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1、第第 24 章章 可观性 可观性 24.1 引言引言 可观性的概念在根据输入和输出对状态的过滤和重构中担当很重要的角色。 和可达性一 样，可观性是理解反馈控制系统的核心。 24.2 可观性可观性 往往更自然地想到“不可观性” 。定义如下： 定义定义 24.1 一个有限维数的动态系统中，假如( )0xq=，且对于)0,T上的任何，都只能得到与时相同的，也就是说无法从零初始条件中区分不可观的初始条件，则称状态q在上是不可观的，如果系统中有一个不可观的状态变量，则称动力学系统是不可观的，否则是可观的。 ( )u t( )0x= 0( )y t)0,T当且仅当系统是可观的，就可以从输入/输出的测量中唯
2、一地确定初始状态( )0x（证明该结论） 。这个也可以看作可观性的另一种定义。 24.3 离散时间系统的分析离散时间系统的分析 首先从系统的状态方程描述为 ()( )( )kBukAxkx+=+1 ( )( )( )kDukCxky+= （24.1） 的系统开始 在上，给定和，把（24.1）展开成如下： 0tT ( )u t( )y t( ) ( )()( )0110xCACACTyyyT=?( ) ( )()+11000000032TuuuDBCABCADCBDTT? ?（24.2） 可知右边的第二项驱动响应已知，由此从可量测的输出向量总结出： ( )( )001xOxCACACyTT=?（
3、24.3） 这里，已经得到y和 T 步的可观性矩阵的很清楚的定义。T 步可观性问题就简化成，针对所知道的TOy，如何唯一地确定( )0x。等式（24.3）指出只要判断在0u 的可观性就行，非零输入的结果刚好改变y，但是无论是那种情况下， y都是已知的向量。下面的结论是（24.3）的直接结果。 定理定理 24.1 第 T 步不可观的状态向量集合是()TN O，因此是子空间。 注意到： ()()1kkN ON Ok+? （24.4） ()()1, =+lONONlnn（24.5） 从等式（24.4）和（24.5）可得下面结论。 定理定理 24.2 如果( )0x=在步不可观，则任何步都是不可观的，
4、同理，当且仅当时，系统是可观的。 n()Trank On=证明：证明：这些结论的证明跟可达性结论的证明相似，就留给读者完成。 注意到在可达性中，可达性状态的集合组成子空间，而这里是由不可观的状态组成子空间。用或来表示该子空间，显然： ()_ ,O C A_ O()(),O C AA C= ? 其中(),A C? 是可达性的子空间，和系统的关系是： ()( )( )keCkdAkd+=+1 （其状态向量是，输入是e） 。根据前面的分析可知，可达性和不可观性是一个对偶的概 念。 d例例 24.1（谐波振荡）（谐波振荡） 假定质子的位置和速度在频率为时是谐波振荡，每隔秒采样一次。采样状态向量 的状态
5、空间描述为： ()()()()()( )kxkx=+ cossinsin1cos1 其中1x是质子的位置，2x为速度。假定输出1x是可量测的，即 ( )( )( )kxkCxky01= 在第 1 个时刻不可观初始条件的子空间就是C的零空间： ( ) =1001spanNCN 在第 2 个时刻不可观的子空间为： () sin1cos01 N / =NNNspan如果，如果010简单地说， 如果采样间隔是振荡时间1 2的整数倍， 那么系统是不可观的。 注意在时的不可观系统对应的就是奈奎斯特边界采样值； 当采样频率高于奈奎斯特边界值时， 系统都是可观的。 1N =24.3.1 不可观性的标准模型阐述
6、不可观性的标准模型阐述 首先研究在时，输出的时域表达。如果( )0u kA可以对角化，就得到 ( )( )0xCAkyk= （24.6） ( )01xwvCT iinik i = ( )k iniT iixwCv =10 （24.7） 假如存在一个特征值， 使得* iv*1i n*0iCv=， 是否会有初始状态变量， 使得( )0y k，0?k 如果选择( )*0ixv=，则从（24.7）可得 ( )*00*iivwxwuT iT i=， 在（24.7）中当，则*,0iii Cv=( )0,0y kk 。 24.3.2 可观性的可观性的 Gram 矩阵矩阵 首先定义 k 步的可观性 Gram
7、矩阵为： kT kkOOQ= ()=10kiiTTiCACA 第步的不可观空间很显然就是的零空间。当且仅当kkQ()nrank Qn=，系统是可观的。 如果系统是稳定的，定义可观性 Gram 矩阵为： ()=10limkiiTTi kkCACAQQ Q满足 Lyapunov 方程，类似于可达性的 Gram 矩阵，也就是： CCQQAATT= 24.4 连续时间系统的分析连续时间系统的分析 和可达性类似，连续时间系统可观性的数学讨论类似于离散时间系统。 定理定理 24.3 对于连续时间系统，下面条件等同于： 1.( )0x在T时刻是不可观的。 2. ( )0x在任一时刻都是不可观的。 3. (
8、)( )0001=xCACACxOnn?证明：证明：1)： 2)如果在T时刻是不可观的，那么对于( )0x=，令( )0u t=，则( )0,0y ttT= 0=AtCe，0t 证毕。 )12 ： 可以立刻得出。 )32 )：该式根据 Taylor 的论点，因为由 Cayley-Hamilton， =+knnCACACNCACACN?10k 24.4.1 可观性可观性 Gramian 矩阵矩阵 定义 ()dCeCeQATTtA t= 0当且仅当()nQrankt=，时，该系统是可观的。如果0tA是稳定的，那么就可以定义可观性 Gramian 矩阵为 ()dCeCeQATTA= 0同样，Q满足
9、Lyapunov 等式： CCQAQATT=+ 24.5 进一步的结果进一步的结果 由对偶原理可知， 利用可达性结果可直接得到可观性和不可观性系统的各种结论、 检验、 标准的规范形式等等。这里简单地列出了主要结论。 结论结论 1：不可观子空间就是A-不变的。 （就是包含在的零空间最大CA-不变的子空间） 结论结论 2：一个不可观的组合(),C A通过相似变换成如下形式为： 22!1 0AAAA （24.8） 20CC （24.9） 其中(是可观的， （24.8） ， （24.9）中系统的不可观子空间表示为。的特征值就是系统不可观的特征值，而的特征值就是系统可观的特征值。 )22,CA* 0 1
10、A2A结论结论 3：对于特征值，当且仅当A的某右特征向量满足v0Cv =，则系统是不可观的， 或者等同于当且仅当 CAsI（24.10） 在s=时不是满秩的，该就是系统不可观的特征值。 结论结论 4：对于源点的可控性问题的对偶问题称为最终状态的可构建性问题，也就是，并不是试图从间隔的输入/输出的量测值唯一地确定初始状态( )0x ， 而是希望能确定终端状态。对于CT系统，其条件就归结为可观性条件，但是对于系统，当且仅当 DT()()n nANON （24.11） 就归结为在0,1k上，从( )( ),u iy i能来确定( )x k，()kn。其证明留给读者。注意常数A可以帮助得到其可观性条件
11、。 结论结论 5：任何单输出的可观的阶系统都是可以通过相似变换得到可观标准型的（上章中阐述的可达/可控形式的对偶）或者观测器的标准型（上章可控标准型的对偶） 。 (SO)n24.5.1 不可观系统的标准形式不可观系统的标准形式 给定任意系统，可以构建方阵rn oT，这个方阵的列是由对可观性矩阵进行零空间扩展得来的。就可以通过选择线性独立向量构建TnO(nr)，使得 ()nTTrankTrankonn=由于T是可逆的，利用相似转换得到等价系统，就有： =321 0AAATTATTTAAToo（24.12） 10CCTTCCTo= （24.13） 转换系统和输出矩阵中的零模块出现是根据可达标准型的
12、结论， 即不可观空间也是A-常量。 从（24.12）和（24.13）可得 =1 313111000nnnACACCTCACATCTO?转换系统等价于原来系统， ()()nnOrankOrank=。 定理定理 24.4（标准模型验证）（标准模型验证） 一个连续时间系统，当且仅当 nCAIrank= ，C 才是可观的。 证明证明：根据可观标准型即可证明。 练习练习 练习练习 24.1 （a）给定一个可观性阶的系统 nDT( )( )( )( )( )( ),x kAx kB ky kC kDu k=+=+， 证明当时，仅仅从输出量测值就能唯一确定初始状态20,0,0,0nDCBCABCAB=?(
13、)0x，也就是无需知道输入( )u i。 （b） （可选）证明当输出是标量时， （a）的充分条件也是必要条件。 y（c） 证明如果是单输入单输出（SISO）系统，则（a）对应的条件就变成系统的传递函 数只有极点，没有（有限）零点。 练习练习 24.2 考虑系统( )( )( )( ),x kAx ky kC k=，假定A和有以下形式： C=kkkkkkkkkk AAAAAAAAAAAAAA,3 ,2,1 , 13 , 12, 11 , 12322211211 000?()0001?CC = 其中1,iiA和都是满列秩，是方阵。 1CiiA（a） 证明该系统是可观的（提示：首先说明当和Q满列秩时
14、，则也是满列秩的） PPQ（b） 如果不是满列秩，而是 0，则该系统又如何？ 1,kkA该结论形成了来验证可观性的最基本的数值法（或者，利用计算和结论的对偶来验证可达性） 。利用正交（因此数值上进行适当处理）相似变换得到上面的的结构形式。 (),C A练习练习 24.3（a）CT单输出的阶可观性系统n( )( )( )( ),x tA ty tcx t=?，其中c是有n个要素的向量。假定只观测到当tkT=时的输出采样值，其中为整数和T为固定值。写出能描述输出采样值演化的的状态空间模型。 kDT（b） 对（a）中的模型，利用DTA的特征值，求出充分必要条件。 （提示：首先证明把A 转换成约当型时没有丢失其一般特性） 练习练习 24.4 考虑一个可观的单输出LTI系统，求得C行向量的最小扰动2，使得系统变成不可观。 练习练习 24.5 考虑一个是的，稳定的，离散时间系统，其状态空间描述为，并且是可控的和可观的。状态向量的维数为。感兴趣的是能精确地研究过去输入对将来输出的影响。该信息对模型简化问题很有用，但是这里不进行
