《全国通用版2019版高考数学大一轮复习第八章解析几何第44讲直线与圆圆与圆的位置关系优选学案》由会员分享，可在线阅读，更多相关《全国通用版2019版高考数学大一轮复习第八章解析几何第44讲直线与圆圆与圆的位置关系优选学案（11页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、1第第 4444 讲讲 直线与圆、圆与直线与圆、圆与圆的位置关系圆的位置关系考纲要求考情分析命题趋势2017全国卷，202016全国卷，152016全国卷，62016天津卷，151.能根据给定直线、圆的方程判断直线与圆的位置关系；能根据给定两个圆的方程判断两圆的位置关系2能用直线和圆的方程解决一些简单的问题3初步了解用代数方法处理几何问题的思想.分值：5 分圆的方程、直线与圆的位置关系在高考中几乎是年年考，一般单独命题但有时也与圆锥曲线等知识综合，重点考查函数与方程、数形结合及转化与化归思想的应用.1直线与圆的位置关系(1)三种位置关系：！_相交_#、！_相切_#、！_相离_#.(2)两种研究
2、方法2(3)圆的切线方程的常用结论过圆x2y2r2上一点P(x0，y0)的圆的切线方程为x0xy0yr2；过圆(xa)2(yb)2r2上一点P(x0，y0)的圆的切线方程为(x0a)(xa)(y0b)(yb)r2；过圆x2y2r2外一点M(x0，y0)作圆的两条切线，则两切点所在直线方程为x0xy0yr2.2圆与圆的位置关系设圆O1：(xa1)2(yb1)2r(r10)，2 1圆O2：(xa2)2(yb2)2r(r20).2 2方法位置关系几何法：圆心距d与r1，r2的关系代数法：两圆方程联立组成方程组的解的情况外离dr1r2无解外切dr1r2一组实数解相交|r1r2|4，点M在圆C外部当过点
3、M的直线斜率不存在时，直线方程为x3，6即x30.又点C(1,2)到直线x30 的距离d312r，即此时满足题意，所以直线x3 是圆的切线当切线的斜率存在时，设切线方程为y1k(x3)，即kxy13k0，则圆心C到切线的距离dr2，|k213k|k21解得k .3 4切线方程为y1 (x3)，即 3x4y50.3 4综上可得，过点M的圆C的切线方程为x30 或 3x4y50.|MC|，3121225过点M的圆C的切线长为1.|MC|2r254四 圆与圆的位置关系(1)处理两圆的位置关系多用圆心距与半径和或差的关系判断，一般不采用代数法(2)若两圆相交，则两圆公共弦所在直线的方程可由两圆的方程作
4、差得到【例 4】 已知圆C1：(xa)2(y2)24 与圆C2：(xb)2(y2)21.(1)若圆C1与圆C2外切，求ab的最大值；(2)若圆C1与圆C2内切，求ab的最大值；(3)若圆C1与圆C2相交，求公共弦所在的直线方程；(4)若圆C1与圆C2有四条公切线，试判断直线xy10 与圆(xa)2(yb)21的位置关系解析 (1)由圆C1与圆C2相外切，可得213，即(ab)ab222229，根据基本不等式可知ab2 ，当且仅当ab时等号成立，所以ab的最大值(ab 2)9 4为 .9 4(2)由C1与C2内切得211，即(ab)21，又ab2ab2222(ab 2)，1 4当且仅当ab时等号
5、成立，所以ab的最大值为 .1 4(3)由题意得，把圆C1，圆C2的方程都化为一般方程圆C1：x2y22ax4ya20，7圆C2：x2y22bx4yb230，由，得(2a2b)x3b2a20，即(2a2b)x3b2a20 为所求公共弦所在的直线方程(4)由两圆存在四条切线，可知两圆外离，故3.ab2222(ab)29，即ab3 或ab1，|ab1|2直线xy10 与圆(xa)2(yb)21 相离1(2018陕西黄陵中学期中)经过点M(2,1)作圆x2y25 的切线，则切线方程为( C C )Axy50 Bxy50 22C2xy50 D2xy50解析 点M(2,1)满足圆x2y25，所以点M(2
6、,1)在圆上经过点M(2,1)作圆x2y25 的切线，则M(2,1)为切点，切点和圆心连线的斜率为 ，则切线斜率为2，切1 2线方程为y12(x2)，整理得 2xy50.故选 C2已知点M(a，b)在圆O：x2y21 外，则直线axby1 与圆O的位置关系是( B B )A相切 B相交C相离 D不确定解析 圆O的圆心O(0,0)，半径r1.因为点M在圆O外，所以a2b21.又圆心O(0,0)到直线axby1 的距离d0，结合图象，再利用1 a8半径、弦长的一半及弦心距构成直角三角形，可知 1a1.1 a22 32易错点 缺乏转化思想致误错因分析：不能将问题等价转化为两圆的位置关系，而是根据题意
7、设出直线方程，利用点到直线的距离公式建立等式，但因运算太复杂而无法求解【例 1】 在平面直角坐标系xOy中，若与点A(2,2)的距离为 1 且与点B(m,0)的距离为 3 的直线恰有两条，则实数m的取值范围为！_#.解析 因为与点A(2,2)的距离为 1 的直线都是以点A(2,2)为圆心，半径为 1 的圆的切线，与点B(m,0)的距离为 3 的直线都是以点B(m,0)为圆心，半径为 3 的圆的切线，所以与点A(2,2)的距离为 1 且与点B(m,0)的距离为 3 的直线恰有两条，即圆A与圆B有两条公切线，也即两圆相交，所以 24，解得 22m2 或 2m22.|AB|33答案 (22，2)(2
8、,22)33【跟踪训练 1】 已知点A(2,0)，B(2,0)，若圆x2y26x9r20(r0)上存在点P(不同于A，B)，使得PAPB，则实数r的取值范围是( A A )A(1,5) B1,5 C(1,3 D1,3解析 依题意得以AB为直径的圆和圆x2y26x9r20(r0)有交点，圆x2y26x9r20 化为标准方程得(x3)2y2r2，两圆相切时不满足条件，故两圆相交，而以AB为直径的圆的方程为x2y24，两圆的圆心距为 3，故|r2|0)上，且与直线 2xy10 相切的面积最小的圆的方程为( 2 xA A )A(x1)2(y2)25B(x2)2(y1)25C(x1)2(y2)225D(
9、x2)2(y1)225解析 设此圆的圆心坐标为(x00)，则圆的半径r(x0，2 x0)|2x02 x01|5，当且仅当 2x0，即x01 时，等号成立，圆的面积最小，此时圆心2 2x02 x01552 x0坐标为(1,2)，半径为，所以圆的方程为(x1)2(y2)25.故选 A55若直线l：ykx1 被圆C：x2y22x30 截得的弦最短，则直线l的方程是( D D )Ax0 By1Cxy10 Dxy10解析 依题意，直线l：ykx1 过定点P(0,1)圆C：x2y22x30 化为标准方程为(x1)2y24，故圆心为C(1,0)，半径为r2.易知定点P(0,1)在圆内，由圆的性质可知当PCl
10、时，直线l：ykx1 被圆C：x2y22x30 截得的弦最短因为kPC1，所以直线l的斜率k1，即直线l的方程是xy10.10 016圆C1：(x2)2(y3)21，圆C2：(x3)2(y4)29，M，N分别是圆C1，C2上的动点，P为x轴上的动点，则|PM|PN|的最小值为( A A )A54 B1C62 D217217解析 设点P的坐标为(x,0)，圆心C1(2,3)关于x轴的对称点为C1(2，3)，则|PC1|PC2|PC1|PC2|C1C2|5.而2323422|PM|PC1|1，|PN|PC2|3，|PM|PN|PC1|PC2|454.2二、填空题107若直线ykx与圆x2y24x3
11、0 相切，则k的值是！_#.33解析 因为直线ykx与圆x2y24x30 相切，所以圆心(2,0)到直线的距离dr1，解得k.|2k|k21338在平面直角坐标系xOy中，圆C的方程为x2y24x0.若直线yk(x1)上存在一点P，使过点P所作的圆的两条切线相互垂直，则实数k的取值范围是！ 2，2 #.22解析 圆C的方程为(x2)2y24.设两个切点分别为A，B，则PACB为正方形，故|PC|R2，圆心到直线yk(x1)的距离d|PC|2，即2，解得222|3k|k2122k2.229已知圆C1：x2y22mx4ym250 与圆C2：x2y22x2mym230，若圆C1与圆C2相切，则实数m
12、！_2 或5 或1_#.解析 圆C1：(xm)2(y2)29，圆C2：(x1)2(ym)24，则C1(m，2)，r13，C2(1，m)，r22.圆C1与圆C2相切包括两种情况：两圆外切与两圆内切(1)当圆C1与圆C2相外切时，有|C1C2|r1r2，即5，整理得m12m22m23m100，解得m5 或m2；(2)当圆C1与圆C2相内切时，有|C1C2|r1r2，即1，整理得m23m20，解得m1 或m2.综上所述，当m12m22m5 或m1 或m2 时，圆C1与圆C2相切三、解答题10已知圆C：(x1)2(y2)210，分别求满足下列条件的圆的切线方程(1)与直线l1：xy40 平行；(2)与
13、直线l2：x2y40 垂直；(3)过切点A(4，1)解析 (1)设切线方程为xyb0(b4)，则，b12，|12b|2105切线方程为xy120.5(2)设切线方程为 2xym0，则，|22m|510m5，切线方程为 2xy50.22(3)kAC ，21 141 3过切点A(4，1)的切线斜率为3，过切点A(4，1)的切线方程为y13(x4)，11即 3xy110.11已知一圆C的圆心为(2，1)，且该圆被直线l：xy10 截得的弦长为2，求该圆的方程及过弦的两端点的切线方程2解析 设圆C的方程为(x2)2(y1)2r2(r0)圆心(2，1)到直线xy10 的距离d，2r2d224，(2 22
14、)故圆C的方程为(x2)2(y1)24.由Error!得弦的两端点坐标为(2,1)和(0，1)所以过弦的两端点的圆的切线方程为y1 和x0.12已知圆C：x2y22x4y30.(1)若圆C的切线在x轴和y轴上的截距相等，求此切线的方程；(2)从圆C外一点P(x1，y1)向该圆引一条切线，切点为M，O为坐标原点，且有|PM|PO|，求使|PM|取得最小值时点P的坐标解析 (1)切线在两坐标轴上的截距相等，当截距为 0 时，设ykx，且圆C：(x1)2(y2)22，圆心C(1,2)到切线的距离等于圆的半径，2即，得k2.|k2|1k226当截距不为 0 时，设切线方程为xya，即，得a3 或a1.故|12a|22圆的切线方程为y(2)x或y(2)x或xy10
