《全国通用版2019版高考数学大一轮复习第四章平面向量数系的扩充与复数的引入第24讲平面向量基本定理及坐标表示优选学案》由会员分享，可在线阅读，更多相关《全国通用版2019版高考数学大一轮复习第四章平面向量数系的扩充与复数的引入第24讲平面向量基本定理及坐标表示优选学案（11页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、1第第 2424 讲讲 平面向量基本定平面向量基本定理及坐标表示理及坐标表示考纲要求考情分析命题趋势2017全国卷，132017全国卷，132017江苏卷，122016四川卷，91.了解平面向量的基本定理及其意义2掌握平面向量的正交分解及其坐标表示3会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算4理解用坐标表示的平面向量共线的条件. 分值：5 分对平面向量基本定理及坐标表示的考查主要是加、减、数乘及向量共线定理的坐标表示及应用.1两个向量的夹角(1)定义已知两个_非零_向量a a和b b，作a a，b b，则AOB叫做向量a a与b b的夹OAOB角(2)范围2向量夹角的范围是_0，180_，a
2、a与b b同向时，夹角_0_；a a与b b 反向时，夹角_180_.(3)向量垂直若向量a a与b b的夹角是_90_，则a a与b b垂直，记作_a ab b_.2平面向量基本定理及坐标表示(1)平面向量基本定理如果e e1，e e2是同一平面内的两个_不共线_向量，那么对于这一平面内的任意向量a a，_有且只有_一对实数1，2，使a a_1e e12e e2_.其中，不共线的向量e e1，e e2叫做表示这一平面内所有向量的一组_基底_.(2)平面向量的正交分解把一个向量分解为两个_互相垂直_的向量，叫做把向量正交分解(3)平面向量的坐标表示在平面直角坐标系中，分别取与x轴、y轴方向相同
3、的两个单位向量i i，j j作为基底，对于平面内的一个向量a a，有且只有一对实数x，y，使得a axi iyj j，把有序数对_(x，y)_叫做向量a a的坐标，记作a a_(x，y)_，其中_x_叫做a a在x轴上的坐标，_y_叫做a a在y轴上的坐标；设xi iyj j，则向量的坐标(x，y)就是_终点A的坐标_，即若(x，y)，OAOAOA则点A坐标为_(x，y)_，反之亦成立(O为坐标原点)3平面向量的坐标运算向量的加法、减法设a a(x1，y1)，b b(x2，y2)，则a ab b_(x1x2，y1y2)_，a ab b_(x1x2，y1y2)_向量的数乘设a a(x，y)，R
4、R，则a a_(x，y)_向量坐标的求法设O(0,0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，则_(x1，y1)_，OA_(x2x1，y2y1)_AB4向量共线的坐标表示若a a(x1，y1)，b b(x2，y2)，则a ab b_x1y2x2y1_0，特别地，若x2，y20，则a ab b.x1 x2y1 y25三点共线定理若，是平面内不共线的向量，则存在实数1，2使得12，则当OAOBOCOAOB121 时，A，B，C三点共线，特别地，当12 时，C是A与B的中点1 231思维辨析(在括号内打“”或“”)(1)平面向量不论经过怎样的平移变换之后其坐标不变( )(2)平面内任意两个不共线的向量
5、均可作为一组基底( )(3)向量与的夹角为ABC( )ABBC(4)在同一组基底下同一向量的表现形式是唯一的( )解析 (1)正确由向量的坐标表示可知向量不论怎样平移，其坐标均为终点坐标减去起点坐标，故平移后坐标不变(2)正确由基底的定义可知，只要两向量不共线均可作为一组基底(3)错误两向量的夹角，关键要看起点与方向，与的夹角应为ABC的补角ABBC(4)正确由平面向量基本定理可知存在唯一实数对，使a ae e1e e2，故其表现形式唯一2若向量(1,2)，(3,4)，则( A A )ABBCACA(4,6) B(4，6)C(2，2) D(2,2)解析 ，(1,2)(3,4)(4,6)ACAB
6、BCAC3已知两点A(4,1)，B(7，3)，则与同向的单位向量是( A A )ABA B(3 5，4 5)(3 5，4 5)C D(4 5，3 5)(4 5，3 5)解析 A(4,1)，B(7，3)，(3，4)，AB与同向的单位向量为.ABAB|AB|(3 5，4 5)4(2017山东卷)已知向量a a(2,6)，b b(1，)若a ab b，则_3_.解析 a ab b，162，3.5梯形ABCD中，ABCD，AB2CD，点M，N分别是CD，AB的中点，设a a，b b.若ABADma anb b，则 _4_.MNn m4解析 a ab ba aa ab b，MNMDDAAN1 41 21
7、 4m ，n1， 4.1 4n m一 平面向量基本定理的应用(1)应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算(2)用平面向量基本定理解决问题的一般思路是先选择一组基底，并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决【例 1】 (1)在平行四边形ABCD中，点E和F分别是边CD和BC的中点若，其中，R R，则_ _.ACAEAF4 3(2)如图所示，在ABC中，点O是BC的中点，过点O的直线分别交直线AB，AC于不同的两点M，N，若m，n，则mn的最大值为_1_.ABAMACAN解析 (1)选择，作为平面向量的一组基底，则，AB
8、ADACABADAE1 2ABADAF，AB1 2AD又，ACAEAF(1 2)AB(1 2)AD于是得Error!即Error!故 .4 3(2)点O是BC的中点， ()又m，n，.又AO1 2ABACABAMACANAOm 2AMn 2ANM，O，N三点共线， 1，即mn2，mn21，m 2n 2(m 2n 2)当且仅当mn1 时取等号，故mn的最大值为 1.5二 平面向量的坐标运算向量的坐标运算主要是利用加、减、数乘运算法则进行，若已知有向线段两端点的坐标，则应先求向量的坐标解题过程中要注意方程思想的运用及正确使用运算法则【例 2】 (2017江苏卷)如图，在同一个平面内，向量O，O，O
9、的模分别为ABC1,1， ，O与O的夹角为，且 tan 7，O与O的夹角为 45.若Om 2ACBCCOn O(m，nR R)，则mn_3_.AB解析 以O为坐标原点，OA所在直线为x轴建立平面直角坐标系，则A(1,0)，由 tan 7，得 sin ，cos ，设C(xC，yC)，B(xB，yB)，则xC|(0， 2)75 215 2|cos ，yC|sin ，即C.又 cos(45)OC215 21 5OC275 27 5(1 5，7 5) ，sin(45) ，则15 21275 2123 575 21215 2124 5xB|cos(45) ，yB|sin(45) ，即B，由mnOB3 5
10、OB4 5(3 5，4 5)OCOA，可得Error!解得Error!所以mn 3.OB5 47 4三 平面向量共线的坐标表示(1)利用两向量共线求参数如果已知两向量共线，求某些参数的取值时，则利用“若a a(x1，y1)，b b(x2，y2)，则a ab b的充要条件是x1y2x2y1”解题比较方便(2)利用两向量共线的条件求向量坐标一般地，在求与一 个已知向量a a共线的向量时，可设所求向量为a a(R R)，然后结合其他条件列出关于的方程，求出的值后代入a a即可得到所求的向量【例 3】 (1)已知点A(0,1)，B(3,2)，C(2，k)，且A，B，C三点共线，则向量( ACA A )
11、A B(2，2 3)(2，5 3)C D(2 3，2)(5 3，2)6(2)已知向量m m(1,7)与向量n n(k，k18)平行，则k的值为( B B )A6 B3C4 D6解析 (1)A(3,1)，A(2，k1)，因为A，B，C三点共线，所以可设BCAA，即(3,1)(2，k1)，所以 23，即 ，所以AA.BC3 2C1 B(2，2 3)(2)因为m mn n，所以 7kk18，解得k3.故选 B1(2018全国名校大联考)设平面向量a a(1,2)，b b(2，y)，若a ab b，则|2a ab b|( B B )A3 B455C4 D5解析 由题意得 1y220，解得y4，则 2a
12、 ab b(4,8)，所以|2a ab b|4.故选 B428252已知向量a a(3，2)，b b(x，y1)，且a ab b，若x，y均为正数，则 的最3 x2 y小值是( B B )A24 B8 C D8 35 3解析 a ab b，2x3(y1)0，即 2x3y3， (2x3y)8，当且仅当3 x2 y(3 x2 y)1 31 3(69y x4xy6)1 3(1229y x4xy)2x3y 时，等号成立3 2 的最小值是 8.故选 B3 x2 y3如图，在直角梯形ABCD中，AB2AD2DC，E为BC边上一点，3，F为AEBCEC的中点，则( C C )BFA B2 3AB1 3AD1
13、 3AB2 3ADC D2 3AB1 3AD1 3AB2 3AD7解析 BFBAAFBA1 2AEAB1 2(AD12ABCE)AB1 2(AD12AB13CB) ().AB1 2AD1 4AB1 6CDDAAB2 3AB1 3AD4已知向量a a(1,1)，点A(3,0)，点B为直线y2x上的一个动点若a a，则点ABB的坐标为_(3，6)_.解析 设B(x,2x)，(x3,2x)ABa a，x32x0，解得x3，B(3，6)AB易错点 不会正确选用基向量错因分析：在选用基向量时不知道基向量通常取整个图形中从同一点出发的两边所对应的向量【例 1】 在ABO中，AD与BC相交于M，设a a，b b，试用OC1 4OAOD1 2OBOAOBa a与b b表示.OM解析 如图，A，M，D三点共线(1)；OMOAODOA1 2OBB，M，C三点共线(1) .OMOBOCOB1 4OA于是有Error!解得Error!所以a ab b.OM1 73 7【跟踪训练 1】 在ABC中，点M，N满足2，.若xy，则AMMCBNNCMNABACx_ _，y_ _.1 21 6解析 由2，知M为AC上靠近C的三等分点，由，知N为BC的中点，作AMMCBNNC出草图如图所示，8则有 ()，所以 ()，又AN1 2ABACMNANAM1 2ABAC2 3A
