高考数学创新型试题的几种类型

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1、 熬掌熬 重主 查 A,L4T I I S TEACZ I r I N t 7AND LEARNI NG I N 昼l lSCH OOL 【 考试研究】 高考数学翻新型试题的几种类型 赵思林 【 作者简介】 赵思林， 四川内江师范学院数学系( 6 4 1 1 1 2 ) 【 原文出处】 中学数学研究 ( 广州) ， 2 0 0 9 1 1 0 - 1 3 高校要选拔具有创新潜质的人才， 高考数学必 须重视对学生创新意识的考查 考生 的创新意识表 现为： 对新颖的信息 、 情境的设问， 能选择有效的方 法和手段分析 、 处理信息 ， 综合与灵活地应用所学的 数学知识 、 思想和方法， 进行独立的

2、思考、 探索和研 究， 提出解决问题的思路 ， 并创造性地解决问题 考 生对数学问题的观察、 探究 、 猜测 、 抽象 、 概括 、 证明， 是发现问题和解决问题的重要途径 ， 对数学知识 的 迁移 、 组合、 融合的程度越高， 显示出考生的创新意 识越强 从近几年的考题来看， 创新型试题已成为全 国各个高考命题组追求的理想 目标之一 高考数学 创新型试题是指从测量考生的发展性学力和创造性 学力着手突出能力考查的试题 近几年来 ， 在全国 及各省市的各套高考数学试卷中出现了一些创新型 试题 ， 这些试题 主要类型有直觉思维型、 学习迁移 型、 课改导向型、 动手操作型、 实际应用型、 问题探究

3、 型、 结论( 条件) 开放型、 认知评价型等 本文拟对高 考数学创新型试题的类型做一些分析 一 、直 觉思维型 直觉思维是指个体 以已有的知识经验为基础， 无须逻辑推理， 对突然出现的新问题和新现象 ， 能迅 速理解并作出判断的思维方式 直觉思维可以帮助 学生洞察数学本质 、 猜想数学结论 、 发现数学规律 等 直觉思维是快速解答一些高考数学试题的利器 鉴于直觉思维的重要作用， 在高考数学命题中， 很 自 然地要考查学生的直觉思维 直觉思维型的试题主 要有整体观察型、 直觉判断型、 类 比联想型、 归纳猜 想型、 极限洞察型等 例 1 ( 2 0 O 7年江西卷理8 ) 四位好朋友在一次 聚

4、会上， 他们按照各 自的爱好选择了形状不同、 内空 高度相等 、 杯口半径相等的圆口酒杯， 如图所示 盛 满酒后他们约定： 先各 自饮杯 中酒的一半 设剩余酒 3 8 的高度从左到右依次为 h 。 ， h ： ， h ， ， h ， 则它们的大小 关系正确的是( ) A h 2h Ih 4 ； B h 1 h 2h 3 ； C h 3h 2h a；D h 2h 4h 1 点评： 本题背景鲜活， 颇有生活气息 命题者大 胆将四种旋转体汇集在一起 ， 与 日常生活中的酒杯 形状联系起来， 巧妙设问， 主要考查几何体的体积与 高度的关系， 考查空间想象能力及直觉思维能力 通 过整体观察， 不需具体计

5、算， 进行直觉思维， 对问题 作出迅速、 准确的直觉判别 因为各酒杯杯 口半径相 等， 即上底面积相等 内空高度相等 ， 且饮去上部一 半 ， 故下部越细， 剩余酒高度越高， 所以有 h h 。 ，故应选 A 二、 学习迁移型 解答学习迁移型试题 ， 需要考生具有 自主学习 和迁移的能力 学习能力是指学生阅读并理解数学 新知识的能力， 这里的新知识可以是新的概念 、 新的 定理、 新的方法、 新的公式 、 新的规则等 学习能力包 括会搜集 、 提炼、 加工信息， 对阅读 的内容进行概括 和理解， 看清问题的本质， 然后运用新的知识通过分 析、 演算、 归纳、 猜想 、 类比或论证等方法解决一些

6、新 的数学问题 例 2 ( 2 o o 8 年福建卷理 1 6 ) 设 P是一个数集， 且至少含有两个数 ， 若对任意 a 、 b P ， 都有 。 +b 、 n b 、 a b 、 旱 P ( 除数b -# 0 ) ， 则称P 是一 个数域 例 O 如有理数集 Q是数域； 数集 F= 口+b l 8 、 6 EQ 也是数域 ， 有下列命题 ： 整数集是数域； 若有理 澡 中 数学熬与学( 赢堂碧杰 M A t s T EACI T I NG AND LEARNl 6 l N H 口l 王 sCH ooL 数集 Q ， 则数集 M必 为数域 ； 数域必为无限 集 ； 存在无穷多个数域 其 中正

7、确的命题的序号是 一( 把你认为正确的命题的序号填上) L 1 分析： 对于整数集z ， 0 ： 1 ， b = 2时， = 擘Z ， 口 二 故错 ； 对于满足 Q M 的集合 M =Qn ， 1+ 隹 M 不是数域 ， 错 ； 若 P是数域 ， 则存在 o P 且 0 0 ， 依定义， 2 口 、 3 0 、 4 口、 ， 均是 P中元素， 故 P 中有无数多个元素， 正确； 类似的数集 G= n+ b x I n 、 6 Q， 为无理数 也是数域， 正确 故选 ， 点评： 本题设计独特、 情境新颖， 具有很强的抽 象性和发散性 从试题的背景来看， 此题以近世代数 中“ 群、 环、 域”

8、的知识为背景 ， 试题展示给学生的是 一个全新的问题 ， 体现 了自主学习和主动探究精神 ， 呈现出研究性学习的特点 从试题的立意来看 ， 本题 是一道能有效考查学生阅读理解能力 、 抽象与具体 转化能力 、 构造法和反例思想方法的创新型试题 从 试题的解答来看， 直接以“ 数域” 的定义为背景的试 题在各种复习资料和模拟试题中从未见过 ， 解决这 个问题没有现成的套路和招式， 需要学生阅读理解 “ 数域” 的定义， 综合运用多种数学思想方法， 分别 检查所给答案是否 同时满足“ 数域” 定义 的四个条 件( 满足需证明， 不满足需举反例) ， 才能解决问题 这类以高等数学知识为背景的问题 ，

9、 能有效考查 了 学生进一步学习的潜质 ， 已成为高考试题的一大亮 点和热点 ， 值得注意 三 、 课改导 向型 近年来 ， 一 些高 考创新 型试题 ， 充分 体 现 了 2 0 0 3 年4月教育部颁布的 普通高中数学课程标准 ( 实验) ( 以下简称 标准 ) 的精神 高中数学课程 基本理念之一就是倡导积极主动 、 勇于探索 的学 习 方式 ， 并且指出， 高中数学课程设立“ 数学探究” “ 数 学建模” 等学习活动 ， 为学生形成积极主动的、 多样 的学习方式进一步创造有利的条件 近两年以新课 程改革为背景的好题很多 如 2 0 0 7年四川卷理科第 2 2题 ， 考查了数学探究 ；

10、江西卷理科第 8题 ， 以考生 熟悉的生活中用的酒杯考查了空间想象能力、 直觉 思维能力 ； 湖南卷理科第 1 5题 ， 将杨辉三角中的奇 数换成 l 、 偶数换成 0作为素材 ， 考查 了学生的归纳 猜想能力； 北京卷理科第 1 5 题 ， 以2 0 0 2 年国际数学 家大会会标作为载体 ， 考查了勾股定理 、 三角 函数定 义 、 二倍角公式、 识图能力 、 对称思想； 上海卷理科第 2 1 题 ， 以定义新的“ 果圆” 概念， 考查椭圆基础知识 、 两点间的距离 、 二次函数的最值求法 ， 还考查 了运算 能力和分析问题解决问题的能力 ； 安徽卷理科第 2 0 题， 以医学生物学的试验

11、作为试题题材考查概率的 有关知识 又如 2 0 0 8年全国卷 I理科的第 1 0题涉 及选修 4 5 不等式选讲” 中的柯西不等式的背景 ； 全国卷 理科的第 1 6题涉及选修 12 “ 推理与证 明” 中的类比推理； 北京卷理科第 1 4题涉及选修 3 2 “ 信息安全 与密码” 的数论 函数( 高斯 函数) 、 选 修4 3 “ 数列与差分” 的差分方程组 ； 重庆卷理科 的 第2 2 题和湖北卷理科的第 l 5 题都有选修 l 一 2 “ 推 理与证明” 中的归纳推理( 猜想) 的背景 ； 湖南卷理 科的第 1 O题涉及 “ 新定义” 的 自主 学习与主动探 究 ， 江西卷理科的第 1

12、 6题也涉及主动探究 ； 陕西卷 理科的第 1 2题涉及选修 32的信息安全与密码 ， 等等 这些试题的背景新颖、 视角独特 ， 体现了新课 程理念 ， 它们对高中数学教师认真学习和研究 标 准 以及实施高中数学课程改革具有 良好的导向作 用 当然 ， 课改实验区的试卷如广东卷 、 江苏卷等更 加充分地体现了新课程改革的精神， 值得认真研究 四、 动手操作型 实践出真知 ， 操作促创新 学生的动手操作 、 实 验观察能力对数学 的学习 、 理解和探究是非常重要 的 因此 ， 高考对学生动手操作能力时有考查 例 3 ( 2 0 0 2年全国卷文2 2 ) ( 1 ) 给出两块面积 相同的正三角形

13、纸片( 如图1 ， 图2 ) 要求用其中一块 剪拼成一个正三棱锥模型， 另一块剪拼成一个正三 棱柱模型， 使它们的全面积都与原三角形 的面积相 等， 请设计一种剪拼方法 ， 分别用虚线标示在 图 I 、 图 2中， 并作简要说明； 图1 田2 圈3 ( 2 ) 试比较你剪拼的正三棱锥与正三棱柱的体 积的大小； ( 3 ) ( 本小题为附加题 ， 如果解答正确加 4分， 但全卷总分不超过 1 5 0分 ) 如果给出的是一块任意三 角形 的纸片 ( 如 图 3 ) ， 要求剪拼成一个直三棱柱模型， 使它的全面积与 给出的三角形的面积相等 ， 请设计一种剪拼方法 ， 用 虚线标示在图 3中， 并作简

14、要说明 解： ( 1 ) 如图4 ( 下页) ， 沿正三角形三边 中点连 线折起， 可拼得一个正三棱锥 如图 5 ( 下页) ， 正三 角形三个角上剪出三个相 同的四边形 ， 其较长的一 3 9 中学熬 熬 离 蘸冬 一 一 ，霸 JZ C日刃V 三E t 詹砸V 疗 t l l OR “ c： 搿翻 组邻边边长为三角形边长的 ， 有一组对角为直 角 余下部分按虚线折起 ， 可成为一个缺上底的正三 棱柱， 而剪出的三个相同的四边形恰好形成这个正 三棱柱的上底 ( 2 ) 解答从略 ( 3 ) ( 附加题) 如图6 ， 分别连接三角形的内心与 各顶点， 得到三条线段， 再以这三条线段的中点为顶

15、点作三角形 以新作的三角形为直三棱柱的底面， 过 新三角形的三个顶点向原三角形作垂线， 沿六条垂 线剪下三个四边形 ， 可以拼接成直三棱柱的上底， 余 下部分按虚线折起 ， 成为一个缺上底的直三棱柱， 即 可得到直三棱柱模型 圈4 图5 点评： 对本题( 1 ) 、 ( 3 ) 而言 ， 如果从考查的知识 点来进行分类 ， 则很难说它具体地考查哪个知识点 ， 它所考查的是学生的动手探索能力 通过对给定三 角形的各种剪拼和折叠的操作， 达到了对考生实践 能力考查的目的 本题提高了对空间想象力的能力 要求， 有效地考查了考生的动手操作 能力和创新 意识 五、 实际应用型 “ 坚持数学应用， 考查应用意识” 是 1 9 9 4年以来 一贯坚持的命题方针 应用题是对考生“ 综合实力” 的考查， 是考查能力与素质的良好题型， 近几年应用 题的编拟更加重视语言简洁、 准确 、 背景清新、 近人， 模型具体、 简明， 方法熟悉 、 简便， 所涉及的都是数学 基本内容、 思想和方法 ， 摒弃繁琐的数学运算， 突出 了对数学思想、 方法和实践能力的考查， 突出了数学 在解决实际问题中的重要作用 例 4( 2 0 0 7年 广 东卷理 7 ) 图中是某汽车维修公 司的维修点环形分布图 公 司在年初分配给 A、 B