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1、12.32.3 函数的奇偶性与周期函数的奇偶性与周期性性知识梳理1函数的奇偶性(1)定义：一般地，如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(x)f(x)，那么f(x)就叫做偶函数；一般地，如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(x)f(x)，那么f(x)就叫做奇函数(2)奇偶函数的性质奇函数的图象关于坐标原点对称；偶函数的图象关于y轴对称若奇函数在关于坐标原点对称的区间上有单调性，则其单调性相同；若偶函数在关于坐标原点对称的区间上有单调性，则其单调性相反2函数奇偶性的五个重要结论(1)如果一个奇函数f(x)在x0 处有定义，即f(0)有意义，那么一定有f(0)0.(2)如果函
2、数f(x)是偶函数，那么f(x)f(|x|)(3)既是奇函数又是偶函数的函数只有一种类型，即f(x)0，xD，其中定义域D是关于原点对称的非空数集(4)奇函数在两个对称的区间上具有相同的单调性；偶函数在两个对称的区间上具有相反的单调性(5)偶函数在关于原点对称的区间上有相同的最大(小)值，取最值时的自变量互为相反数；奇函数在关于原点对称的区间上的最值互为相反数，取最值时的自变量也互为相反数23对称性的三个常用结论(1)若函数yf(xa)是偶函数，即f(ax)f(ax)，则函数yf(x)的图象关于直线xa对称；(2)若对于 R R 上的任意x都有f(2ax)f(x)或f(x)f(2ax)，则yf
3、(x)的图象关于直线xa对称；(3)若函数yf(xb)是奇函数，即f(xb)f(xb)0，则函数yf(x)关于点(b,0)中心对称4函数的周期性定义：一般地，对于函数f(x)，如果存在一个不为零的实数T，使得当x取定义域内的每一个值时，都有f(xT)f(x)，那么函数f(x)就叫做周期函数，称T为这个函数的周期对于周期函数f(x)，如果在它的所有周期中存在一个最小正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期5函数周期的常见结论设函数yf(x)，xR R，a0.(1)若f(xa)f(xa)，则函数的周期为 2a；(2)若f(xa)f(x)，则函数的周期为 2a；(3)若f(xa)，则函数的周
4、期为 2a；1fx(4)若f(xa)，则函数的周期为 2a；1fx(5)若函数f(x)关于直线xa与xb对称，那么函数f(x)的周期为 2|ba|；(6)若函数f(x)关于点(a,0)对称，又关于点(b,0)对称，则函数f(x)的周期是2|ba|；(7)若函数f(x)关于直线xa对称，又关于点(b,0)对称，则函数f(x)的周期是4|ba|；(8)若函数f(x)是偶函数，其图象关于直线xa对称，则其周期为 2a；(9)若函数f(x)是奇函数，其图象关于直线xa对称，则其周期为 4a.6掌握一些重要类型的奇偶函数(1)函数f(x)axax为偶函数，函数f(x)axax为奇函数；(2)函数f(x)
5、(a0 且a1)为奇函数；axax axaxa2x1 a2x1(3)函数f(x)loga为奇函数；bx bx(4)函数f(x)loga(x)为奇函数x21诊断自测1概念思辨(1)偶函数图象不一定过原点，奇函数的图象一定过原点( )(2)已知函数yf(x)是定义在 R R 上的偶函数，若在(，0)上是减函数，则在(0，)上是增函数( )(3)若函数yf(xa)是偶函数，则函数yf(x)的图象关于直线xa对称( )3(4)若函数yf(xb)是奇函数，则函数yf(x)的图象关于点(b,0)中心对称( )答案 (1) (2) (3) (4)2教材衍化(1)(必修 A1P39A 组 T6)已知函数f(x
6、)是奇函数，且当x0 时，f(x)x2 ，则f(1)1 x( )A2B0C1D2答案 A解析 f(1)f(1)2.故选 A.(121 1)(2)(必修 A1P39B 组 T3)设f(x)为奇函数，且在(，0)内是减函数，f(2)0，则xf(x)0 时，x0，f(x)x22x1f(x)所以f(x)f(x)，即函数f(x)是奇函数(3)解法一：因为Error!2x2 且x0，所以函数的定义域关于原点对称所以f(x)，4x2x334x2x又f(x)，4x2x4x2x所以f(x)f(x)，即函数f(x)是奇函数解法二：求得函数f(x)的定义域为2,0)(0,2化简函数f(x)，可得f(x)，4x2x由
7、y1x是奇函数，y2是偶函数，4x2可得f(x)为奇函数4x2x方法技巧判断函数奇偶性的方法51定义法：利用奇、偶函数的定义或定义的等价形式：1(f(x)0)判断函fxfx数的奇偶性2图象法：利用函数图象的对称性判断函数的奇偶性3验证法：即判断f(x)f(x)是否为 0.4性质法：设f(x)，g(x)的定义域分别是D1，D2，那么在它们的公共定义域上，有下面结论：冲关针对训练 1(2018广东模拟)下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是( )AyByx1x21 xCy2xDyxex1 2x答案 D解析 易知y与y2x是偶函数，yx 是奇函数故选 D.1x21 2x1 x2判断下列各函数的奇
8、偶性：(1)f(x)；lg 1x2|x22|2(2)f(x)Error!解 (1)由Error!得函数的定义域为(1,0)(0,1)，所以f(x).lg 1x2x222lg 1x2x2因为f(x)f(x)，所以f(x)为偶函数lg 1x2x2lg 1x2x2(2)当x0，则f(x)(x)2x(x2x)f(x)；当x0 时，xa，且|x1a|f(x2)Bf(x1)f(x2)Cf(x1)0 右移)可得函数yf(x)的图象，因此函数yf(x)的图象关于直线xa对称，此时函数yf(x)在(a，)上是减函数由于x1a且|x1a|f(x2)故选A.方法技巧1利用函数奇偶性转移函数值的策略将待求的函数值利用
9、f(x)f(x)或f(x)f(x)转化为已知区间上的函数值求解见角度 1 典例2利用函数奇偶性求解析式的策略将待求区间上的自变量转化到已知区间上，再利用奇偶性求出，或充分利用奇偶性构造关于f(x)的方程(组)，从而得到f(x)的解析式见角度 2 典例3利用函数的奇偶性求解析式中参数值的策略利用待定系数法求解，根据f(x)f(x)0 得到含有待求参数的关于x的恒等式，由恒等性得到关于待求参数满足的方程(组)并求解见角度 3 典例4函数性质综合应用问题的常见类型及解题策略(1)函数单调性与奇偶性结合注意函数单调性及奇偶性的定义，以及奇、偶函数图象的对称性见角度 4 典例(2)周期性与奇偶性结合此类
10、问题多考查求值问题，常利用奇偶性及周期性进行变换，将所求函数值的自变量转化到已知解析式的函数定义域内求解见角度 2 典例(3)周期性、奇偶性与单调性结合解决此类问题通常先利用周期性转化自变量所在的区间，然后利用奇偶性和单调性求解冲关针对训练1(2017河南模拟)已知f(x)是定义在 R R 上的奇函数，当x0 时f(x)3xm(m为常数)，则f(log35)的值为( )A4B4C6D6答案 B解析 f(x)是定义在 R R 上的奇函数，且x0 时，f(x)3xm.f(0)0，即m1.f(x)3x1(x0)8f(log35)f(log35)(3log351)(51)4.故选 B.2已知f(x)是
11、定义在 R R 上的奇函数，当x0 时，f(x)x22x，若f(2a2)f(a)，则实数a的取值范围是( )A(，1)(2，)B(1,2)C(2,1) D(，2)(1，)答案 C解析 f(x)是奇函数，当xf(a)，得 2a2a，解得2 时，ff.则f(6)( )1 2(x1 2)(x1 2)A2B1C0D2本题综合奇偶性、周期性求解答案 D解析 当x 时，由ff可得f(x)f(x1)，所以f(6)f(1)，而f(1)1 2(x1 2)(x1 2)f(1)，f(1)(1)312，所以f(6)f(1)2.故选 D.已知定义在 R R 上的函数f(x)，对任意实数x有f(x4)f(x)2，若典例2
12、2函数f(x1)的图象关于直线x1 对称，f(1)2，则f(2017)_.综合用奇偶性、周期性解决答案 2解析 由函数yf(x1)的图象关于直线x1 对称可知，函数f(x)的图象关于y轴对称，故f(x)为偶函数由f(x4)f(x)2，得f(x44)f(x4)2f(x)，所以f(x)是周22期T8 的偶函数，所以f(2017)f(12528)f(1)2.方法技巧函数周期性的判定与应用1判断函数的周期只需证明f(xT)f(x)(T0)便可证明函数是周期函数，且周期9为T，函数的周期性常与函数的其他性质综合命题见典例 1.2根据函数的周期性，可以由函数局部的性质得到函数的整体性质，即周期性与奇偶性都
13、具有将未知区间上的问题转化到已知区间的功能在解决具体问题时，要注意结论：若T是函数的周期，则kT(kZ Z 且k0)也是函数的周期见典例 2.冲关针对训练1定义在 R R 上的函数f(x)满足f(x6)f(x)，当3x0 时f(x)1.(1)求证：函数f(x)在 R R 上为增函数；(2)若f(3)4，解不等式f(a2a5)0，则f(x2x1)1.函数f(x)对于任意m，nR R，都有f(mn)f(m)f(n)1 成立，f(x2)f(x1)f(x2x1)x1f(x1)f(x2x1)f(x1)1f(x1)f(x2x1)10，函数f(x)在 R R 上为增函数(2)f(3)f(12)f(1)f(2
14、)1f(1)f(1)f(1)23f(1)24，f(1)2.f(a2a5)0，则函数f(x)在a，b上( )11A有最小值f(a)B有最大值f(ab 2)C有最小值f(b)D有最大值f(b)答案 C解析 令yx，则由f(xy)f(x)f(y)(x，yR R)得f(0)f(x)f(x)，再令xy0 得f(0)f(0)f(0)得f(0)0，代入式得f(x)f(x)得f(x)是一个奇函数，图象关于原点对称当x0，即f(x)在 R R 上是一个减函数，可得f(x)在a，b上有最小值f(b)故选 C.2(2017池州模拟)已知函数的定义域为 R R，且满足下列三个条件：对任意的x1，x24,8，当x10；fx1fx2x1x2f(x4)f(x)；yf(x4)是偶函数若af(6)，bf(11)，cf(2017)，则a，b，c的大小关系正确的是( )Aa0，则函fx1fx2x1x2数f(x)在区间4,8上为增函数，若f(x4)f(x)，则f(x8)f(x4)f(x)，即函数f(x)的周期为 8，若yf(x4)是偶函数，则函数f(x)的图象关于直线x4 对称，af(6)，b
