营活动，都要讲究效率，考虑怎样以最小的研和各类经营活动，都要讲究效率，考虑怎样以最小的投入得到最大的产出这类问题在数学上往往可以归结投入得到最大的产出这类问题在数学上往往可以归结为求函数为求函数f (x
3、)在某个集合在某个集合D内的最大值或最小值的问题内的最大值或最小值的问题这个函数这个函数f (x0)称为目标函数称为目标函数，集合称为约束集，集合称为约束集或可行域或可行域这类问题统称为优化问题这类问题统称为优化问题设函数设函数f (x)在闭区间在闭区间a, b上连续，除有限个点外可导上连续，除有限个点外可导并且至多在有限个点处导数为零在这一条件下，根据并且至多在有限个点处导数为零在这一条件下，根据闭区间上连续函数的性质可知，闭区间上连续函数的性质可知，f (x)在在a, b上的最大值上的最大值最小值必定存在最小值必定存在.如果最大值如果最大值(或最小值或最小值)在开区间在开区间(a, b)内
4、内的某点的某点x0处取得，那么处取得，那么x0必定是必定是f (x)的驻点或不可导点的驻点或不可导点然而然而f (x)的最大值的最大值(或最小值或最小值)也可能在也可能在x=a或或x=b处取得处取得因此，我们可以用下述方法求出因此，我们可以用下述方法求出f (x)在在a, b上的最大值上的最大值与最小值：与最小值：求出求出f (x)在在(a, b)内的驻点内的驻点x1, x2, xs, 和不可导点计算及；比较上述函数值的大小：得和不可导点计算及；比较上述函数值的大小：得12,;tx xx?()( )1,2,()(1,2, )ijf xisf xjt=?( ), ( )f a f b12 , 1
5、2max ( )max ( ), ( ), ( ),( ), ( ), ( ) ( ), ( ),sxa btMf xf xf xf xf xf xf x f a f b=?12 , 12min( )min ( ), ( ), ( ),( ), ( ), ( ) ( ), ( ),.sxa btmf xf xf xf xf xf xf x f a f b=?例例2 求函数在闭区间求函数在闭区间0, 3上的最大值与最小值上的最大值与最小值( )2xf xxe=解解 02(2),( ),23(2),xxxxef xxxe=02(1),( ),23(1),xxxxefxxxe=可见，在可见，在(0,
6、 3)内，内，x=1是是f (x)的驻点；又的驻点；又x=2是是f (x)不可不可导点，因导点，因3(0)2,(1),(2)0(3),ffe ffe=故故 f (x)在在x=2时取得最小值时取得最小值0，在，在x=3时取得最大值时取得最大值3e例例3 铁路线上铁路线上AB段的距离为段的距离为100 km工厂工厂C距距A处处20km，并且，并且AC垂直于垂直于AB为了运输需要，要在为了运输需要，要在AB线线上选定一点上选定一点D向工厂修筑一条公路向工厂修筑一条公路. 已知铁路每已知铁路每km货运货运的运费与公路每的运费与公路每km货运的运费之比为货运的运费之比为3:5. 为了使货物为了使货物从供
7、应站从供应站B运到工厂的运费最省，问运到工厂的运费最省，问D点应选在何处？点应选在何处？解设解设AD=x(km), DB=100-x,ADCB 100x2022220400,CDxx=+=+设铁路上每设铁路上每km的运费为的运费为3k，公路，公路上每上每km的运费为的运费为5k，则总运费为，则总运费为()2535 4003(100)0100 ,yk CDk DBkxxx=+=+于是问题就归结为求函数于是问题就归结为求函数y在闭区间在闭区间0, 100上的最小值点上的最小值点, 对对x求导求导,253 , 400xyk x=+得得x =15是函数是函数y在在(0, 100)中唯一的驻点，因中唯一
8、的驻点，因20151001400 ,380 ,5001,5xxxyk yk yk=+由此可知，当由此可知，当x=15时运费时运费y=380k为最省为最省例例4 设设x1与与x2是两个任意正数，满足条件：是两个任意正数，满足条件：x1+x2=a, (a是正数是正数)，求的最大值，求的最大值12mnxx解设，则由题意，问题转变为求解设，则由题意，问题转变为求 f (x)在在(0, a)内的最大值内的最大值() ()( )0nmf xxaxxa=11( )()() ,mnfxxaxmamn x=+令是区间内唯一驻点，故令是区间内唯一驻点，故 f (x0)即为即为f (x)在区间内的最大值在区间内的最
9、大值0( )0,mafxxmn=+.m n mnmaafm nmnmn+=+注当注当m=n=1时的特殊情况为我们所熟知的时的特殊情况为我们所熟知的注如果注如果f (x)在区间在区间I(开或闭，有限或无限开或闭，有限或无限)内连续、可内连续、可导，导，x0为为f (x)在在I内部的唯一驻点若内部的唯一驻点若x0是是f (x)的极大的极大(小小)值点，则它必是值点，则它必是f (x)在在I内的最大内的最大(小小)值值作 业作 业1.求下列函数的极值：求下列函数的极值：3226187;yxxx=+()ln 1.yxx=+2.试问：试问：a为何值时，函数在为何值时，函数在1( )sinsin33f xaxx=+3x=处取得极值？是极大值还是极小值，并求极 值处取得极值？是极大值还是极小值，并求极 值3.求下列函数在指定区间上的最大值和最小值求下列函数在指定区间上的最大值和最小值3226187, 5,1;yxxxx=
