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1、第一讲第一讲 极限、无穷小与连续性极限、无穷小与连续性一、知识网络图一、知识网络图二、重点考核点二、重点考核点这部分的重点是：掌握求极限的各种方法掌握无穷小阶的比较及确定无穷小阶的方法判断函数是否连续及确定间断点的类型（本质上是求极限） 复合函数、分段函数及函数记号的运算1 极限的重要性质极限的重要性质1()nnxf x1不等式性质设，且 AB，则存在自然数 N，使得当 nN 时有 xnynByAxnnnn limlim，设，且存在自然数 N，当 nN 时有 xnyn，则 ABByAxnnnn limlim，作为上述性质的推论，有如下的保号性质：设，且 A0，则存在自然数 N，Axn n li
2、m使得当 nN 时有 xn0设，且存在自然数 N，当 nN 时有 xn0，则 A0Axn n lim对各种函数极限有类似的性质例如：设，且 AB，则存BxgAxf xxxx )(lim)(lim00，在 0，使得当 有 f（x）g（x） 设，且存在00 xxBxgAxf xxxx )(lim)(lim00，0，使得当 0xx0 时 f（x）g（x） ，则 AB2有界或局部有界性性质设，则数列xn有界，即存在 M0，使得xnM（n = Axn n lim1，2，3，） 设则函数 f（x）在 x = x0的某空心邻域中有界，即存在 0 和 M0，Axf xx )(lim0使得当 0xx0 时有f（
3、x）M对其他类型的函数极限也有类似的结论2 求极限的方法求极限的方法1极限的四则运算法则及其推广 设，则BxgAxf xxxx )(lim)(lim00，；BAxgxf xx )()(lim0；ABxgxf xx )()(lim0)0()()(lim0 BBA xgxfxx只要设存在或是无穷大量，上面的四则运算法则可以推广到除“)(glim)(lim00xxf xxxx，” ， “” ， “0” ， “”四种未定式以外的各种情形即： 1设00 ，则.（）又 B0，Bxxf xxxx )(glim)(lim00， )()(lim0xgxf xx )()(lim0xgxfxx( )0g x 则2设
4、，当 xx0时局部有界， （即， )()(lim0xgxf xx )(lim0xf xx( )g x0,0M使得时） ，则 00xx( )g xM)()(lim0xgxf xx设，当 xx0时g（x）局部有正下界， （即0，b0 使得 )(lim0xf xx0x x0 时g（x）b0） ，则 )()(lim0xgxf xx3设，则，又0 使得 )(lim0xf xx )(lim0xg xx )()(lim0xgxf xx0x x0 时 f（x）g（x）0，则 )()(lim0xgxf xx4设，xx0时 g（x）局部有界，则（无穷小量与0)(lim0 xf xx0)()(lim0 xgxf x
5、x有界变量之积为无穷小 ）2幂指函数的极限及其推广设，AxfBxgAxfBxgxxxxxx )()(lim)(lim 0)(lim000则，000lim( )ln( )( )( )ln( )ln(lim( )lim)xxg xf xg xg xf xBABxxxxf xeeeA只要设存在或是无穷大量,上面的结果可以推广到除“1” ， “00”及00lim( ) lim( ) xxxxf xg x ，“0”三种未定式以外的各种情形这是因为仅在这三个情况下是)(ln)(lim0xfxg xx“0”型未定式1设 = 0（0x 时 f（x）0） ，则)(lim0xf xx0x0)(lim0 Bxg x
6、x0( )0(0)lim( )(0)g xxxBf xB2设 = A0，A1， = + ，则 )(lim0xf xx)(lim0xg xx0( )0(01)lim( )(1)g xxxAf xA3设 = + ，则 )(lim0xf xx0)(lim0 Bxg xx 0)() 0(0)(lim)(0BBxfxgxx用相消法求用相消法求或或型极限型极限00 利用洛必达法则求极限利用洛必达法则求极限分别求左、右极限的情形，分别求分别求左、右极限的情形，分别求的情形的情形nnnnxx212limlim 与利用函数极限求数列极限利用函数极限求数列极限3 无穷小和它的阶无穷小和它的阶1无穷小、极限、无穷大
7、及其联系无穷小、极限、无穷大及其联系（1）无穷小与无穷大的定义（2）极限与无穷小，无穷小与无穷大的关系0lim( )( )( ) xxf xAf xAx 其中00lim( )0 ( ( )(1). xxxf xAoxx ，o（1）表示无穷小量在同一个极限过程中，u 是无穷小量（u0）是无穷大量反之若 u 是无穷大量，u1则是无穷小量u12无穷小阶的概念无穷小阶的概念（1）定义定义 同一极限过程中，（x） ，（x）为无穷小，设 0( )( ) 1( )( )( )lim( ) ( )()( )0( )( ) ( )( ( )()lxx lxxxlxxxlxx xox 为有限数，称与为同阶无穷小
8、时，称与为等价无穷小，记为 极限过程 时，是比高阶的无穷小，记为 极限过程定义定义 设在同一极限过程中（x） ，（x）均为无穷小，（x）为基本无穷小，若存在正数 k 与常数 使得 称（x）是（x）的 k 阶无穷小，特别有l0)()(lim lxxk，称 xx0时（x）是（xx0）的 k 阶无穷小0)()(lim00lxxxkxx（2）重要的等价无穷小x0 时 sinx x，tanx x，（1 + x） x，ex1 x； ax1 xlna，arcsinx x，arctanx x；（1 + x）a1 ax，1cosx 2 21x（3）等价无穷小的重要性质在同一个极限过程中1若 ， 2 = + o（
9、）3在求“”型与“0”型极限过程中等价无穷小因子可以替换0 04 连续性及其判断连续性及其判断1连续性概念连续性概念（1）连续的定义：函数 f（x）满足，则称 f（x）在点 x = x0处连续；f（x）满足)()(lim0 0xfxf xx （或，则称 f（x）在 x = x0处右（或左）连续00lim( )() xxf xf x )()(lim0 0xfxf xx 若 f（x）在（a，b）内每一点连续，则称 f（x）在（a，b）内连续；若 f（x）在 （a，b）内连续，且在 x = a 处右连续，在点 x = b 处左连续，则称 f（x）在a，b上连续 （2）单双侧连续性f（x）在 x =
10、x0处连续 f（x）在 x = x0处既左连续，又右连续（3）间断点的分类：设 f（x）在点 x = x0的某一空心邻域内有定义，且 x0是 f（x）的间断点若 f（x）在点 x = x0处的左、右极限 f（x00）与 f（x0 + 0）存在并相等，但不等于函数值 f（x0）或 f（x）在 x0无定义，则称点 x0是可去间断点；若 f（x）在点 x = x0处的左、 右极限 f（x00）与 f（x0 + 0）存在但不等，则称点 x0是跳跃间断点：它们统称为第一类 间断点若 f（x）在点 x = x0处的左、右极限 f（x00）与 f（x0 + 0）至少有一个不存在，则称 点 x0为第二类间断点
11、2函数连续性与间断点类型的判断：函数连续性与间断点类型的判断：若 f（x）为初等函数，则 f（x）在其定义域区间 D 上连续，即当开区间（a，b） D， 则 f（x）在（a，b）内连续；当闭区间c，d D，则 f（x）在c，d上连续若 f（x）是 非初等函数或不清楚它是否为初等函数，则用连续的定义和连续性运算法则（四则运算， 反函数运算与复合运算）来判断当 f（x）为分段函数时，在其分界点处则需按定义或分 别判断左、右连续性判断 f（x）的间断点的类型，就是求极限00lim( ) xxf x 3有界闭区间有界闭区间a，b上连续函数的性质：上连续函数的性质：最大值和最小值定理：设 f（x）在闭区
12、间a，b上连续，则存在和a，b，使 得f（）f（x）f（） ， （axb）有界性定理：设 f（x）在闭区间a，b上连续，则存在 M0，使得f（x）M， （axb）介值定理：设函数 f（x）在闭区间a，b上连续，且 f（a）f（b） ，则对 f（a）与 f（b）之间的任意一个数 c，在（a，b）内至少存在一点 ，使得 f（） = c推论推论 1（零值定理）：设 f（x）在闭区间a，b上连续，且 f（a）f（b）0，则在 （a，b）内至少存在一点 ，使得 f（） = 0推论推论 2：设 f（x）在闭区间a，b上连续，且 m 和 M 分别是 f（x）在a，b上最小值 和最大值，若 mM，则 f（x）
13、在a，b上的值域为m，M第二讲第二讲 一元函数微分学的概念、计算及简单应用一元函数微分学的概念、计算及简单应用一、知识网络图一、知识网络图二、重点考核点二、重点考核点这部分的重点是导数与微分的定义、几何意义，讨论函数的可导性及导函数的连续性，特别是分段 函数，可导与连续的关系按定义或微分法则求各种类型函数的一、二阶导数或微分（包括：初等函数，幂指 数函数，反函数，隐函数，变限积分函数，参数式，分段函数及带抽象函数记号的复合函 数） ，求 n 阶导数表达式求平面曲线的切线与法线，描述某些物理量的变化率导数在经济领域的应用如“弹性” ， “边际”等（只对数三，数四） 1 一元函数微分学中的基本概念
14、及其联系一元函数微分学中的基本概念及其联系1可导与可微的定义及其联系可导与可微的定义及其联系cf 2几何意义与力学意义几何意义与力学意义是曲线 y = f（x）在点（x0，f(x0） ）处切线的斜)(0xf 率是相应于x 该切线上纵坐标的增xxfxdfxx)()(00量质点作直线运动，t 时刻质点的坐标为 x = x(t） ，是 t = t0时刻的速度)(0tx3单侧导数与双侧导数单侧导数与双侧导数f（x）在 x = x0可导均存在且相等 00)()fxfx，此时 000()()()fxfxfx00 00()()()lim xf xxf xfxx ， -00 00()()()lim. xf xxf xfxx 2 一元函数求导法一元函数求导法反函数求导法：反函数求导法：设 f（x）在区间 Ix可导，值域区间为 Iy，则它的反函数 x =（y）在 Iy可( )0fx导且()1d1( )d( )d dxyxyyfxy x 变限积分求导法：变限积分求导法：00000 0000
