《全国通用版2019版高考数学大一轮复习第三章三角函数解三角形第22讲解三角形应用举例优选学案》由会员分享,可在线阅读,更多相关《全国通用版2019版高考数学大一轮复习第三章三角函数解三角形第22讲解三角形应用举例优选学案(15页珍藏版)》请在金锄头文库上搜索。
1、1第第 2222 讲讲 解三角形应用举解三角形应用举例例考纲要求考情分析命题趋势2015湖北卷,132014四川卷,13能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题. 分值:5 分解三角形是三角函数的知识在三角形中的应用,高考中可单独考查,也可以与三角函数、不等式、向量等综合考查.1仰角和俯角在视线和水平线所成的角中,视线在水平线_上方_的角叫仰角,在水平线_下方_的角叫俯角(如图)2方位角从指北方向_顺时针_转到目标方向线的水平角叫方位角,如B点的方位角为(如图)3方向角相对于某一正方向的水平角(如图)2(1)北偏东,即由指北方向_顺时针_旋转到达目标方向(2
2、)北偏西,即由指北方向_逆时针_旋转到达目标方向(3)南偏西等其他方向角类似4坡角和坡度(比)坡角:坡面与水平面所成的_二面角_的度数(如图,角为坡角)坡度(比):坡面的铅直高度与水平长度之比(如图,i为坡度(比)1思维辨析(在括号内打“”或“”)(1)公式Sbcsin Aacsin Babsin C适用于任意三角形( )1 21 21 2(2)东北方向就是北偏东 45的方向( )(3)俯角是铅垂线与视线所成的角( )(4)方位角大小的范围是0,2),方向角大小的范围一般是.( )0, 2)解析 (1)正确三角形的面积公式对任意三角形都成立(2)正确数学中的东北方向就是北偏东 45或东偏北 4
3、5的方向(3)错误俯角是视线与水平线所构成的角(4)正确方位角是由正北方向顺时针转到目标方向线的水平角,故大小的范围为0,2),而方向角大小的范围由定义可知为.0, 2)2若点A在点C的北偏东 30,点B在点C的南偏东 60,且ACBC,则点A在点B的( B B )A北偏东 15 B北偏西 15C北偏东 10 D北偏西 10解析 如图所示,ACB90.又ACBC,CBA45,而30,390453015.点A在点B的北偏西 15.3如图,设A,B两点在河的两岸,一测量者在A的同侧,选定一点C,测出AC的距离为 50 m,ACB45,CAB105,则A,B两点的距离为( A A )A50 m B5
4、0 m23C25 m D m225 22解析 由正弦定理得AB50(m)ACsinACB sin B50 22 1 224在相距 2 千米的A,B两点处测量目标点C,若CAB75,CBA60,则A,C两点之间的距离为_千米6解析 如图所示,由题意知C45,由正弦定理得,AC sin 602 sin 45AC.2223265一船向正北航行,看见正东方向有相距 8 海里的两个灯塔恰好在一条直线上继续航行半小时后,看见一灯塔在船的南偏东 60,另一灯塔在船的南偏东 75,则这艘船每小时航行_8_海里解析 如图,由题意知在ABC中,ACB756015,B15,ACAB8.在 RtAOC中,OCACsi
5、n 304.4这艘船每小时航行 8(海里)4 1 2一 距离问题求解距离问题的一般步骤(1)选取适当基线,画出示意图,将实际问题转化为三角形问题(2)明确要求的距离所在的三角形有哪些已知元素(3)确定使用正弦定理或余弦定理解三角形【例 1】 要测量对岸A,B两点之间的距离,选取相距 km 的C,D两点,并测得3ACB75,BCD45,ADC30,ADB45,则A,B之间的距离为_km.5解析 如图,在ACD中,ACD120,CADADC30,ACCD km.3在BCD中,BCD45,BDC75,CBD60.BC.3sin 75sin 606 22在ABC中,由余弦定理,得AB2()222cos
6、 75325,AB 3(6 22)36 22335km,即A,B之间的距离为 km.5二 高度问题高度问题一般是把它转化成三角形的问题,要注意三角形中边角关系的应用,若是空间的问题要注意空间图形和平面图形的结合【例 2】 要测量电视塔AB的高度,在C点测得塔顶A 的仰角是 45,在D点测得塔顶A的仰角是 30,并测得水平面上的BCD120,CD40 m,则电视塔的高度为_40_m.5解析 设电视塔AB高为x m,则在 RtABC中,由ACB45,得BCx.在 RtADB中,由ADB30,得BDx.3在BDC中,由余弦定理,得BD2BC2CD22BCCDcos 120,即(x)32x24022x
7、40cos 120,解得x40,所以电视塔高为 40 m.三 角度问题解决角度问题的注意点(1)首先应明确方位角或方向角的含义(2)分析题意,分清已知与所求,再根据题意画出正确的示意图,这是最关键、最重要的一步(3)将实际问题转化为可用数学方法解决的问题后,注意正、余弦定理的“联袂”使用【例 3】 在一次海上联合作战演习中,红方一艘侦察艇发现在北偏东 45方向,相距12 海里的水面上,有蓝方一艘小艇正以每小时 10 海里的速度沿南偏东 75方向前进,红方侦察艇以每小时 14 海里的速度沿北偏东 45方向拦截蓝方的小艇若要在最短的时间内拦截住,求红方侦察艇所需的时间和角的正弦值解析 如图,设红方
8、侦察艇经过x小时后在C处追上蓝方的小艇,则AC14x,BC10x,ABC120.根据余弦定理得(14x)2122(10x)2240xcos 120,6解得x2.故AC28,BC20.根据正弦定理得,BC sin AC sin 120解得 sin .20sin 120 285 314所以红方侦察艇所需要的时间为 2 小时,角的正弦值为.5 3141(2018河南南阳八校联考)2017 年国庆节期间,某数学教师进行了一次“说走就走”的登山活动,从山脚A处出发,沿一个坡角为 45的斜坡直行,走了 100 m 后,到2达山顶B处,C是与B在同一铅垂线上的山底,从B处测得另一山顶M点的仰角为 60,与山
9、顶M在同一铅垂线上的山底N点的俯角为 30,两山BC,MN的底部与A在同一水平面,则山高MN( D D )A200 m B250 mC300 m D400 m解析 如图由题可知,AB100,A45,M30,MBN90,2MNB60,所以BC100,BN200,MN400.故选 D2如图,位于A处的信息中心获悉:在其正东方向相距 40 海里的B处有一艘渔船遇险,在原地等待营救信息中心立即把消息告知在其南偏西 30,相距 20 海里的C处的乙船,现乙船朝北偏东的方向即沿直线CB前往B处救援,则 cos ( B B )A B 2172114C D3 21142128解析 如题图所示,在ABC中,AB
10、40 海里,AC20 海里,BAC120,由余弦7定理,得BC2AB2AC22ABACcos 1202 800,故BC20 海里7由正弦定理,得 sinACBsinBAC,由BAC120,知ACB为锐角,AB BC217故 cosACB.2 77故 cos cos(ACB30)cosACBcos 30sinACBsin 30.21143如图,两座相距 60 m 的建筑物AB,CD的高度分别为 20 m,50 m,BD为水平面,则从建筑物AB的顶端A看建筑物CD的张角CAD( B B )A30 B45 C60 D75解析 依题意可得AD20 m,AC30 m,105又CD50 m,所以在ACD中
11、,由余弦定理得 cosCADAC2AD2CD2 2ACAD,30 5220 1025022 30 5 20 106 0006 000 222又 0CAD180,所以CAD45,所以从顶端A看建筑物CD的张角为 45.4如图,为了测量河对岸A,B两点之间的距离,观察者找到一个点C,从点C可以观察到点A,B;找到一个点D,从点D可以观察到点A,C;找到一个点E,从点E可以观察到点B,C;并测量得到:CD2,CE2,D45,ACD105,3ACB48.19,BCE75,E60,则A,B两点之间的距离为_10.(cos 48.19 2 3)解析 依题意知,在ACD中,A30,由正弦定理得AC2,在CD
12、sin 45 sin 3028BCE中,CBE45,由正弦定理得BC3,在ABC中,由余弦定理CEsin 60 sin 452得AB2AC2BC22ACBCcosACB10,AB,即A,B两点之间的距离为.1010易错点 在实际问题中对角的认识不充分错因分析:空间想象能力较弱,不会迁移空间角的应用【例 1】 如图,为测量山高MN,选择A和另一座山的山顶C为测量观测点从点A测得点M的仰角MAN60,点C的仰角CAB45以及MAC75;从点C测得MCA60.已知山高BC100 m,则山高MN_m.解析 在 RtABC中,CAB45,BC100 m,所以AC100 m.2在AMC中,MAC75,MC
13、A60,从而AMC45,由正弦定理得,AC sin 45AM sin 60因此AM100 m.3在 RtMNA中,AM100 m,MAN60,3由sin 60,得MN100150(m)MN AM332答案 150【跟踪训练 1】 如图,一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶,到A处时测得公路北侧一山顶D在西偏北 30的方向上,行驶 600 m 后到达B处,测得此山顶在西偏北75的方向上,仰角为 30,则此山的高度CD_100_m.6解析 依题意有AB600,CAB30,CBA18075105,DBC30,9DCCBACB45,在ABC中,由,得,AB sinACBCB sinCAB600 sin
14、 45CB sin 30所以CB300,在 RtBCD中,CDCBtan 30100,则此山的高度CD10026m.6课时达标课时达标 第第 2222 讲讲解密考纲本考点考查利用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题,三种形式均可能出现,一般排在选择题、填空题的中间或最后位置或解答题靠前的位置,题目难度中等一、选择题1一艘海轮从A处出发,以每小时 40 海里的速度沿南偏东 40方向直线航行,30 分钟后到达B处在C处有一座灯塔,海轮在A处观察灯塔,其方向是南偏东 70,在B处观察灯塔,其方向是北偏东 65,那么B,C两点间的距离是( A A )A10 海里 B10 海里23C20 海里 D20 海里32解析 如图所示,易知,在ABC中,AB20 海里,CAB30,ACB45,根据正弦定理得,解得BC10海里故选 ABC sin 30AB sin 4522要测量底部不能到达的东方明珠电视塔的高度,在黄浦江西岸选择甲、乙两观测点,在甲、乙两点分别测得塔顶的仰角分别为 45,30,在水平面上测得电视塔与甲地连线及甲、乙两地连线所成的角为