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1、12.12.1 函数及其表示函数及其表示最新考纲考情考向分析1.了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域和值域，了解映射的概念2.在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函数3.了解简单的分段函数，并能简单应用(函数分段不超过三段).以基本初等函数为载体，考查函数的表示法、定义域；分段函数以及函数与其他知识的综合是高考热点，题型既有选择、填空题，又有解答题，中等偏上难度.1函数与映射函数映射两个集合A，B设A，B是两个非空数集设A，B是两个非空集合对应关系f：AB如果按照某个对应关系f，使对于集合A中的任何一个数x，在集合B中都存在唯一确定的数f(x)和
2、它对应如果按某一个确定的对应关系f，使对于集合A中的每一个元素x，在集合B中都有唯一的元素y与之对应名称称f：AB为从集合A到集合B的一个函数称f：AB为从集合A到集合B的一个映射函数记法函数yf(x)，xA映射：f：AB22.函数的有关概念(1)函数的定义域、值域在函数yf(x)，xA中，x叫作自变量，x的取值范围A叫作函数的定义域；与x的值相对应的y值叫作函数值，函数值的集合f(x)|xA叫作函数的值域(2)函数的三要素：定义域、对应关系和值域(3)函数的表示法表示函数的常用方法有解析法、图像法和列表法3分段函数若函数在其定义域的不同子集上，因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示，这种
3、函数称为分段函数分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，其值域等于各段函数的值域的并集，分段函数虽由几个部分组成，但它表示的是一个函数知识拓展简单函数定义域的类型(1)f(x)为分式型函数时，定义域为使分母不为零的实数集合；(2)f(x)为偶次根式型函数时，定义域为使被开方式非负的实数的集合；(3)f(x)为对数式时，函数的定义域是真数为正数、底数为正且不为 1 的实数集合；(4)若f(x)x0，则定义域为x|x0；(5)指数函数的底数大于 0 且不等于 1；(6)正切函数ytan x的定义域为Error!.题组一 思考辨析1判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)对于函数f：
4、AB，其值域就是集合B.( )(2)若两个函数的定义域与值域相同，则这两个函数相等( )(3)函数f(x)的图像与直线x1 最多有一个交点( )(4)若AR R，Bx|x0，f：xy|x|，其对应是从A到B的映射( )(5)分段函数是由两个或几个函数组成的( )题组二 教材改编2函数f(x)log2(6x)的定义域是_x3答案 3,6)3函数yf(x)的图像如图所示，那么，f(x)的定义域是_；值域是_；其中只有唯一的x值与之对应的y值的范围是_3答案 3,02,3 1,5 1,2)(4,5题组三 易错自纠4(2017湖南湘潭一中、长沙一中等六校联考)已知f(x)Error!若f(a)2，则a
5、的值为( )A2 B1 或 2C1 或 2 D1 或 2答案 B解析 当a0 时，2a22，解得a2；当a0 恒成立，得a0 或Error!解得 0a1，则log2(a1)3，解得a7，则f(6a)f(1)2112 .7 49(2)(2017广东汕头、河北石家庄二中联考)设函数f(x)Error!g(x)为定义在 R R 上的奇函数，且当x0，则x0，由题意，知f(2)2，f(g(a)2 即为f(g(a)f(2)又f(x)Error!g(a)2，Error!或Error!或a0，a1 或 0a21.故选 A.2思维升华 (1)分段函数的求值问题的解题思路求函数值：当出现f(f(a)的形式时，应
6、从内到外依次求值求自变量的值：先假设所求的值在分段函数定义区间的各段上，然后求出相应自变量的值，切记要代入检验(2)分段函数与方程、不等式问题的求解思路依据不同范围的不同段分类讨论求解，最后将讨论结果并起来跟踪训练 设函数f(x)Error!则使f(x) 的x的集合为_1 2答案 1， 2，22解析 由题意知，若x0，则 2x ，解得x1；若x0，则|log2x| ，解得x1 21 21 22或x1 22.故x的集合为.1， 2，22分类讨论思想在函数中的应用典例 (1)设函数f(x)Error!则满足f(f(a)2f(a)的a的取值范围是( )A. B0,12 3，110C. D1, )2
7、3，)(2)(2017全国)设函数f(x)Error!则满足f(x)f1 的x的取值范围是(x1 2)_思想方法指导 (1)求分段函数的函数值，首先要确定自变量的范围，通过分类讨论求解；(2)当给出函数值或函数值的取值范围求自变量的值或自变量的取值范围时，应根据每一段解析式分别求解，但要注意检验所求自变量的值或取值范围是否符合相应段的自变量的值或取值范围解析 (1)令f(a)t，则f(t)2t，当t0，g(t)0，由f(x)的图像可知，当x(2,8时，f(x)0.11设函数f(x)Error!则使得f(x)2 成立的x的取值范围是_答案 (，8解析 当x1 时，由 ex12，得x1ln 2，x
8、1；当x1 时，由1 3x2，得x8，1x8.综上，符合题意的x的取值范围是x8.12已知函数f(x)Error!则f(f(3)_，f(x)的最小值是_答案 0 232解析 f(3)lg(3)21lg 101，f(f(3)f(1)0，当x1 时，f(x)x 323，当且仅当x时取等号，此时f(x)2 x22min230；214当x1 时，f(x)lg(x21)lg 10，当且仅当x0 时，取等号，此时f(x)min0.f(x)的最小值为 23.213设函数f(x)Error!若f(f(a)3，则实数a的取值范围是( )A(， B，)33C， D(，333答案 D解析 令f(a)t，则f(t)3
9、 等价于Error!或Error!解得t3，则f(a)3 等价于Error!或Error!解得a，则实数a的取值范围是(，故选 D.3314已知函数f(x)满足对任意的xR R 都有f f 2 成立，则(1 2x)(1 2x)f f f _.(1 8)(2 8)(7 8)答案 7解析 由f f 2，得f f 2，f f 2，f f 2，(1 2x)(1 2x)(1 8)(7 8)(2 8)(6 8)(3 8)(5 8)又f 21，(4 8)1 2f (4 8)f (4 8)1 2f f f 2317.(1 8)(2 8)(7 8)15已知定义在 R R 上的函数f(x)满足：对于任意的实数x，y，都有f(xy)f(x)y(y2x1)，且f(1)3，则函数f(x)的解析式为_答案 f(x)x2x1解析 令x0，yx，得f(x)f(0)x2x.把x1 代入上式，得f(0)f(1)21，从而有f(x)x2x1.16(2018 届全国名校第一次联考)定义新运算“”：当mn时，mnm；当mn时，mnn2.设函数f(x)(2x)x(4x)，x1,4，则函数f(x)的值域为_答案 2,0(4,60解析 由题意知，f(x)Error!15当x1,2时，f(x)2,0；当x(2,4时，f(x)(4,60，故当x1,4时，f(x)2,0(4,60
