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1、 - 1 -固体物理学习题完全解析 胡光辉 河南师范大学 物理与信息工程学院 1.1 如果将等体积球分别排成下列结构，证明钢球所占体积与总体积之比 （1）简立方，6; （2）体心立方, ;83 （3）面心立方，;62 （4）六角密积，;62 （5）金刚石结构，;163 解：设想晶体是由刚性原子球堆积而成，一个晶胞中刚性原子球占据的体积与晶胞体积的比值称为结构的致密度， 设 n 为一个晶胞中的刚性原子球数,r 表示刚性原子球半径， V 表示晶胞体积， 则致密度= Vrn3 34（1）对简立方晶体，任一个原子有 6 个最近邻，若原子以刚性球堆积，如图 1.2 所示，中心在 1，2，3，4 处的原子
2、球将依次相切，因为,433aVra=晶胞内包含 1 个原子，所以 =6)(33 234=aa图 1.2 简立方晶胞 图 1.3 体心立方晶胞 （2）对体心立方晶体，任一个原子有 8 个最近邻，若原子刚性球堆积，如图 1.3 所示，体心位置 O 的原子 8 个角顶位置的原子球相切， 因为晶胞空间对角线的长度为,433aVra=晶胞内包含 2 个原子， 所以= 83)(*233 43 34 =aa（3）对面心立方晶体，任一个原子有 12 个最近邻，若原子以刚性球堆积，如图 1.4 所示，中心位于角顶的原子与相邻的 3 个面心原子球相切，因为3,42aVra=，1 个晶胞内包含 4 个原子，所以 =
3、62)(*433 42 34=aa . 图 1.4 面心立方晶胞 图 1.5 六角晶胞 图 1.6 正四面体 Jo n e s Ho o 整理Jo n e s Ho o 胡光辉 整理- 2 -（4）对六角密积结构，任一个原子有 12 个最近邻，若原子以刚性球堆积，如图 1。5 所示，中心在 1 的原子与中心在 2，3，4 的原子相切，中心在 5 的原子与中心在 6，7，8 的原子相切，晶胞内的原子 O 与中心在 1，3，4，5，7，8 处的原子相切，即 O 点与中心在 5，7，8 处的原子分布在正四面体的四个顶上，因为四面体的高 h=2232 32cra= 晶胞体积 V= 22 2360sin
4、caca=o一个晶胞内包含两个原子，所以 = 62)(*22 233 234 =caa . （5）对金刚石结构，任一个原子有 4 个最近邻，若原子以刚性球堆积，如图 1.7 所示，中心在空间对角线四分之一处的 O 原子与中心在 1，2，3，4 处的原子相切，因为 ,83ra =晶胞体积 3aV = 一个晶胞内包含 8 个原子，所以 = 163)83(*833 34 =aa图 1.7 金刚石结构 1.2 试证明六角密堆积结构中633. 1)83(21 =ac证明：由 1.1 题，六角密排中232232crah=，故633. 1)83(21 =ac1.3 证明：体心立方晶格的倒格子是面心立方；面心
5、立方晶格的倒格子是体心立方 。 解：由倒格子定义23 1 1232aaba aa=vvv vvv31 2 1232aaba aa=vvv vvv12 3 1232aaba aa=vvv vvv体心立方格子原胞基矢123(),(),()222aaaaijkaijkaijk= +=+=+vvvvvvvvvvvv倒格子基矢23 1 123022()()22aaaabijkijka aav=+vvvvvvvvv vvv202() ()4aijkijkv=+vvvvvv2()jka=+vv同理31 2 12322()aabika aaa=+vvvvv rrr32()bija=+vvv可见由123,b b
6、 bv vv 为基矢构成的格子为面心立方格子 Jo n e s Ho o 整理Jo n e s Ho o 胡光辉 整理- 3 -面心立方格子原胞基矢 123()/2()/2()/2aa jkaa kiaa ij=+=+=+vvv vvv vvv倒格子基矢23 1 1232aaba aa=vvv vvv12()bijka= +vvvv同理22()bijka=+vvvv32()bijka=+vvvv可见由123,b b bv vv 为基矢构成的格子为体心立方格子 1.4 证明倒格子原胞的体积为03(2 ) v，其中0v为正格子原胞体积 证：倒格子基矢 23 1 1232aaba aa=vvv vv
7、v31 2 1232aaba aa=vvv vvv12 3 1232aaba aa=vvv vvv倒格子体积* 0123()vbbb=vvv3 * 02331123 0(2 )() () ()vaaaaaav=vvvvvv3 * 0 0(2 )vv= 1.5 证明：倒格子矢量1 1223 3Ghbh bh b=+vvvv 垂直于密勒指数为1 23()hh h的晶面系。 证： 33121323,aaaaCACBhhhh=vvvvuuu ruuu r容易证明1 2 31 2 300h h hh h hGCAGCB=uuu rvuuu rv 1 1223 3Ghbh bh b=+vvvv 与晶面系1
8、 23()hh h正交。 1.6 如果基矢, ,a b cvvv构成简单正交系，证明晶面族()hkl的面间距为2221( )( )( )hkldabc=+；说明面指数低的晶面，其面密度较大，容易解理. 证：简单正交系abcvvv123,aaiabjack=vvvvvv倒格子基矢23 1 1232aaba aa=vvv vvv31 2 1232aaba aa=vvv vvv12 3 1232aaba aa=vvv vvv123222,bibjbkabc=vvvvvvJo n e s Ho o 整理Jo n e s Ho o 胡光辉 整理- 4 -倒格子矢量123Ghbkblb=+vvvv222h
9、ikjlkabc=+vvv晶面族()hkl的面间距2dG= v2221( )( )( )hkl abc=+ 面指数越简单的晶面，其晶面的间距越大，晶面上格点的密度越大，这样的晶面越容易解理。 1.7 写出体心立方和面心立方晶格结构中，最近邻和次近邻的原子数，若立方边长为 a，写出最近邻和次近邻原子间距 解： 简立方面心立方体心立方最近邻数 6 12 8 最近邻间距a a22a23次近邻数 12 6 6 次近邻间距a2 a a 1.画体心立方和面心立方晶格结构的金属在)100(，)110(，)111(面上原子排列 解： 体心立方 面心立方 Jo n e s Ho o 整理Jo n e s Ho
10、o 胡光辉 整理- 5 -1.9 指出立方晶格(111)面与(100)面，(111)面与(110)面的交线的晶向 解： (111)面与(100)面的交线的 ABAB 平移， A 与 O 重合。B 点位矢BRajak= +vvv（111）与（100）面的交线的晶向ABajak= +uuu rvv 晶向指数011(111)面与(110)面的交线的 AB 将 AB 平移， A 与原点 O 重合，B 点位矢BRaiaj= +vvv(111)面与(110)面的交线的晶向ABaiaj= +uuu rvv晶向指数1101.10 找出立方体中保持 x 轴不变的所有对称操作，并指出他们中任意两个操作乘积的结果
11、解：立方体中保持 x 轴不变，可有绕 x 轴转2、23加上不动 C1，所有对称操作构成群 C4 C4=（C1 C2 C3 C4） ，群中任意两元素乘积仍是群中元素。 1.11 利用转动对称操作，证明六角晶系介电常数矩阵为.000000332211 = 解： 若 A 是一旋转对称操作， 则晶体的介电常数 满足 .AA=， 对六角晶系， 绕 x （即 a） 轴旋转o180和绕 z（即 c）轴旋转o120都是对称操作，坐标变换矩阵分别为 . 100010001=xA =000021 23023 21zA假设六角晶系的介电常数为 .333231312221131211 =则由. xxAA= 得 . 3
12、33231312221131211333231312221131211= 可见 . 0, 0, 0311312= Jo n e s Ho o 整理Jo n e s Ho o 胡光辉 整理- 6 -即 =33323122110000。 将上式代入 . xxAA= 得 33323122110000+=3332322322112211232211221121 2321 41 43 43 4323 43 43 43 41由上式可得 ., 0, 022113223= 于是得到六角晶系的介电常数 .000000331111 =附：证明不存在 5 度旋转对称轴。 证：如下面所示，A,B 是同一晶列上 O 格
13、点的两个最近邻格点，如果绕通过 O 点并垂直于纸面的转轴顺时针旋转角，则 A 格点转到A点，若此时晶格自身重合，点处原来必定有一格点，如果再绕通过 O 点的转轴逆时针旋转角， 则晶格又恢复到未转动时的状态， 但逆时针旋转角， B 格点转到B处， 说明B处原来必定有一格点，可以把格点看成分布在一族相互平行的晶列上，由下图可知，BA晶列与 AB 晶列平行平行的晶列具有相同的周期，若设该周期为a，则有 图 晶格的旋转对称性 ,cos2maaBA= 其中 m 为整数，由余弦的取值范围可得 . 12cos=m 于是可得 .2 ,:2;35,34,32,3:1;23,2:0=mmm因为逆时针旋转23，35
14、,34分别等于顺时针旋转2，32，,3所以晶格对称转动所允许的独立转角为 .3,2,32,2 Jo n e s Ho o 整理Jo n e s Ho o 胡光辉 整理- 7 -上面的转角可统一写成 6 , 4 , 3 , 2 , 1,2=nn称 n 为转轴的度数，由此可知，晶格的周期性不允许有度旋转对称轴 2.1 证明两种一价离子组成的一维晶格的马德隆常数为2ln2=. 证：设想一个由正负两种离子相间排列的无限长的离子键，取任一负离子作参考离子（这样马德隆常数中的正负号可以这样取，即遇正离子取正号，遇负离子取负号） ，用 r 表示相邻离子间的距离，于是有 ( 1)11112.234jijrrrrrr=+前边的因子 2 是因为存在着两个相等距离ir的离子，一个在参考离子左面，一个在其右面，故对一边求和后要乘 2，马德隆常数为 234 (1).34nxxxxxx+=+Ql 当 X=1 时，有1111.2234n+= l 2.2 讨论
