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1、单元与插值函数的构造单元与插值函数的构造单元与插值函数的构造单元与插值函数的构造2 0 11. 11. 14单元与插值函数的构造单元与插值函数的构造问题： 利用广义坐标，建立有限单元法的插 值函数方法繁琐，形成的单元矩阵复杂。必须注意：插值函数的构成不取决于求解的微 分方程式，插值函数构造方法仅取决于： 几何图形（单元形状）、 结点数量与位置 以及在单元结点处规定的因变量的数量。单元与插值函数的构造单元与插值函数的构造利用广义坐标建立有限单元法的插值函数 方法，首先将场函数表示为多项式的形式，然 后利用节点条件，将多项式中的待定参数表示 成场函数的节点值和单元几何的函数。无疑， 形成插值函数的
2、方法烦琐。尤其在形成三角形 高阶单元时，利用面积(自然)坐标可以更方便 地建立单元插值函数。单元与插值函数的构造单元与插值函数的构造从节点参数的类型来看, 可以仅包含场 函数的节点值，也可能包含场函数的导数的 节点值。取决于在单元交界面上的连续性的 要求, 这往往由泛函(或控制微分方程)中场 函数导数的最高阶决定的。例如，场函数导 数的最高阶为一阶时，仅要求在单元交界面 上的场函数连续，即：C0连续性。从运算简单和易于满足收敛性的要求来看从运算简单和易于满足收敛性的要求来看从运算简单和易于满足收敛性的要求来看从运算简单和易于满足收敛性的要求来看, , , , 采用采用采用采用 幂函数多项式做为
3、插值函数比较合适幂函数多项式做为插值函数比较合适幂函数多项式做为插值函数比较合适幂函数多项式做为插值函数比较合适, , , , 因而得到广泛因而得到广泛因而得到广泛因而得到广泛 应用应用应用应用。采用幂函数多项式时采用幂函数多项式时采用幂函数多项式时采用幂函数多项式时, , , , 对于仅满足对于仅满足对于仅满足对于仅满足C C C C0 0 0 0连续性要求连续性要求连续性要求连续性要求 的单元的单元的单元的单元, , , , 则仅在单元的角点配置节点则仅在单元的角点配置节点则仅在单元的角点配置节点则仅在单元的角点配置节点。随着连续性要随着连续性要随着连续性要随着连续性要 求的增加求的增加求
4、的增加求的增加, , , ,单元内部的函数场一般应当二次单元内部的函数场一般应当二次单元内部的函数场一般应当二次单元内部的函数场一般应当二次( ( ( (或高次或高次或高次或高次) ) ) )变变变变 化化化化, , , , 则要求不仅在单元的角点配置节点，还要在单元则要求不仅在单元的角点配置节点，还要在单元则要求不仅在单元的角点配置节点，还要在单元则要求不仅在单元的角点配置节点，还要在单元 的边配置一至数个边节点的边配置一至数个边节点的边配置一至数个边节点的边配置一至数个边节点。为了尽可能构造完全多项为了尽可能构造完全多项为了尽可能构造完全多项为了尽可能构造完全多项 式式式式, , , ,
5、一般还会附加生成单元内部节点一般还会附加生成单元内部节点一般还会附加生成单元内部节点一般还会附加生成单元内部节点。单元与插值函数的构造单元与插值函数的构造到目前为止到目前为止到目前为止到目前为止, , , , 关于单元内部节点的利弊都还待深关于单元内部节点的利弊都还待深关于单元内部节点的利弊都还待深关于单元内部节点的利弊都还待深 入研究入研究入研究入研究。一般认为一般认为一般认为一般认为, , , , 在实体在实体在实体在实体( ( ( (二二二二, , , , 三三三三) ) ) )维问题中维问题中维问题中维问题中, , , ,单元单元单元单元 内部节点弊大于利内部节点弊大于利内部节点弊大于
6、利内部节点弊大于利, , , , 应尽量避免应尽量避免应尽量避免应尽量避免。而在板壳问题中而在板壳问题中而在板壳问题中而在板壳问题中, , , , 单元内部节点对于稳定计算是有贡献的单元内部节点对于稳定计算是有贡献的单元内部节点对于稳定计算是有贡献的单元内部节点对于稳定计算是有贡献的。单元与插值函数的构造单元与插值函数的构造一一.Lagrange.Lagrange单元单元1.n1.n个结点构造个结点构造n n- -1 1次次LagrangeLagrange插值多项式插值多项式注：注：1)1)1)1)结点结点结点结点i i i i的插值函数的插值函数的插值函数的插值函数,2),2),2),2)
7、i i i i为第个为第个为第个为第个i i i i结点坐标结点坐标结点坐标结点坐标,3),3),3),3) 为自然坐标为自然坐标为自然坐标为自然坐标即：即：即：即：为结点当为结点当为结点当为结点当n n n n- - - -1 1 1 1次插值函数。次插值函数。次插值函数。次插值函数。 i=1,2i=1,2i=1,2i=1,2n n n n一维单元插值函数的构造（一维单元插值函数的构造（一维单元插值函数的构造（一维单元插值函数的构造（C C C C0 0 0 0）=+=+ =nik1kkikni1ii1ii2i1in1i1i21)1n( i)()( ).()().()().()().()()
8、(l )(l)1n( i 2. 2. 的性质的性质i=1,2i=1,2n n1) n1) n- -1 1次插值函数次插值函数, ,共有共有n n个个2) 2) 3)3)(l)1n( i = = ji0ji1)(lijj)1n( i1)(l)1n( in1i= = 一维单元插值函数的构造（一维单元插值函数的构造（一维单元插值函数的构造（一维单元插值函数的构造（C C C C0 0 0 0）3.3.构造一维单元插值函数构造一维单元插值函数a. Lagrangea. Lagrange线性插值线性插值(n=2)(n=2)或记为：或记为：)1 (21)1 (21 )()()(1 2121 1+=l)1
9、(21)1 (21 )()()(2 1211 2+=+=l)1 (21)(1iil+=一维单元插值函数的构造（一维单元插值函数的构造（一维单元插值函数的构造（一维单元插值函数的构造（C C C C0 0 0 0）11( )(1)2iil =+=+即：即：1 11( )(1)2l =1 21( )(1)2l =+=+一维单元插值函数的构造（一维单元插值函数的构造（一维单元插值函数的构造（一维单元插值函数的构造（C C C C0 0 0 0）b. b. 二次二次LagrangeLagrange插值插值(n=3)(n=3)1(21)1(21 )()()(l11 3121322 1 +=+= =)1(
10、21)1(21)(l332 3+=+=+=+=)1()(l22 2=一维单元插值函数的构造（一维单元插值函数的构造（一维单元插值函数的构造（一维单元插值函数的构造（C C C C0 0 0 0）( )( ) ( ) =nijjijjn iifflN, 11 为构造其他形式的为构造其他形式的LagrangeLagrange单元方便，定义单元方便，定义其中，其中，则，则，( )jjf=( )jiijf=( )0=jjjjf( )( )inin iiniilN =111一维单元插值函数的构造（一维单元插值函数的构造（一维单元插值函数的构造（一维单元插值函数的构造（C C C C0 0 0 0）3.2
11、.2 Hermite 3.2.2 Hermite 单元单元如果要求在单元的公共界面上保持场函数导数的连续性如果要求在单元的公共界面上保持场函数导数的连续性, , 则节点参数中还应当包含场函数导数的节点值则节点参数中还应当包含场函数导数的节点值. . 此时可此时可 以采用以采用HermiteHermite插值多项式作为单元插值函数插值多项式作为单元插值函数. . 对于一维对于一维 二节点元二节点元, Hermite, Hermite插值多项式可以表示为插值多项式可以表示为 ( )( )( )( )( )220111iii iiiHH =+()0,ijijH=( )( )41ii iHQ =或者或
12、者其中其中HermiteHermite插值多项式具有以下性质插值多项式具有以下性质()10,ijH=( )0 0 jidH d =( )1ji ijdH d=当当当当1 1=0,=0,2 2=1=1时时时时, , 和和和和是以下形式的三次多项式是以下形式的三次多项式是以下形式的三次多项式是以下形式的三次多项式( )( )023 111 32NH= +( )( )123 312NH=+112234 12,QQQQ=( )( )023 2232NH=( )( )123 42NH= + 并且并且并且并且( )0 iH( )1 iH0 1H0 2H1 1H1 2H1.01.011( )( )( )(
13、)( )( )( )2222012 2 111iiii iiiiiddHHHdd =+在端部节点最高保持场函数的一阶导数连续性的在端部节点最高保持场函数的一阶导数连续性的 HermiteHermite多项式称为一阶多项式称为一阶HermiteHermite多项式多项式.0.0阶的阶的HermiteHermite 多项式就是多项式就是LagrangeLagrange多项式多项式. . 一般地一般地, ,在节点处保持至在节点处保持至 场函数的场函数的n n阶导数连续性的阶导数连续性的HermiteHermite多项式称为多项式称为n n阶阶 HermiteHermite多项式多项式. . 在在2
14、2节点时节点时, ,它是它是的的2 2n+1n+1次多项式次多项式. .函函 数数的的2 2阶阶HermiteHermite多项式可以表示为多项式可以表示为( )( )61ii iHQ =或者或者其中其中( )( )0345 222210156,NHQ=+=( )( )0345 11111 10156,NHQ= +=( )( )1345 313 1683,dNHQd=+=( )( )()2 22345 5152 1133,2dNHQd=+=( )( )1345 424 2473,dNHQd= +=( )( )()2 2345 6262 212,2dNHQd=+=一、三角形单元一、三角形单元 在构造三角形单元的插值函数时在构造三角形单元的插值函数时, ,普遍采用自然普遍采用自然 ( (面积面积) )坐标来形成具体的形函数坐标来形成具体的形函数, ,其方法直观简单其方法直观简单. .i iA Ai iA A对于对于3 3节点三角形单元节点三角形单元, ,引入面积坐标引入面积坐标: :L Li i=A=Ai i/A/A单元的插值函数可以表示为单元的插值函数可以表示为: : N Ni i=L=Li i二维单元
