《全国通用版2019版高考数学大一轮复习第八章解析几何第45讲椭圆优选学案》由会员分享，可在线阅读，更多相关《全国通用版2019版高考数学大一轮复习第八章解析几何第45讲椭圆优选学案（15页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、1第第 4545 讲讲 椭椭 圆圆考纲要求考情分析命题趋势2017全国卷，202016全国卷，112016天津卷，201.掌握椭圆的定义、几何图形、标准方程及简单几何性质2了解圆锥曲线的简单应用，了解椭圆的实际背景3理解数形结合的思想.分值：512 分1.求解与椭圆定义有关的问题；利用椭圆的定义求轨迹方程；求椭圆的标准方程；判断椭圆焦点的位置2求解与椭圆的范围、对称性有关的问题；求解椭圆的离心率；求解与椭圆的焦点三角形有关的问题.1椭圆的定义平面内与两个定点F1，F2的距离之和等于常数(大于)的点的轨迹叫做！_|F1F2|椭圆_#.这两个定点叫做椭圆的！_焦点_#，两焦点间的距离叫做椭圆的！_
2、焦距_#.集合PM|2a，2c，其中a0，c0，且a，c为常数|MF1|MF2|F1F2|(1)若！_ac_#，则集合P为椭圆；(2)若！_ac_#，则集合P为线段；(3)若！_ac_#，则集合P为空集2椭圆的标准方程和几何性质2标准方程1(ab0)x2 a2y2 b21(ab0)x2 b2y2 a2图形范围！_a_#x！_a_#，！_b_#y！_b_#！_b_#x！_b_#，！_a_#y！_a_#对称性对称轴：！_坐标轴_#，对称中心：！_(0,0)_#顶点A1！_(a,0)_#，A2！_(a,0)_#，B1！_(0，b)_#，B2！_(0，b)_#A1！_(0，a)_#，A2！_(0，a)
3、_#，B1！_(b,0)_#，B2！_(b,0)_#轴长轴A1A2的长为！_2a_#，短轴B1B2的长为！_2b_#焦距！_2c_#|F1F2|离心率e！ #，e！_(0,1)_#c aa，b，c的关系c2！_a2b2_#1思维辨析(在括号内打“”或“”)(1)平面内与两个定点F1，F2的距离之和等于常数的点的轨迹是椭圆( )(2)椭圆上一点P与两焦点F1，F2构成PF1F2的周长为 2a2c(其中a为椭圆的长半轴长，c为椭圆的半焦距)( )(3)椭圆的离心率e越大，椭圆就越圆( )3(4)椭圆既是轴对称图形，又是中心对称图形( )解析 (1)错误由椭圆的定义知，当该常数大于时，其轨迹才是椭圆
4、，而常数|F1F2|等于时，其轨迹为线段F1F2，常数小于时，不存在图形|F1F2|F1F2|(2)正确由椭圆的定义，得2a，又2c，所以|PF1|PF2|F1F2|2a2c.|PF1|PF2|F1F2|(3)错误因为e ，所以e越大，则 越小，椭圆就越扁c aa2b2a1(ba)2b a(4)正确由椭圆的对称性知，其关于原点中心对称也关于两坐标轴对称2设P是椭圆1 上的点，若F1，F2是椭圆的两个焦点，则( C C )x2 4y2 9|PF1|PF2|A4 B8 C6 D18解析 由定义知2a6.|PF1|PF2|3若方程1 表示椭圆，则m的范围是( C C )x2 5my2 m3A(3,5
5、) B(5,3)C(3,1)(1,5) D(5,1)(1,3)解析 由方程表示椭圆知Error!解得3m5 且m1.4(2018广东惠州二调)设F1，F2为椭圆1 的两个焦点，点P在椭圆上，若x2 9y2 5线段PF1的中点在y轴上，则的值为( D D )|PF2| |PF1|A B C D5 145 94 95 13解析 如图，设线段PF1的中点为M，因为O是F1F2的中点，所以OMPF2，可得PF2x轴，|PF2| ，|PF1|2a|PF2|，.故选 Db2 a5 313 3|PF2| |PF1|5 135已知F1，F2是椭圆C的左、右焦点，点P在椭圆上，且满足2，PF1F230，则椭圆的
6、离心率为！_#.|PF1|PF2|33解析 在PF1F2中，由正弦定理得 sinPF2F11，即PF2F1.设1，则 2|PF2|42，所以离心率e.|PF1|F2F1|32c 2a33一 椭圆的定义及应用椭圆定义的应用主要有两个方面：一是确认平面内与两定点有关的轨迹是否为椭圆；二是当P在椭圆上时，与椭圆的两焦点F1，F2组成的三角形通常称为“焦点三角形” ，利用定义可求其周长，利用定义和余弦定理可求，通过整体代入可求其面积等|PF1|PF2|【例 1】 (1)如图所示，一圆形纸片的圆心为O，F是圆内一定点，M是圆周上一动点，把纸片折叠使M与F重合，然后抹平纸片，折痕为CD，设CD与OM交于点
7、P，则点P的轨迹是( A A )A椭圆B双曲线C抛物线 D圆(2)已知F1，F2是椭圆C：1(ab0)的两个焦点，P为椭圆C上的一点，且x2 a2y2 b2.若PF1F2的面积为 9，则b！_3_#.PF1PF2解析 (1)由折叠过程可知点M与点F关于直线CD对称，故，所以|PM|PF|PO|PF|r，|PO|PM|OM|由椭圆的定义可知，点P的轨迹为椭圆(2)设r1，r2，则Error!|PF1|PF2|2r1r2(r1r2)2(rr)4a24c24b2.2 12 2又SPF1F2r1r2b29，b3.1 2二 椭圆的标准方程求椭圆的标准方程的方法求椭圆标准方程的基本方法是待定系数法，具体过
8、程是先定形，再定量，即首先确定焦点所在位置，然后再根据条件建立关于a，b的方程组如果焦点位置不确定，要考虑是否有两解，有时为了解题方便，也可把椭圆方程设为mx2ny21(m0，n0，mn)的形式5【例 2】 求满足下列条件的椭圆的标准方程(1)过点(，)，且与椭圆1 有相同的焦点；35y2 25x2 9(2)已知点P在以坐标轴为对称轴的椭圆上，且P到两焦点的距离分别为 5,3，过P且与长轴垂直的直线恰过椭圆的一个焦点；(3)经过两点，(，)(3 2，5 2)35解析 (1)椭圆1 的焦点为(0，4)，(0,4)，即c4.y2 25x2 9由椭圆的定义知，2a， 302 542 302 542解
9、得a2.5由c2a2b2可得b24.所以所求椭圆的标准方程为1.y2 20x2 4(2)由于焦点的位置不确定，设所求的椭圆方程为1(ab0)或x2 a2y2 b21(ab0)y2 a2x2 b2由已知条件得Error!解得a4，c2，b212.故椭圆方程为1 或1.x2 16y2 12y2 16x2 12(3)设椭圆方程为mx2ny21(m，n0，mn)，由Error!解得m ，n.1 61 10椭圆方程为1.y2 10x2 6三 椭圆的几何性质求椭圆离心率的方法(1)直接求出a，c，从而求解e，通过已知条件列方程组，解出a，c的值(2)构造a，c的齐次式，解出e，由已知条件得出a，c的二元齐
10、次方程，然后转化为关于离心率e的一元二次方程求解(3)通过特殊值或特殊位置，求出离心率【例 3】 (1)椭圆C：1(ab0)的左、右焦点分别为F1，F2，A，B是C上x2 a2y2 b2两点，3，BAF290，则椭圆C的离心率为( D D )AF1F1B6A BC D1 23 43222(2)已知F1(c,0)，F2 (c,0)为椭圆1 的两个焦点，P在椭圆1 上，x2 a2y2 b2x2 a2y2 b2且满足c2，则此椭圆离心率的取值范围是( C C )PF1PF2A B C D33，1)1 3，1 233，22(0，22解析 (1)由条件3，设|x，则|3x.在ABF2中，有(4x)AF1
11、F1BF1BAF12(2a3x)2(2ax)2，整理得x(3xa)0，即 3xa，x ，在 RtAF1F2中，有a 32c，(3x)2(2a3x)24c2.将x 代入，得a2(2aa)24c2，解得 ，即|F1F2|a 3c2 a21 2e.22(2)由椭圆的定义得2a，平方得2224a2.|PF1|PF2|PF1|PF2|PF1|PF2|又c2，cosF1PF2c2.PF1PF2|PF1|PF2|由余弦定理得222cosF1PF224c2.|PF1|PF2|PF1|PF2|F1F2|由，得 cosF1PF2.c2 2a23c2又0cosF1PF21，e.222a2，|PF1|PF2|(|PF
12、1|PF2|2)2a23c2a2，a23c2，e，则此椭圆离心率的取值范围是.故选 C3333，22四 直线与椭圆的综合问题直线与椭圆综合问题的常见题型及解题策略(1)求直线方程可依题设条件，寻找确定该直线的两个条件，进而得到直线方程(2)求面积先确定图形的形状，再利用条件寻找确定面积的条件，进而得出面积的值(3)判断图形的形状可依据平行、垂直的条件判断边角关系，再依据距离公式得出边之间的关系(4)弦长问题利用根与系数的关系、弦长公式求解(5)中点弦或弦的中点一般利用点差法求解，注意判断直线与椭圆是否相交7【例 4】 (2017全国卷)设O为坐标原点，动点M在椭圆C：y21 上，过Mx2 2作
13、x轴的垂线，垂足为N，点P满足 .NP2NM(1)求点P的轨迹方程；(2)设点Q在直线x3 上，且1.证明：过点P且垂直于OQ的直线l过C的OPPQ左焦点F.解析 (1)设P(x，y)，M(x0，y0)，则N(x0,0)，(xx0，y)，(0，y0)NPNM由 ，得x0x，y0y.NP2NM22因为M(x0，y0)在C上，所以1.x2 2y2 2因此点P的轨迹方程为x2y22.(2)由题意知F(1,0)设Q(3，t)，P(m，n)，则(3，t)，(1m，n)，33mtn，OQPFOQPF(m，n)，(3m，tn)，OPPQ由1，得3mm2tnn21，又由(1)知m2n22，故 33mtn0.OPPQ所以0，即，又过点P存在唯一直线垂直于OQ，所以过点P且垂直于OQPFOQPFOQ的直线l过C的左焦点F.【例 5】 已知椭圆1(ab0)的一个顶点为B(0,4)，离心率e，直线l交x2 a2y2 b255椭圆于M，N两点(1)若直线l的方程为yx4，求弦|MN|的长；(2)如果BMN的重心恰好为椭圆的右焦点F，求直线l方程的一般式解析 (1)由已知得b4，且 ，即 ，c a55c2 a21 5 ，解得a220，a2b2 a21 5椭圆方程为1.x2 20y2 16将 4x25y280 与yx4 联立，消去y得 9x240x0，x10，x2，40 98所求弦长|MN|x2x1|
