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1、中考数学集合专题中考数学集合专题知识考点： 理解三角形三边的关系及三角形的主要线段（中线、高线、角平分线）和三角形的内角和定理。关键是正确理 解有关概念，学会概念和定理的运用。应用方程知识求解几何题是这部分知识常用的方法。 精典例题： 【例 1】 已知一个三角形中两条边的长分别是a、b， 且ba ， 那么这个三角形的周长L的取值范围是 （）A、bLa33B、aLba2)(2C、abLba262D、baLba23 分析：涉及构成三角形三边关系问题时，一定要同时考虑第三边大于两边之差且小于两边之和。 答案：B 变式与思考：在ABC 中，AC5，中线 AD7，则 AB 边的取值范围是（） A、1AB
2、29B、4AB24C、5AB19D、9AB19 评注：在解三角形的有关中线问题时，如果不能直接求解，则常将中线延长一倍，借助全等三角形知识求解， 这也是一种常见的作辅助线的方法。 【例 2】如图，已知ABC 中，ABC450，ACB610，延长 BC 至 E，使 CEAC，延长 CB 至 D，使 DB AB，求DAE 的度数。 分析：用三角形内角和定理和外角定理，等腰三角形性质，求出DE 的度数，即可求得DAE 的度数。 略解：ABDB，ACCED21ABC，E21ACBDE21（ABCACB）530DAE1800（DE）1270 探索与创新： 【问题一】如图，已知点 A 在直线l外，点 B、
3、C 在直线l上。 （1）点 P 是ABC 内任一点，求证：PA；（2）试判断在ABC 外，又和点 A 在直线l的同侧，是否存在一点 Q，使BQCA，并证明你的结论。nm ll问题一图 CBACBA分析与结论： （1）连结 AP，易证明PA； （2）存在，怎样的角与A 相等呢？利用同弧上的圆周角相等，可考虑构造ABC 的外接O，易知弦 BC 所 对且顶点在弧 AmB，和弧 AnC 上的圆周角都与A 相等，因此点 Q 应在弓形 AmB 和 AnC 内，利用圆的有关性 质易证明（证明略） 。 【问题二】如图，已知 P 是等边ABC 的 BC 边上任意一点，过 P 点分别作 AB、AC 的垂线 PE、
4、PD，垂足为 E、 D。问：AED 的周长与四边形 EBCD 的周长之间的关系？ 分析与结论： （1）DE 是AED 与四边形 EBCD 的公共边，只须证明 ADAEBEBCCD （2）既有等边三角形的条件，就有 600的角可以利用；又有垂线，可造成含 300角的 直角三角形，故本题可借助特殊三角形的边角关系来证明。 略解：在等边ABC 中，BC600 又PEAB 于 E，PDAC 于 D BPECPD300例 2 图 EDCBA问题二图 E DPCBA不妨设等边ABC 的边长为 1，BEx，CDy，那么：BPx2，PCy2，21 yx，而 AEx1，ADy1AEAD23)(2yx又BECDB
5、C231)( yxADAEBEBCCD 从而 ADAEDEBEBCCDDE 即AED 的周长等于四边形 EBCD 的周长。 评注：本题若不认真分析三角形的边角关系，而想走“全等三角形”的道路是很难奏效的。 跟踪训练： 一、填空题：1、三角形的三边为 1，a1，9，则a的取值范围是。 2、已知三角形两边的长分别为 1 和 2，如果第三边的长也是整数，那么第三边的长为。 3、在ABC 中，若C2（AB） ，则C度。 4、如果ABC 的一个外角等于 1500，且BC，则A。 5、如果ABC 中，ACB900，CD 是 AB 边上的高，则与A 相等的角是。 6、如图，在ABC 中，A800，ABC 和
6、ACB 的外角平分线相交于点 D，那么BDC。 7、如图，CE 平分ACB，且 CEDB，DABDBA，AC18cm，CBD 的周长为 28 cm，则 DB。 8、纸片ABC 中，A650，B750，将纸片的一角折叠，使点 C 落在ABC 内（如图） ，若1200，则2 的度数为。 9、在ABC 中，A500，高 BE、CF 交于点 O，则BOC。10、若ABC 的三边分别为a、b、c，要使整式0)(mcbacba，则整数m应为。第 6 题图 FEDCBA第 7 题图 EDCBA二、选择题： 1、若ABC 的三边之长都是整数，周长小于 10，则这样的三角形共有（） A、6 个B、7 个C、8
7、个D、9 个 2、在ABC 中，ABAC，D 在 AC 上，且 BDBCAD，则A 的度数为（） A、300B、360C、450D、720 3、等腰三角形一腰上的中线分周长为 15 和 12 两部分，则此三角形底边之长为（） A、7B、11C、7 或 11D、不能确定 4、在ABC 中，B500，ABAC，则A 的取值范围是（） A、00A1800B、00A800 C、500A1300D、800A13005、若、是三角形的三个内角，而x，y，z，那么x、y、z中，锐角的个数的错误判断是（） A、可能没有锐角B、可能有一个锐角 C、可能有两个锐角D、最多一个锐角6、如果三角形的一个外角等于它相邻
8、内角的 2 倍，且等于它不相邻内角的 4 倍，那么这个三角形一定是（） A、锐角三角形B、直角三角形C、钝角三角形D、正三角形 三、解答题： 1、有 5 根木条，其长度分别为 4，8，8，10，12，用其中三根可以组成几种不同形状的三角形？ 2、长为 2，3，5 的线段，分别延伸相同长度的线段后，能否组成三角形？若能，它能构成直角三角形吗？为 什么？3、如图，在ABC 中，A960，延长 BC 到 D，ABC 与ACD 的平分线相交于1A，1ABC 与1ACD 的平分线相交于2A，依此类推，4ABC 与4ACD 的平分线相交于5A，则5A的大小是多少？4、如图，已知 OAa，P 是射线 ON
9、上一动点（即 P 可在射线 ON 上运动） ，AON600，填空： （1）当 OP时，AOP 为等边三角形； （2）当 OP时，AOP 为直角三角形； （3）当 OP 满足时，AOP 为锐角三角形； （4）当 OP 满足时，AOP 为钝角三角形。2A1A第 3 题图 DCBAa060第 4 题图 NPOA一、填空题：1、79a；2、2；3、1200；4、300或 1200；5、DCB；6、500；7、8cm； 8、600；9、1300；10、偶数。 二、选择题：CBCBCB 三、解答题： 1、6 种（4、8、8；4、8、10；8、8、10；8、8、12；8、10、12、4、10、12）2、可以
10、，设延伸部分为a，则长为a2，a3，a5的三条线段中，a5最长，0)5()3()2(aaaa只要0a，长为a2，a3，a5的三条线段可以组成三角形 设长为a5的线段所对的角为，则为ABC 的最大角又由12)5()3()2(2222aaaa当0122a，即32a时，ABC 为直角三角形。3、304、 （1）a； （2）a2或2a； （3）2aOPa2； （4）0OP2a或 OPa22.全等三角形全等三角形知识考点： 掌握用三角形全等的判定定理来解决有关的证明和计算问题， 灵活运用三角形全等的三个判定定理来证明三角 形全等。 精典例题： 【例 1】如图，已知 ABBC，DCBC，E 在 BC 上，
11、AEAD，ABBC。求证：CECD。 分析：作 AFCD 的延长线（证明略） 评注：寻求全等的条件，在证明两条线段（或两个角）相等时，若它们所在的两个三角形不全等，就必须添加 辅助线，构造全等三角形，常见辅助线有：连结某两个已知点；过已知点作某已知直线的平行线；延长某已知线段到某个点，或与已知直线相交；作一角等于已知角。例 1 图 FEDCBA例 2 图 21EDC BA问题一图 PE4321CBA【例 2】如图，已知在ABC 中，C2B，12，求证：ABACCD。 分析：采用截长补短法，延长 AC 至 E，使 AEAB，连结 DE；也可在 AB 上截取 AEAC，再证明 EBCD（证 明略）
12、 。 探索与创新： 【问题一】阅读下题：如图，P 是ABC 中 BC 边上一点，E 是 AP 上的一点，若 EBEC，12，求证：AP BC。 证明：在ABE 和ACE 中，EBEC，AEAE，12 ABEACE（第一步） ABAC，34（第二步） APBC（等腰三角形三线合一） 上面的证明过程是否正确？若正确，请写出每一步的推理依据；若不正确，请指出关键错在哪一步，并写出你 认为正确的证明过程。 略解：不正确，错在第一步。 正确证法为： BECE EBCECB 又12 ABCACB，ABAC ABEACE（SAS） 34 又ABAC APBC 评注： 本题是以考查学生练习中常见错误为阅读材料
13、设计而成的阅读性试题， 其目的是考查学生阅读理解能力， 证明过程中逻辑推理的严密性。阅读理解题是近几年各地都有的新题型，应引起重视。 【问题二】 众所周知， 只有两边和一角对应相等的两个三角形不一定全等， 你能想办法安排和外理这三个条件， 使这两个三角形全等吗？ 请同学们参照下面的方案（1）导出方案（2） （3） （4） 。 解：设有两边和一角对应相等的两个三角形，方案（1） ：若这个角的对边恰好是这两边中的大边，则这两个三 角形全等。方案（2） ：若这个角是直角，则这两个三角形全等。方案（3） ：若此角为已知两边的夹角，则这两个三 角形全等。 评注： 这是一道典型的开放性试题， 答案不是唯一
14、的。 如方案 （4） ： 若此角为钝角， 则这两个三角形全等。 （5） ： 若这两个三角形都是锐解（钝角）三角形，则这两个三角形全等。能有效考查学生对三角形全等概念的掌握情况， 这类题目要求学生依据问题提供的题设条件，寻找多种途径解决问题。本题要求学生着眼于弱化题设条件，设计让 命题在一般情况不成立，而特殊情况下成立的思路。 跟踪训练： 一、填空题： 1、若ABCEFG，且B600，FGEE560，则A度。 2、如图，ABEFDC，ABC900，ABDC，那么图中有全等三角形对。 3、如图，在ABC 中，C900，BC40，AD 是BAC 的平分线交 BC 于 D，且 DCDB35，则点 D
15、到 AB 的 距离是。第 2 题图 FEDCBA第 3 题图 DCBA第 4 题图 HEDCBA4、 如图， 在ABC中， ADBC， CEAB， 垂足分别为D、 E， AD、 CE交于点H， 请你添加一个适当的条件：， 使AEHCEB。 5、如图，把一张矩形纸片 ABCD 沿 BD 对折，使 C 点落在 E 处，BE 与 AD 相交于点 O，写出一组相等的线段 （不包括 ABCD 和 ADBC） 。 6、如图，EF900，BC，AEAF。给出下列结论：12；BECF；ACNABM；CD DN。其中正确的结论是（填序号） 。 二、选择题： 1、如图，ADAB，EAAC，AEAD，ABAC，则下列结论中正确的是（） A、ADFAEGB、ABEACD C、BMFCNGD、ADCABE填空第 5 题图 OEDCBA填空第 6 题图
