《2018版数学《学案导学与随堂笔记》北师大版选修2-2课件：第一章推理与证明推理与证明3》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2018版数学《学案导学与随堂笔记》北师大版选修2-2课件：第一章推理与证明推理与证明3（28页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、3 反证法第一章 推理与证明学习目标1.了解反证法是间接证明的一种基本方法.2.理解反证法的思考过程，会用反证法证明数学问题.题型探究问题导学内容索引当堂训练问题导学思考1 知识点 反证法王戎小时候，爱和小朋友在路上玩耍.一天，他们发现路边的一棵树上结满了李子，小朋友一哄而上，去摘李子，独有王戎没动，等到小朋友们摘了李子一尝，原来是苦的！他们都问王戎：“你怎么知道李子是苦的呢？”王戎说：“假如李子不苦的话，早被路人摘光了，而这树上却结满了李子，所以李子一定是苦的.” 答案答案 运用了反证法思想.本故事中王戎运用了什么论证思想？思考2 反证法解题的实质是什么？答案答案 否定结论，导出矛盾，从而证
2、明原结论正确.(1)定义：我们可以先假定命题结论的反面成立，在这个前提下，若推出的结果与定义、公理、定理相矛盾，或与命题中的已知条件相矛盾，或与假定相矛盾，从而说明命题结论的反面不可能成立，由此断定命题的结论成立.这种证明方法叫作反证法.(2)反证法常见的矛盾类型反证法的关键是在正确的推理下得出矛盾.这个矛盾可以是与 矛盾，或与 矛盾，或与 矛盾等.梳理已知条件假设定义、公理、定理题型探究例1 设an是公比为q的等比数列.设q1，证明：数列an1不是等比数列. 类型一 用反证法证明否定性命题证明 假设an1是等比数列，则对任意的kN，(ak11)2(ak1)(ak21)，证明a10，2qkqk
3、1qk1.q0，q22q10，q1，这与已知矛盾.假设不成立，故an1不是等比数列.(1)用反证法证明否定性命题的适用类型结论中含有“不”“不是”“不可能”“不存在”等词语的命题称为否定性命题，此类问题的正面比较模糊，而反面比较具体，适合使用反证法.(2)用反证法证明数学命题的步骤 反思与感悟证明a，b，c成等比数列，b2ac. ac，从而abc.这与已知a，b，c不成等差数列相矛盾，假设不成立.例2 已知a，b，c(0，2)，求证：(2a)b，(2b)c，(2c)a不能都大于1. 证明证明 假设(2a)b，(2b)c，(2c)a都大于1.a，b，c(0，2)，2a0，2b0，2c0，类型二
4、用反证法证明“至多”“至少”类问题(2a)b，(2b)c，(2c)a不能都大于1.引申探究 已知a，b，c(0，1)，求证：(1a)b，(1b)c，(1c)a不能都大于证明a，b，c都是小于1的正数，1a，1b，1c都是正数.应用反证法常见的“结论词”与“反设词”当命题中出现“至多”“至少”等词语时，直接证明不易入手且讨论较复杂.这时，可用反证法证明，证明时常见的“结论词”与“反设词”如下： 反思与感悟结论词反设词结论词反设词至少有一个一个也没有对所有x都成立存在某个x0不成立至多有一个至少有两个对任意x都不成立存在某个x0成立至少有n个至多有n1个p或qp且q至多有n个至少有n1个p且qp或
5、q证明 假设题设中的函数确定的三条抛物线都不与x轴有两个不同的交点，由y1ax22bxc，y2bx22cxa，y3cx22axb，得1(2b)24ac0，2(2c)24ab0，且3(2a)24bc0.同向不等式求和，得4b24c24a24ac4ab4bc0，所以2a22b22c22ab2bc2ac0，所以(ab)2(bc)2(ac)20，所以abc.这与题设中a，b，c互不相等矛盾，因此假设不成立，从而命题得证.跟踪训练2 已知a，b，c是互不相等的实数，求证：由y1ax22bxc，y2bx22cxa和y3cx22axb确定的三条抛物线至少有一条与x轴有两个不同的交点.证明例3 求证：方程2x
6、3有且只有一个根.证明证明 2x3，xlog23.这说明方程2x3有根.下面用反证法证明方程2x3的根是唯一的.假设方程2x3至少有两个根b1，b2(b1b2)，则 3， 3，两式相除得 1，b1b20，则b1b2，这与b1b2矛盾.假设不成立，从而原命题得证.类型三 用反证法证明唯一性命题用反证法证明唯一性命题的一般思路：证明“有且只有一个”的问题，需要证明两个命题，即存在性和唯一性.当证明结论以“有且只有”“只有一个”“唯一存在”等形式出现的命题时，可先证“存在性”，由于假设“唯一性”结论不成立易导出矛盾，因此可用反证法证其唯一性.反思与感悟跟踪训练3 若函数f(x)在区间a，b上是增函数
7、，求证：方程f(x)0在区间a，b上至多有一个实根.证明证明 假设方程f(x)0在区间a，b上至少有两个实根，设、为其中的两个实根.因为 ，不妨设bC.ab D.ab或ab答案234514.用反证法证明“在同一平面内，若ac，bc，则ab”时，应假设A.a不垂直于c B.a，b都不垂直于cC.ab D.a与b相交答案234515.已知a是整数，a2是偶数，求证：a也是偶数.证明证明 假设a不是偶数，即a是奇数.设a2n1(nZ)，则a24n24n1.4(n2n)是偶数，4n24n1是奇数，这与已知a2是偶数矛盾.由上述矛盾可知，a一定是偶数.规律与方法用反证法证题要把握三点(1)必须先否定结论，对于结论的反面出现的多种可能，要逐一论证，缺少任何一种可能，证明都是不全面的.(2)反证法必须从否定结论进行推理，且必须根据这一条件进行论证，否则，仅否定结论，不从结论的反面出发进行论证，就不是反证法.(3)反证法的关键是在正确的推理下得出矛盾，这个矛盾可以与已知矛盾，或与假设矛盾，或与定义、公理、定理、事实矛盾，但推导出的矛盾必须是明显的.本课结束
