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1、1第二章第二章第二章第二章第二章第二章第二章第二章 拉普拉斯拉普拉斯拉普拉斯拉普拉斯拉普拉斯拉普拉斯拉普拉斯拉普拉斯( (LaplaceLaplace) ) 变换变换变换变换变换变换变换变换第二节第二节第二节第二节第二节第二节第二节第二节 LaplaceLaplace 变换的性质变换的性质变换的性质变换的性质变换的性质变换的性质变换的性质变换的性质21. 1. 线性性质线性性质线性性质线性性质线性性质线性性质线性性质线性性质若若 , , 是常数，且是常数，且 f f1 1( (t t)=)=F F1 1( (s s), ), f f2 2( (t t)=)=F F2 2( (s s), ),则
2、有则有 f f1 1( (t t)+ )+ f f2 2( (t t)=)= F F1 1( (s s)+)+ F F2 2( (s s) ) 1 1 F F1 1( (s s)+)+ F F2 2( (s s)=)= f f1 1( (t t)+)+ f f2 2( (t t) )此线性性质根据拉氏变换的定义就可得出此线性性质根据拉氏变换的定义就可得出. .32. 2. 微分性质微分性质微分性质微分性质微分性质微分性质微分性质微分性质若若若若若若若若 f f ( (t t ) )=F F( (s s), ), 则则则则则则则则 f f ( (t t )= )= sFsF( (s s) ) -
3、 - f f (0)(0)00e( )( )deststf tf t+=证明证明证明证明证明证明证明证明 0( )( ) edstftftt+=L L L L 0ed( )stf t+= ( )(0)sf tf=L L L L0(0)( )edstfsf tt+= +(Re( )sc( )( )(0)(Re( )f tsF sfsc=即 L L L L4推论推论推论推论推论推论推论推论: : 若若若若若若若若 L L L L L L L L f f ( (t t )=)=F F( (s s), ), 则则则则则则则则 L L L L L L L L f f (t t )=)=s s L L L
4、 L L L L L f f ( (t t) )- - f f (0)(0)特别特别特别特别特别特别特别特别, , 当初值当初值当初值当初值当初值当初值当初值当初值 f f (0)= (0)= f f (0)=.= (0)=.= f f ( (n n- -1)1)(0)=0(0)=0时时时时时时时时, , 有有有有有有有有 f f ( (t t)= )= sFsF( (s s), ), f f (t t)=)=s s2 2F F( (s s), .,), ., f f ( (n n) )( (t t )=)=s sn nF F( (s s) )= =s s s s L L L L L L L
5、L f f ( (t t) )- - f f (0) (0) f f (0)(0)= = s s2 2 L L L L L L L L f f ( (t t) ) s f s f (0) (0) - -f f (0)(0) . . L L L L L L L L f f ( (n n) )( (t t)=)=s s L L L L L L L L f f ( (n n- -1)1)( (t t ) )- - f f ( (n n- -1)1)(0)(0)= =s s n nF F( (s s) ) - - s sn n- -1 1f f (0) (0) - - s sn n- -2 2f f
6、(0) (0) - -. . - -f f ( (n n- -1)1)(0) (0) 51!(Re( )0).m mmtss+=所以L L L L由于由于由于由于由于由于由于由于 f f (0) = (0) = f f (0)=(0)=.= .= f f ( (mm- -1)1)(0)= 0, (0)= 0, 而而而而而而而而 f f ( (mm) )( (t t) =) =mm! !例例例例例例例例1. 1. 利用微分性质利用微分性质利用微分性质利用微分性质利用微分性质利用微分性质利用微分性质利用微分性质, , 求函数求函数求函数求函数求函数求函数求函数求函数 f f ( (t t)=)=t
7、 t mm的拉氏变换的拉氏变换的拉氏变换的拉氏变换的拉氏变换的拉氏变换的拉氏变换的拉氏变换, , 其中其中其中其中其中其中其中其中mm是正整数是正整数是正整数是正整数是正整数是正整数是正整数是正整数. .解解解解解解解解即即即即即即即即 mm!= != s smm t t mm 所以所以所以所以所以所以所以所以 mm!= != f f ( (mm) )( (t t)=)=s smm f f ( (t t) )! ! 1mmms=又LLLLLLLL对一般的对一般的对一般的对一般的对一般的对一般的对一般的对一般的m m - -1 11(1(Re( )0).m mmtss+=）L L L L(1mt
8、mt e dt+0）=6象函数的微分性质象函数的微分性质象函数的微分性质象函数的微分性质象函数的微分性质象函数的微分性质象函数的微分性质象函数的微分性质: : 若若若若若若若若 f f( (t t)=)=F F( (s s), ), 则则则则则则则则F F ( (s s)= )= - - t t f f( (t t), ), Re(Re(s s)c c. . 和和和和和和和和F F ( (n n) )( (s s)= )= ( (- -t t) )n nf f( (t t), ), Re(Re(s s)c c. . 0dd( )( )edddstF sf ttss+=证明证明证明证明证明证明证
9、明证明00d( ) ed( ) eddststf tttf tts+= ( )tf t=L L L L ()( )( )( )( 1)( )nnntf tFst f tFs= = L L L LL L L L 7例例例例例例例例2. 2. 求函数求函数求函数求函数求函数求函数求函数求函数 f f ( (t t)=)=t t sin sin ktkt 的拉氏变换的拉氏变换的拉氏变换的拉氏变换的拉氏变换的拉氏变换的拉氏变换的拉氏变换. .22sinkktsk=+2222222222221 ()()ssk sksksk=+解解解解解解解解由象函数的微分性质知由象函数的微分性质知由象函数的微分性质知由
10、象函数的微分性质知由象函数的微分性质知由象函数的微分性质知由象函数的微分性质知由象函数的微分性质知22d sindktkts sk= +L L L L2222 ()ks sk=+22d cosdstkts sk= +同理可得L L L L83. 3. 积分性质积分性质积分性质积分性质积分性质积分性质积分性质积分性质若若若若若若若若 f f ( (t t)=)=F F( (s s), ), 则则则则则则则则01( )d( )tf ttF ss=L L L L由微分性质知由微分性质知由微分性质知由微分性质知由微分性质知由微分性质知由微分性质知由微分性质知011( ) d( )( )tf ttf t
11、F sss=即LLLLLLLL证明证明证明证明证明证明证明证明设设设设设设设设0( )( ) d ,th tf tt=则则则则则则则则( )( ),(0)0htf th=且( ) ( )(0) ( ),htsh thsh t=LLLLLLLLLLLL9重复应用上式重复应用上式重复应用上式重复应用上式重复应用上式重复应用上式重复应用上式重复应用上式, , 就可得到就可得到就可得到就可得到就可得到就可得到就可得到就可得到: :)9 .2()(1d)(dd 000sFsttfnttnttt=? ? ?次L10象函数的积分性质象函数的积分性质象函数的积分性质象函数的积分性质象函数的积分性质象函数的积分
12、性质象函数的积分性质象函数的积分性质: : 若若若若若若若若 f f ( (t t)=)=F F( (s s), ), 则则则则则则则则0( )d( )ed dtssFf tt+= 0( )ed dtsf tt+= 01( )edtsf ttt+=0( )edstf ttt+=( )f t t=L L L L( )( )d sf tF sst=L L L L即即即即即即即即11象函数的积分性质象函数的积分性质象函数的积分性质象函数的积分性质象函数的积分性质象函数的积分性质象函数的积分性质象函数的积分性质: :,( )dd( )dnsssnf tssF sst=? ? 次一般地 有L L L L
13、12例例例例例例例例3 3 求函数求函数求函数求函数求函数求函数求函数求函数sin( )ktf tt=的拉氏变换的拉氏变换. .( )( )d sf tF sst=L L L L13( (其中其中其中其中其中其中其中其中F F( (s s)= )= f f( (t t).).,d)(d)(0,)10. 2(,d)(000+=ssFtttfstttf则有取式按存在如果积分2|arctand11dsin,11sin00202=+=+=+ssstttst则有L( )( )d sf tF sst=L L L L例如例如例如例如例如例如例如例如144. 4.位移性质位移性质位移性质位移性质位移性质位移性质位移性质位移性质若若若若若若若若 f f ( (t t)=)=F F( (s s), ), 则有则有则有则有则有则有则有则有 eeat at f f ( (t t)=)=F F( (s s- -a a)
