《全国通用版2019版高考数学大一轮复习第六章不等式推理与证明第36讲直接证明与间接证明优选学案》由会员分享，可在线阅读，更多相关《全国通用版2019版高考数学大一轮复习第六章不等式推理与证明第36讲直接证明与间接证明优选学案（10页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、1第第 3636 讲讲 直接证明与间接直接证明与间接证明证明考纲要求考情分析命题趋势2017全国卷，92017北京卷，142016江苏卷，202016浙江卷，201.了解直接证明的两种基本方法分析法和综合法；了解分析法和综合法的思考过程和特点2了解间接证明的一种基本方法反证法；了解反证法的思考过程和特点.分值：710 分直接证明与间接证明一般考查以不等式、数列、解析几何、立体几何、函数、三角函数为背景的证明问题.1直接证明(1)综合法定义：利用已知条件和某些数学定义、定理、公理等，经过一系列的！_推理论证_#，最后推导出所要证明的结论！_成立_#，这种证明方法叫做综合法框图表示：(其中P表示已
2、知条件、已有PQ1Q1Q2Q2Q3QnQ的定义、定理、公理等，Q表示所要证明的结论)(2)分析法定义：从要证明的！_结论_#出发，逐步寻求使它成立的！_充2分条件_#，直至最后把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件(已知条件、定理、定义、公理等)为止，这种证明方法叫做分析法框图表示：.QP1P1P2P2P3得到一个明显成立的条件2间接证明反证法：假设原命题！_不成立_#(即在原命题的条件下，结论不成立)，经过正确的推理，最后得出！_矛盾_#，因此说明假设错误，从而证明了原命题成立，这样的证明方法叫做反证法1思维辨析(在括号内打“”或“”)(1)综合法的思维过程是由因导果，逐步寻找已知的必要
3、条件( )(2)分析法是从要证明的结论出发，逐步寻找使结论成立的充要条件( )(3)用反证法证明时，推出的矛盾不能与假设矛盾( )(4)在解决问题时，常常用分析法寻找解题的思路与方法，再用综合法展现解决问题的过程( )解析 (1)正确(2)错误分析法是从要证明的结论出发，逐步寻找使结论成立的充分条件，不是充要条件(3)错误用反证法证明时，推出的矛盾可以与已知、公理、定理、事实或者假设等相矛盾(4)正确2用分析法证明：欲使AB，只需CD，这里是的( B B )A充分条件 B必要条件C充要条件 D既不充分也不必要条件解析 由题意可知，应有，故是的必要条件3用反证法证明命题“三角形三个内角至少有一个
4、不大于 60”时，应假设( B B )A三个内角都不大于 60B三个内角都大于 60C三个内角至多有一个大于 60D三个内角至多有两个大于 60解析 “至少有一个不大于 60”的反面是“都大于 60” 4在ABC中，三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且A，B，C成等差数列，a，b，c成等比数列，则ABC的形状为！_等边三角形_#.解析 由题意 2BAC，又ABC，B. 33又b2ac，由余弦定理得b2a2c22accos Ba2c2ac，a2c22ac0，即(ac)20，ac，AC，ABC，ABC为等边三角形 35下列条件：ab0；ab0；a0，b0；a0，b0 且 0，即a，b不为
5、0 且同号即可，故符合的条件有b aa bb aa b，共 3 个一 分析法分析法的证明思路：先从结论入手，由此逐步推出保证此结论成立的充分条件，而当这些判断恰恰都是已证的命题(定义、公理、定理、法则、公式等)或要证命题的已知条件时命题得证【例 1】 已知a0，求证：a 2.a21 a221 a证明 欲证a 2，a21 a221 a只需证2a ，a21 a21 a2a0，故只需证22，(a21 a22)(a1 a 2)即a244a2222，1 a2a21 a21 a22(a1 a)从而只需证 2，a21 a22(a1 a)只需证 42，即a22，(a21 a2)(a221 a2)1 a2而上述
6、不等式显然成立，故原不等式成立二 综合法综合法是一种由因导果的证明方法，即由已知条件出发，推导出所要证明的等式或不4等式成立因此，综合法又叫做顺推证法或由因导果法，其逻辑依据是三段论式的演绎推理方法，这就要保证前提正确，推理合乎规律，才能保证结论的正确性【例 2】 (1)设a，b，c，d均为正数，且abcd，若abcd，证明：；abcd|ab|cd，得()2()2，所以.abcdabcd因为(ab)2(ab)24ab，(cd)2(cd)24cd，由题意可知abcd，abcd，所以(ab)24ab0，a1b1a2b2(a1b2a2b1)(b1b2)(a1a2)0，a1b1a2b2 a1b1a2b
7、21 2a1a2b1b22 a1b1a2b2(a1b2a2b1) 1 2 (b1b2)(a1a2)0，1 2则a1b1a2b2的值最大故选 A3设a，b，c均为正数，且abc1，证明：(1)abbcac ；(2)1.1 3a2 bb2 cc2 a证明 (1)由a2b22ab，b2c22bc，c2a22ac，得a2b2c2abbcca.由题设得(abc)21，即 1a2b2c22ab2bc2caabbcca2ab2bc2ca，所以 3(abbcca)1，即abbcca .1 3(2)因为b2a，c2b，a2c，a2 bb2 cc2 a故(abc)2(abc)，a2 bb2 cc2 a6即abc.
8、所以1.a2 bb2 cc2 aa2 bb2 cc2 a4已知a0，证明：关于x的方程axb有且只有一个根证明 由于a0，因此方程至少有一个根x .b a假设x1，x2是它的两个不同的根，即ax1b，ax2b，由，得a(x1x2)0，因为x1x2，所以x1x20，所以a0，这与已知矛盾，故假设不成立所以当a0 时，方程axb有且只有一个根易错点 不熟悉反证法错因分析：有些结论，直接证明不易入手时，忽略使用反证法【例 1】 设x，y，z都是正实数，ax ，by ，cz ，则a，b，c三个数( )1 y1 z1 xA至少有一个不大于 2 B都小于 2C至少有一个不小于 2 D都大于 2解析 若a，
9、b，c都小于 2，则abc6，而abcx y z 6，1 x1 y1 z显然与矛盾，所以 C 项正确答案 C【跟踪训练 1】 设a0，b0，且a2b2.证明：a2a0，b0，所以ab1.因为a2b22ab2(当且仅当ab1 时等号成立)，ab22(当且仅当ab1 时等号成立)，ab所以a2ab2b2ab24(当且仅当ab1 时等号成立)，这与假设矛盾，ab故假设错误所以a2abc，且abc0，求证0Bac0C(ab)(ac)0D(ab)(ac)Q BPQCPbBab0 且abCab0 且ab 或 abb0，且 ab1，若 0q Bp0，则三个数 ， ， ( C C )y xy zz xz yx
10、 zx yA都大于 2B至少有一个大于 2C至少有一个不小于 2D至少有一个不大于 2 解析 因为x0，y0，z0，所以6，当且仅当xyz时等号成立，则三(y xy z) (z xz y) (x zx y) (y xx y) (y zz y) (x zz x)个数中至少有一个不小于 2.故选 C二、填空题7设a2，b2，则a，b的大小关系为！_ab_#.327解析 a2，b2两式的两边分别平方，可得327a2114，b2114，显然.ab.67678用反证法证明命题“若实数a，b，c，d满足abcd1，acbd1，则a，b，c，d中至少有一个是非负数”时，第一步要假设结论的否定成立，那么结论的
11、否定是！_a，b，c，d全是负数_#.解析 “至少有一个”的否定是“一个也没有” ，故结论的否定是“a，b，c，d中没9有一个是非负数，即a，b，c，d全是负数” 9设a，b是两个实数，给出下列条件：ab1；ab2；ab2；a2 b22；ab1.其中能推出“a，b中至少有一个大于 1”的条件是！_#(填序号)解析 若a ，b ，则ab1，1 22 3但a1，b1，故推不出；若ab1，则ab2，故推不出；若a2，b3，则a2b22，故推不出；若a2，b3，则ab1，故推不出；对于，即ab2，则a，b中至少有一个大于 1，反证法：假设a1 且b1，则ab2 与ab2 矛盾，因此假设不成立，故a，b
12、中至少有一个大于 1，故能推出三、解答题10若 abcd0 且 adbc, 求证：.dabc证明 要证，dabc只需证()2()2，dabc即证ad2bc2，adbc因为adbc，所以只需证，即证adbc，adbc设adbct，则adbc(td)d(tc)c(cd)(cdt)0，故adbc成立，从而成立dabc11如图，AB，CD均为圆O的直径，CE圆O所在的平面，BFCE，求证：(1)平面BCEF平面ACE；(2)直线DF平面ACE.证明 (1)因为CE圆O所在的平面，BC圆O所在的平面，所以CEBC.因为AB为圆O的直径，点C在圆O上，所以ACBC.10因为ACCEC，AC，CE平面ACE
13、，所以BC平面ACE.因为BC平面BCEF，所以平面BCEF平面ACE.(2)由(1)知ACBC，又因为CD为圆O的直径，所以BDBC.因为AC，BC，BD在同一平面内，所以ACBD.因为BD平面ACE，AC平面ACE，所以BD平面ACE.又BFCE，同理可证，BF平面ACE，因为BDBFB，BD，BF平面BDF，所以平面BDF平面ACE.因为DF平面BDF，所以DF平面ACE.12设an是公比为q的等比数列(1)推导an的前n项和公式；(2)设q1，证明数列an1不是等比数列解析 (1)分两种情况讨论当q1 时，数列an是首项为a1的常数列，所以Sna1a1a1a1na1.当q1 时，Sna1a2an1anqSnqa1qa2qan1qan.将上面两式相减得(1q)Sna1(a2qa1)(a3qa2)(anqan1)qana1qanSn.a1qan 1qa11qn1q综上，SnError!(2)证明：设an是公比q1 的等比数列，假设数列an1是等比数列，则 (a21)2(a11)(a31)，即(a1q1)2(a11)(a1q21)，整理得a1(q1)20，得a10 或q1 均与题设矛盾，故数列an1不是等比数列
