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1、中考数学集合专题中考数学集合专题知识考点: 理解三角形三边的关系及三角形的主要线段(中线、高线、角平分线)和三角形的内角和定理。关键是正确理 解有关概念,学会概念和定理的运用。应用方程知识求解几何题是这部分知识常用的方法。 精典例题: 【例 1】 已知一个三角形中两条边的长分别是a、b, 且ba , 那么这个三角形的周长L的取值范围是 ()A、bLa33B、aLba2)(2C、abLba262D、baLba23 分析:涉及构成三角形三边关系问题时,一定要同时考虑第三边大于两边之差且小于两边之和。 答案:B 变式与思考:在ABC 中,AC5,中线 AD7,则 AB 边的取值范围是() A、1AB
2、29B、4AB24C、5AB19D、9AB19 评注:在解三角形的有关中线问题时,如果不能直接求解,则常将中线延长一倍,借助全等三角形知识求解, 这也是一种常见的作辅助线的方法。 【例 2】如图,已知ABC 中,ABC450,ACB610,延长 BC 至 E,使 CEAC,延长 CB 至 D,使 DB AB,求DAE 的度数。 分析:用三角形内角和定理和外角定理,等腰三角形性质,求出DE 的度数,即可求得DAE 的度数。 略解:ABDB,ACCED21ABC,E21ACBDE21(ABCACB)530DAE1800(DE)1270 探索与创新: 【问题一】如图,已知点 A 在直线l外,点 B、
3、C 在直线l上。 (1)点 P 是ABC 内任一点,求证:PA;(2)试判断在ABC 外,又和点 A 在直线l的同侧,是否存在一点 Q,使BQCA,并证明你的结论。nm ll问题一图 CBACBA分析与结论: (1)连结 AP,易证明PA; (2)存在,怎样的角与A 相等呢?利用同弧上的圆周角相等,可考虑构造ABC 的外接O,易知弦 BC 所 对且顶点在弧 AmB,和弧 AnC 上的圆周角都与A 相等,因此点 Q 应在弓形 AmB 和 AnC 内,利用圆的有关性 质易证明(证明略) 。 【问题二】如图,已知 P 是等边ABC 的 BC 边上任意一点,过 P 点分别作 AB、AC 的垂线 PE、
4、PD,垂足为 E、 D。问:AED 的周长与四边形 EBCD 的周长之间的关系? 分析与结论: (1)DE 是AED 与四边形 EBCD 的公共边,只须证明 ADAEBEBCCD (2)既有等边三角形的条件,就有 600的角可以利用;又有垂线,可造成含 300角的 直角三角形,故本题可借助特殊三角形的边角关系来证明。 略解:在等边ABC 中,BC600 又PEAB 于 E,PDAC 于 D BPECPD300例 2 图 EDCBA问题二图 E DPCBA不妨设等边ABC 的边长为 1,BEx,CDy,那么:BPx2,PCy2,21 yx,而 AEx1,ADy1AEAD23)(2yx又BECDB
5、C231)( yxADAEBEBCCD 从而 ADAEDEBEBCCDDE 即AED 的周长等于四边形 EBCD 的周长。 评注:本题若不认真分析三角形的边角关系,而想走“全等三角形”的道路是很难奏效的。 跟踪训练: 一、填空题:1、三角形的三边为 1,a1,9,则a的取值范围是。 2、已知三角形两边的长分别为 1 和 2,如果第三边的长也是整数,那么第三边的长为。 3、在ABC 中,若C2(AB) ,则C度。 4、如果ABC 的一个外角等于 1500,且BC,则A。 5、如果ABC 中,ACB900,CD 是 AB 边上的高,则与A 相等的角是。 6、如图,在ABC 中,A800,ABC 和
6、ACB 的外角平分线相交于点 D,那么BDC。 7、如图,CE 平分ACB,且 CEDB,DABDBA,AC18cm,CBD 的周长为 28 cm,则 DB。 8、纸片ABC 中,A650,B750,将纸片的一角折叠,使点 C 落在ABC 内(如图) ,若1200,则2 的度数为。 9、在ABC 中,A500,高 BE、CF 交于点 O,则BOC。10、若ABC 的三边分别为a、b、c,要使整式0)(mcbacba,则整数m应为。第 6 题图 FEDCBA第 7 题图 EDCBA二、选择题: 1、若ABC 的三边之长都是整数,周长小于 10,则这样的三角形共有() A、6 个B、7 个C、8
7、个D、9 个 2、在ABC 中,ABAC,D 在 AC 上,且 BDBCAD,则A 的度数为() A、300B、360C、450D、720 3、等腰三角形一腰上的中线分周长为 15 和 12 两部分,则此三角形底边之长为() A、7B、11C、7 或 11D、不能确定 4、在ABC 中,B500,ABAC,则A 的取值范围是() A、00A1800B、00A800 C、500A1300D、800A13005、若、是三角形的三个内角,而x,y,z,那么x、y、z中,锐角的个数的错误判断是() A、可能没有锐角B、可能有一个锐角 C、可能有两个锐角D、最多一个锐角6、如果三角形的一个外角等于它相邻
8、内角的 2 倍,且等于它不相邻内角的 4 倍,那么这个三角形一定是() A、锐角三角形B、直角三角形C、钝角三角形D、正三角形 三、解答题: 1、有 5 根木条,其长度分别为 4,8,8,10,12,用其中三根可以组成几种不同形状的三角形? 2、长为 2,3,5 的线段,分别延伸相同长度的线段后,能否组成三角形?若能,它能构成直角三角形吗?为 什么?3、如图,在ABC 中,A960,延长 BC 到 D,ABC 与ACD 的平分线相交于1A,1ABC 与1ACD 的平分线相交于2A,依此类推,4ABC 与4ACD 的平分线相交于5A,则5A的大小是多少?4、如图,已知 OAa,P 是射线 ON
9、上一动点(即 P 可在射线 ON 上运动) ,AON600,填空: (1)当 OP时,AOP 为等边三角形; (2)当 OP时,AOP 为直角三角形; (3)当 OP 满足时,AOP 为锐角三角形; (4)当 OP 满足时,AOP 为钝角三角形。2A1A第 3 题图 DCBAa060第 4 题图 NPOA一、填空题:1、79a;2、2;3、1200;4、300或 1200;5、DCB;6、500;7、8cm; 8、600;9、1300;10、偶数。 二、选择题:CBCBCB 三、解答题: 1、6 种(4、8、8;4、8、10;8、8、10;8、8、12;8、10、12、4、10、12)2、可以
10、,设延伸部分为a,则长为a2,a3,a5的三条线段中,a5最长,0)5()3()2(aaaa只要0a,长为a2,a3,a5的三条线段可以组成三角形 设长为a5的线段所对的角为,则为ABC 的最大角又由12)5()3()2(2222aaaa当0122a,即32a时,ABC 为直角三角形。3、304、 (1)a; (2)a2或2a; (3)2aOPa2; (4)0OP2a或 OPa22.全等三角形全等三角形知识考点: 掌握用三角形全等的判定定理来解决有关的证明和计算问题, 灵活运用三角形全等的三个判定定理来证明三角 形全等。 精典例题: 【例 1】如图,已知 ABBC,DCBC,E 在 BC 上,
11、AEAD,ABBC。求证:CECD。 分析:作 AFCD 的延长线(证明略) 评注:寻求全等的条件,在证明两条线段(或两个角)相等时,若它们所在的两个三角形不全等,就必须添加 辅助线,构造全等三角形,常见辅助线有:连结某两个已知点;过已知点作某已知直线的平行线;延长某已知线段到某个点,或与已知直线相交;作一角等于已知角。例 1 图 FEDCBA例 2 图 21EDC BA问题一图 PE4321CBA【例 2】如图,已知在ABC 中,C2B,12,求证:ABACCD。 分析:采用截长补短法,延长 AC 至 E,使 AEAB,连结 DE;也可在 AB 上截取 AEAC,再证明 EBCD(证 明略)
12、 。 探索与创新: 【问题一】阅读下题:如图,P 是ABC 中 BC 边上一点,E 是 AP 上的一点,若 EBEC,12,求证:AP BC。 证明:在ABE 和ACE 中,EBEC,AEAE,12 ABEACE(第一步) ABAC,34(第二步) APBC(等腰三角形三线合一) 上面的证明过程是否正确?若正确,请写出每一步的推理依据;若不正确,请指出关键错在哪一步,并写出你 认为正确的证明过程。 略解:不正确,错在第一步。 正确证法为: BECE EBCECB 又12 ABCACB,ABAC ABEACE(SAS) 34 又ABAC APBC 评注: 本题是以考查学生练习中常见错误为阅读材料
13、设计而成的阅读性试题, 其目的是考查学生阅读理解能力, 证明过程中逻辑推理的严密性。阅读理解题是近几年各地都有的新题型,应引起重视。 【问题二】 众所周知, 只有两边和一角对应相等的两个三角形不一定全等, 你能想办法安排和外理这三个条件, 使这两个三角形全等吗? 请同学们参照下面的方案(1)导出方案(2) (3) (4) 。 解:设有两边和一角对应相等的两个三角形,方案(1) :若这个角的对边恰好是这两边中的大边,则这两个三 角形全等。方案(2) :若这个角是直角,则这两个三角形全等。方案(3) :若此角为已知两边的夹角,则这两个三 角形全等。 评注: 这是一道典型的开放性试题, 答案不是唯一
14、的。 如方案 (4) : 若此角为钝角, 则这两个三角形全等。 (5) : 若这两个三角形都是锐解(钝角)三角形,则这两个三角形全等。能有效考查学生对三角形全等概念的掌握情况, 这类题目要求学生依据问题提供的题设条件,寻找多种途径解决问题。本题要求学生着眼于弱化题设条件,设计让 命题在一般情况不成立,而特殊情况下成立的思路。 跟踪训练: 一、填空题: 1、若ABCEFG,且B600,FGEE560,则A度。 2、如图,ABEFDC,ABC900,ABDC,那么图中有全等三角形对。 3、如图,在ABC 中,C900,BC40,AD 是BAC 的平分线交 BC 于 D,且 DCDB35,则点 D
15、到 AB 的 距离是。第 2 题图 FEDCBA第 3 题图 DCBA第 4 题图 HEDCBA4、 如图, 在ABC中, ADBC, CEAB, 垂足分别为D、 E, AD、 CE交于点H, 请你添加一个适当的条件:, 使AEHCEB。 5、如图,把一张矩形纸片 ABCD 沿 BD 对折,使 C 点落在 E 处,BE 与 AD 相交于点 O,写出一组相等的线段 (不包括 ABCD 和 ADBC) 。 6、如图,EF900,BC,AEAF。给出下列结论:12;BECF;ACNABM;CD DN。其中正确的结论是(填序号) 。 二、选择题: 1、如图,ADAB,EAAC,AEAD,ABAC,则下列结论中正确的是() A、ADFAEGB、ABEACD C、BMFCNGD、ADCABE填空第 5 题图 OEDCBA填空第 6 题图