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1、15.25.2 平面向量基本定理及坐标表示平面向量基本定理及坐标表示最新考纲考情考向分析1.了解平面向量基本定理及其意义2.掌握平面向量的正交分解及其坐标表示3.会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算4.理解用坐标表示的平面向量共线的条件.主要考查平面向量基本定理、向量加法、减法、数乘向量的坐标运算及平面向量共线的坐标表示，考查向量线性运算的综合应用，考查学生的运算推理能力、数形结合能力，常与三角函数综合交汇考查，突出向量的工具性一般以选择题、填空题形式考查，偶尔有与三角函数综合在一起考查的解答题，属于中档题.1平面向量基本定理如果e e1，e e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这
2、一平面内的任一向量a a，存在唯一一对实数1，2，使a a1e e12e e2.其中，不共线的向量e e1，e e2叫作表示这一平面内所有向量的一组基底2平面向量的坐标运算(1)向量加法、减法、数乘及向量的模设a a(x1，y1)，b b(x2，y2)，则a ab b(x1x2，y1y2)，a ab b(x1x2，y1y2)，a a(x1，y1)，|a a|.x2 1y2 1(2)向量坐标的求法若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则(x2x1，y2y1)，|.ABABx2x12y2y123平面向量共线的坐标表示设a a(x1，y1)，b b(x
3、2，y2)，其中b b0 0.a a，b b共线x1y2x2y10.知识拓展1若a a与b b不共线，a ab b0 0，则0.22设a a(x1，y1)，b b(x2，y2)，如果x20，y20，则a ab b.x1 x2y1 y2题组一 思考辨析1判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)平面内的任何两个向量都可以作为一组基底( )(2)若a a，b b不共线，且1a a1b b2a a2b b，则12，12.( )(3)平面向量的基底不唯一，只要基底确定后，平面内的任何一个向量都可用这组基底唯一表示( )(4)若a a(x1，y1)，b b(x2，y2)，则a ab b的充要条
4、件可表示成.( )x1 x2y1 y2(5)当向量的起点在坐标原点时，向量的坐标就是向量终点的坐标( )(6)平面向量不论经过怎样的平移变换之后其坐标不变( )题组二 教材改编2已知ABCD的顶点A(1，2)，B(3，1)，C(5,6)，则顶点D的坐标为_答案 (1,5)解析 设D(x，y)，则由，得(4,1)(5x,6y)，ABDC即Error!解得Error!3已知向量a a(2,3)，b b(1,2)，若ma anb b与a a2b b共线，则 _.m n答案 1 2解析 由向量a a(2,3)，b b(1,2)，得ma anb b(2mn,3m2n)，a a2b b(4，1)由ma a
5、nb b与a a2b b共线，得，所以 .2mn 43m2n 1m n1 2题组三 易错自纠4设e e1，e e2是平面内一组基底，若1e e12e e20 0，则12_.答案 05已知点A(0,1)，B(3,2)，向量(4，3)，则向量_.ACBC答案 (7，4)解析 根据题意得(3,1)，AB3(4，3)(3,1)(7，4)BCACAB6(2016全国)已知向量a a(m,4)，b b(3，2)，且a ab b，则m_.答案 6解析 因为a ab b，所以(2)m430，解得m6.题型一题型一 平面向量基本定理的应用平面向量基本定理的应用1在下列向量组中，可以把向量a a(3,2)表示出来
6、的是( )Ae e1(0,0)，e e2(1,2)Be e1(1,2)，e e2(5，2)Ce e1(3,5)，e e2(6,10)De e1(2，3)，e e2(2,3)答案 B解析 方法一 设a ak1e e1k2e e2，A 选项，(3,2)(k2,2k2)，Error!无解；B 选项，(3,2)(k15k2,2k12k2)，Error!解得Error!故 B 中的e e1，e e2可以把a a表示出来；同理，C，D 选项同 A 选项，无解方法二 只需判断e e1与e e2是否共线即可，不共线的就符合要求2(2017济南模拟)如图，在ABC中，P是BN上的一点，若m，AN1 3NCAPA
7、B2 11AC则实数m的值为_答案 3 11解析 ，4，AN1 3NCACANmm，ADAB2 11ACAB8 11AN4又P，B，N三点共线，m1，即m.8 113 11思维升华 平面向量基本定理应用的实质和一般思路(1)应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算(2)用平面向量基本定理解决问题的一般思路是先选择一组基底，并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决题型二题型二 平面向量的坐标运算平面向量的坐标运算典例 (1)已知a a(5，2)，b b(4，3)，若a a2b b3c c0，则c c等于( )A. B.(
8、1，8 3)(13 3，83)C. D.(13 3，43)(13 3，43)答案 D解析 由已知 3c ca a2b b(5,2)(8，6)(13，4)所以c c.(13 3，43)(2)(2017北京西城区模拟)向量a a，b b，c c在正方形网格中的位置如图所示，若c ca ab b(，R R)，则等于( ) A1 B2 C3 D4答案 D解析 以向量a a和b b的交点为原点建立如图所示的平面直角坐标系(设每个小正方形边长为1)，则A(1，1)，B(6,2)，C(5，1)，a a(1,1)，b b(6,2)，c c(1，3)AOOBBCc ca ab b，5(1，3)(1,1)(6,2
9、)，即Error!解得2， ，4.1 2 引申探究 在本例(2)中，试用a a，c c表示b b.解 建立本例(2)解答中的平面直角坐标系，则a a(1,1)，b b(6,2)，c c(1，3)，设b bxa ayc c，则(6,2)x(1,1)y(1，3)即Error!解得Error!故b b4a a2c c.思维升华 向量的坐标运算主要是利用加、减、数乘运算法则进行计算若已知有向线段两端点的坐标，则应先求出向量的坐标，解题过程中要注意方程思想的运用及正确使用运算法则跟踪训练 (1)已知四边形ABCD的三个顶点A(0,2)，B(1，2)，C(3，1)，且2，BCAD则顶点D的坐标为( )A.
10、 B.(2，7 2)(2，1 2)C(3,2) D(1,3)答案 A解析 设D(x，y)，(x，y2)，(4,3)，ADBC又2，Error!Error!故选 A.BCAD(2)已知平面向量a a(1,1)，b b(1，1)，则向量a ab b等于( )1 23 2A(2，1) B(2,1)C(1,0) D(1,2)答案 D解析 a a，b b，1 2(1 2，1 2)3 2(3 2，3 2)故a ab b(1,2)1 23 26题型三题型三 向量共线的坐标表示向量共线的坐标表示命题点 1 利用向量共线求向量或点的坐标典例 已知点A(4,0)，B(4,4)，C(2,6)，则AC与OB的交点P的
11、坐标为_答案 (3,3)解析 方法一 由O，P，B三点共线，可设(4，4)，则OPOBAPOPOA(44,4)又(2,6)，ACOCOA由与共线，得(44)64(2)0，APAC解得 ，3 4所以(3,3)，OP3 4OB所以点P的坐标为(3,3)方法二 设点P(x，y)，则(x，y)，因为(4,4)，且与共线，所以 ，即OPOBOPOBx 4y 4xy.又(x4，y)，(2,6)，且与共线，APACAPAC所以(x4)6y(2)0，解得xy3，所以点P的坐标为(3,3)命题点 2 利用向量共线求参数典例 (2017郑州模拟)已知向量a a(1sin ，1)，b b，若a ab b，则(1 2
12、，1sin )锐角_.答案 45解析 由a ab b，得(1sin )(1sin ) ，1 2cos2 ，cos 或 cos ，1 22222又为锐角，45.思维升华 平面向量共线的坐标表示问题的常见类型及解题策略(1)利用两向量共线求参数如果已知两向量共线，求某些参数的取值时，利用“若a a(x1，y1)，b b(x2，y2)，则a ab b的充要条件是x1y2x2y1”解题比较方便7(2)利用两向量共线的条件求向量坐标一般地，在求与一个已知向量a a共线的向量时，可设所求向量为a a(R R)，然后结合其他条件列出关于的方程，求出的值后代入a a即可得到所求的向量跟踪训练 (1)(2017
13、北京海淀区模拟)已知向量a a(1,1)，点A(3，0)，点B为直线y2x上的一个动点若a a，则点B的坐标为_AB答案 (3，6)解析 设B(x,2x)，则(x3,2x)ABa a，x32x0，解得x3，ABB(3，6)(2)若三点A(1，5)，B(a，2)，C(2，1)共线，则实数a的值为_答案 5 4解析 (a1,3)，(3,4)，ABAC根据题意，ABAC4(a1)3(3)0，即 4a5，a .5 4解析法(坐标法)在向量中的应用典例 (12 分)给定两个长度为 1 的平面向量和，它们的夹角为.如图所示，点C在OAOB2 3以O为圆心的AAB上运动若xy，其中x，yR R，求xy的最大
14、值OCOAOB思想方法指导 建立平面直角坐标系，将向量坐标化，将向量问题转化为函数问题更加凸显向量的代数特征规范解答解 以O为坐标原点，所在的直线为x轴建立平面直角坐标系，如图所示，OA8则A(1,0)，B.4 分(1 2，32)设AOC，则C(cos ，sin )，(0，2 3)由xy，得Error!OCOAOB所以xcos sin ，ysin ，8 分332 33所以xycos sin 2sin，10 分3( 6)又，0，2 3所以当时，xy取得最大值 2.12 分 31如果e e1，e e2是平面内一组不共线的向量，那么下列四组向量中，不能作为平面内所有向量的一组基底的是( )Ae e1与e e1e e2 Be e12e e2与e e12e e2Ce e1e e2与e e1e e2 De e12e e2与e e12e
