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1、17.47.4 基本不等式及其应用基本不等式及其应用最新考纲考情考向分析1.了解基本不等式的证明过程2.会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题.理解基本不等式成立的条件，会利用基本不等式求最值常与函数、解析几何、不等式相结合考查，加强数形结合、分类讨论、转化与化归等数学思想的应用意识作为求最值的方法，常在函数、解析几何、不等式的解答题中考查，难度中档.1基本不等式：abab 2(1)基本不等式成立的条件：a0，b0.(2)等号成立的条件：当且仅当ab时取等号2几个重要的不等式(1)a2b22ab(a，bR R)(2) 2(a，b同号)b aa b(3)ab2 (a，bR R)(ab 2)(4
2、)2 (a，bR R)a2b2 2(ab 2)以上不等式等号成立的条件均为ab.3算术平均数与几何平均数设a0，b0，则a，b的算术平均数为，几何平均数为，基本不等式可叙述为两个ab 2ab正数的算术平均数不小于它们的几何平均数4利用基本不等式求最值问题已知x0，y0，则2(1)如果积xy是定值p，那么当且仅当xy时，xy有最小值 2.(简记：积定和最小)p(2)如果和xy是定值p，那么当且仅当xy时，xy有最大值.(简记：和定积最大)p2 4知识拓展不等式的恒成立、能成立、恰成立问题(1)恒成立问题：若f(x)在区间D上存在最小值，则不等式f(x)A在区间D上恒成立f(x)minA(xD)；
3、若f(x)在区间D上存在最大值，则不等式f(x)A成立f(x)maxA(xD)；若f(x)在区间D上存在最小值，则在区间D上存在实数x使不等式f(x)A恰在区间D上成立f(x)A的解集为D；不等式f(x)0 且y0”是“ 2”的充要条件( )x yy x(4)若a0，则a3的最小值为 2.( )1 a2a(5)不等式a2b22ab与有相同的成立条件( )ab 2ab(6)两个正数的等差中项不小于它们的等比中项( )题组二 教材改编2设x0，y0，且xy18，则xy的最大值为( )A80 B77 C81 D82答案 C解析 x0，y0，xy 2xy即xy281，(xy 2)3当且仅当xy9 时，
4、(xy)max81.3若把总长为 20 m 的篱笆围成一个矩形场地，则矩形场地的最大面积是_ m2.答案 25解析 设矩形的一边为x m，则另一边为 (202x)(10x)m，1 2yx(10x)225，x10x2当且仅当x10x，即x5 时，ymax25.题组三 易错自纠4 “x0”是“x 2 成立”的( )1 xA充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D既不充分又不必要条件答案 C解析 当x0 时，x 22.1 xx1x因为x， 同号，所以若x 2，则x0， 0，所以“x0”是“x 2 成立”的充要条1 x1 x1 x1 x件，故选 C.5设x0，则函数yx 的最小值为( )2 2x
5、13 2A0 B.1 2C1 D.3 2答案 A解析 yx 22 2x13 2(x1 2)1x12220，当且仅当x ，即x 时等号成立(x1 2)1x121 21x121 2函数的最小值为 0.故选 A.6若正数x，y满足 3xy5xy，则 4x3y的最小值是( )A2 B3 C4 D5答案 D4解析 由 3xy5xy，得 5，3xy xy3 y1 x所以 4x3y(4x3y)1 5(3 y1 x)1 5(493y x12xy) (492)5，1 536当且仅当，即y2x时， “”成立，3y x12x y故 4x3y的最小值为 5.故选 D.题型一题型一 利用基本不等式求最值利用基本不等式求
6、最值命题点 1 通过配凑法利用基本不等式典例 (1)已知 01)的最小值为_x22 x1答案 223解析 yx22 x1x22x12x23x1x122x13x1(x1)222.3 x13当且仅当x1，即x1 时，等号成立3 x135命题点 2 通过常数代换法利用基本不等式典例 (2017河北衡水中学调研)若a0，b0，lg alg blg(ab)，则ab的最小值为( )A8 B6 C4 D2答案 C解析 由 lg alg blg(ab)，得 lg(ab)lg(ab)，即abab，则有 1，所1 a1 b以ab(ab)2 224，当且仅当ab2 时等号成立，所以(1 a1 b)b aa bb a
7、a bab的最小值为 4，故选 C.思维升华 (1)应用基本不等式解题一定要注意应用的前提：“一正” “二定” “三相等” (2)在利用基本不等式求最值时，要根据式子的特征灵活变形，配凑出积、和为常数的形式，然后再利用基本不等式(3)条件最值的求解通常有两种方法：一是消元法；二是将条件灵活变形，利用常数“1”代换的方法构造和或积为常数的式子，然后利用基本不等式求最值跟踪训练 (1)若对任意x1，不等式x1a恒成立，则实数a的取值范围是1 x1_答案 (，1 2解析 因为函数f(x)x 1 在1，)上是增加的，所以函数g(x)x121 x1 x1在0，)上是增加的，所以函数g(x)在1，)上的最
8、小值为g(1) ，因此对任意1 2x1，不等式x1a恒成立，所以ag(x)min ，故实数a的取值范围是1 x11 2.(，1 2(2)(2017武汉模拟)已知正数x，y满足x2yxy0，则x2y的最小值为_答案 8解析 由x2yxy0，得 1，且x0，y0.2 x1 yx2y(x2y) 4448，(2 x1 y)4y xx y当且仅当x2y时等号成立题型二题型二 基本不等式的实际应用基本不等式的实际应用典例 (2017淄博质检)某工厂某种产品的年固定成本为 250 万元，每生产x千件，需另投6入成本为C(x)，当年产量不足 80 千件时，C(x)x210x(万元)当年产量不小于 80 千1
9、3件时，C(x)51x1 450(万元)每件商品售价为 0.05 万元通过市场分析，该10 000 x厂生产的商品能全部售完(1)写出年利润L(x)(万元)关于年产量x(千件)的函数解析式；(2)当年产量为多少千件时，该厂在这一商品的生产中所获利润最大？解 (1)因为每件商品售价为 0.05 万元，则x千件商品销售额为 0.051 000x万元，依题意得当 00)经过圆x2y22y50 的圆心，则 的4 b1 c最小值是( )A9 B8 C4 D2答案 A解析 圆x2y22y50 化成标准方程为x2(y1)26，所以圆心为C(0,1)因为直线axbyc10 经过圆心C，所以a0b1c10，即b
10、c1.因此 (bc) 5.4 b1 c(4 b1 c)4c bb c因为b，c0，所以 24.4c bb c4c bbc当且仅当 时等号成立4c bb c由此可得b2c，且bc1，即当b ，c 时， 取得最小值 9.2 31 34 b1 c(2)设等差数列an的公差是d，其前n项和是Sn(nN N)，若a1d1，则的最小值Sn8 an是_答案 9 28解析 ana1(n1)dn，Sn，n1n2Sn8 ann1n28n1 2(n16 n1) ，1 2(2n16n1)9 2当且仅当n4 时取等号的最小值是 .Sn8 an9 2命题点 2 求参数值或取值范围典例 (1)已知a0，b0，若不等式 恒成
11、立，则m的最大值为( )3 a1 bm a3bA9 B12 C18 D24答案 B解析 由 ，3 a1 bm a3b得m(a3b) 6.(3 a1 b)9b aa b又 626129b aa b9，(当且仅当9b aab，即a3b时等号成立) m12，m的最大值为 12.(2)已知函数f(x)(aR R)，若对于任意的xN N，f(x)3 恒成立，则a的取x2ax11 x1值范围是_答案 8 3，)解析 对任意xN N，f(x)3 恒成立，即3 恒成立，即知a3.x2ax11 x1(x8 x)设g(x)x ，xN N，则g(2)6，g(3).8 x17 3g(2)g(3)，g(x)min，17
12、 33 ，(x8 x)8 39a ，故a的取值范围是.8 38 3，)思维升华 (1)应用基本不等式判断不等式是否成立：对所给不等式(或式子)变形，然后利用基本不等式求解(2)条件不等式的最值问题：通过条件转化成能利用基本不等式的形式求解(3)求参数的值或范围：观察题目特点，利用基本不等式确定相关成立条件，从而得参数的值或范围跟踪训练 (1)已知函数f(x)x 2 的值域为(，04，)，则a的值是( )a xA. B. C1 D21 23 2答案 C解析 由题意可得a0，当x0 时，f(x)x 222，当且仅当x时取等号；a xaa当x0，y0，且 1，则xy的最小值是_1 x2 y(2)函数
13、y12x (x0，y0，1 2 ，1 x2 y2 xy2，xy24，xy2xy2xy的最小值为 4.2(2)2x 2，y12x 12.3 x63 x6函数y12x (x0，y0，xy(xy)(1 x2 y)3 32(当且仅当yx时取等号)，y x2x y22当x1，y2时，(xy)min32.222(2)xb0”是“abb0，可知a2b22ab，充分性成立，由ablg x(x0)(x21 4)Bsin x2(xk，kZ Z)1 sin xCx212|x|(xR R)D.1(xR R)1 x21答案 C解析 当x0 时，x2 2x x，1 41 2所以 lglg x(x0)，当且仅当x 时，等号
14、成立，故选项 A 不正确；(x21 4)1 2运用基本不等式时需保证“一正” “二定” “三相等” ，而当xk，kZ Z 时，sin x的正负不定，故选项 B 不正确；由基本不等式可知，选项 C 正确；当x0 时，有1，故选项 D 不正确1 x213(2018青岛质检)已知a0，b0，ab2，则y 的最小值是( )1 a4 bA. B4 C. D57 29 2答案 C解析 依题意，得 (ab)1 a4 b1 2(1 a4 b) ，1 25(b a4a b)1 2(52b a4a b)9 2当且仅当Error!即a ，b 时取等号，2 34 3即 的最小值是 .1 a4 b9 2134(2017安庆二模)已知a0，b0，ab ，则 的最小值为( )1 a1 b1
