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1、3.1 回归分析的基本思想及其初步应用第三章 统计案例学习目标1.了解随机误差、残差、残差图的概念.2.会通过分析残差判断线性回归模型的拟合效果.3.掌握建立线性回归模型的步骤.题型探究问题导学内容索引当堂训练问题导学请问如何表示推销金额y与工作年限x之间的相关关系？y关于x的线性回归方程是什么？知识点一 线性回归模型思考 某电脑公司有5名产品推销员，其工作年限与年推销金额数据如下表：答案推销员编号12345工作年限x/年35679推销金额y/万元23345答案 画出散点图，由图可知，样本点散布在一条直线附近，因此可用回归直线表示变量之间的相关关系.(1)函数关系是一种 关系，而相关关系是一种
2、 关系.(2)回归分析是对具有 关系的两个变量进行统计分析的一种常用方法.梳理确定性非确定性相关(4)线性回归模型ybxae，其中a和b是模型的未知参数，e称为_，自变量x称为，因变量y称为 .随机误差解释变量预报变量知识点二 线性回归分析思考1 预报变量 与真实值y一样吗？答案 不一定.答案思考2 预报值 与真实值y之间误差大了好还是小了好？答案 越小越好.答案(1)残差平方和法梳理(2)残差图法残差点 落在水平的带状区域中，说明选用的模型比较合适.这样的带状区域的宽度 ，说明模型拟合精度越高，回归方程的预报精度越高.比较均匀地越窄(3)利用相关指数R2刻画回归效果其计算公式为：R21 ,其
3、几何意义： ，表示回归的效果越好.R2越接近于1知识点三 建立回归模型的基本步骤1.确定研究对象，明确哪个变量是解释变量，哪个变量是预报变量.2.画出解释变量和预报变量的散点图，观察它们之间的关系(如是否存在线性关系等).3.由经验确定回归方程的类型(如观察到数据呈线性关系，则选用线性回归方程).4.按一定规则(如最小二乘法)估计回归方程中的参数.5.得出结果后分析残差图是否有异常(如个别数据对应残差过大，残差呈现不随机的规律性等).若存在异常，则检查数据是否有误，或模型是否合适等.题型探究例1 某研究机构对高三学生的记忆力x和判断力y进行统计分析，得下表数据：类型一 求线性回归方程x6810
4、12y2356(1)请画出上表数据的散点图；解答解 如图：解答x681012y2356预测记忆力为9的同学的判断力约为4.解答(1)求线性回归方程的基本步骤列出散点图，从直观上分析数据间是否存在线性相关关系.反思与感悟写出线性回归方程并对实际问题作出估计.(2)需特别注意的是，只有在散点图大致呈线性时，求出的回归方程才有实际意义，否则求出的回归方程毫无意义.跟踪训练1 假设关于某设备的使用年限x(年)和所支出的维修费用y(万元)有如下的统计数据：x23456y2.23.85.56.57.0由此资料可知y对x呈线性相关关系.(1)求线性回归方程；解答解 由上表中的数据可得(2)求使用年限为10年
5、时，该设备的维修费用为多少？即使用年限为10年时，该设备的维修费用为12.38万元.解答例2 为研究质量x(单位：克)对弹簧长度y(单位：厘米)的影响，对不同质量的6个物体进行测量，数据如表所示：类型二 线性回归分析x51015202530y7.258.128.959.9010.911.8(1)作出散点图并求线性回归方程；解答解 散点图如图：由散点图可知x与y呈线性相关，(2)求出R2；解 R20.999 1.(3)进行残差分析.解 由残差表中的数值可以看出第3个样本点的残差比较大，需要确认在采集这个数据的时候是否有人为的错误，如果有的话，需要纠正数据，重新建立回归模型；由表中数据可以看出残差
6、点比较均匀地落在不超过0.15的狭窄的水平带状区域中，说明选用的线性回归模型的精度较高，由以上分析可知，弹簧长度与质量具有线性关系.解答引申探究1.在条件不变的情况下，画出残差图.解 如图所示.解答2.当x35时，估计y的值.解 当x35时，y6.2850.1833512.69.解答(1)该类题属于线性回归问题，解答本题应先通过散点图来分析两变量间的关系是否线性相关，然后再利用求回归方程的公式求解回归方程，并利用残差图或相关指数R2来分析函数模型的拟合效果，在此基础上，借助回归方程对实际问题进行分析.(2)刻画回归效果的三种方法残差图法，残差点比较均匀地落在水平的带状区域内说明选用的模型比较合
7、适.反思与感悟跟踪训练2 关于x与y有如下数据：x24568y3040605070解答(1)的拟合效果好于(2)的拟合效果.类型三 非线性回归分析例3 下表为收集到的一组数据：x21232527293235y711212466115325(1)作出x与y的散点图，并猜测x与y之间的关系；解答解 作出散点图如图，从散点图可以看出x与y不具有线性相关关系，根据已有知识可以发现样本点分布在某一条指数型函数曲线yc1e 的周围，其中c1、c2为待定的参数.(2)建立x与y的关系，预报回归模型并计算残差；解答解 对两边取对数把指数关系变为线性关系，令zln y，则有变换后的样本点应分布在直线zbxa，a
8、ln c1，bc2的周围，这样就可以利用线性回归模型来建立y与x之间的非线性回归方程，数据可以转化为x21232527293235z1.9462.3983.0453.1784.1904.7455.784残差列表如下：(3)利用所得模型，预报x40时y的值.解答非线性回归问题的处理方法(1)指数函数型yebxa函数yebxa的图象：反思与感悟处理方法：两边取对数得ln yln ebxa，即ln ybxa.令zln y，把原始数据(x，y)转化为(x，z)，再根据线性回归模型的方法求出a，b.(2)对数函数型ybln xa函数ybln xa的图象：处理方法：设xln x，原方程可化为ybxa，再根
9、据线性回归模型的方法求出a，b.(3)ybx2a型处理方法：设xx2，原方程可化为ybxa，再根据线性回归模型的方法求出a，b.跟踪训练3 已知某种食品每千克的生产成本y(元)与生产该食品的重量x(千克)有关，经生产统计得到以下数据：x123510y10.155.524.082.852.11x203050100200y1.621.411.301.211.15解答u10.50.330.20.1y10.155.524.082.852.11u0.050.030.020.010.005y1.621.411.301.211.15所以估计生产该食品500千克时每千克的生产成本是1.14元.当堂训练1.设有
10、一个回归方程 21.5x，当变量x增加1个单位时A.y平均增加1.5个单位B.y平均增加2个单位C.y平均减少1.5个单位D.y平均减少2个单位23451答案解析解析 由回归方程中两个变量之间的关系可以得到.2.如图四个散点图中，适合用线性回归模型拟合其中两个变量的是23451A. B. C. D.答案解析解析 由图易知两个图中样本点在一条直线附近，因此适合用线性回归模型.3.某产品在某零售摊位的零售价x(单位：元)与每天的销售量y(单位：个)的统计资料如下表所示：23451x16171819y50344131A.51个 B.50个 C.49个 D.48个答案解析234514.下表是x和y之间
11、的一组数据，则y关于x的回归直线必过23451解析x1234y1357A.点(2,3) B.点(1.5,4)C.点(2.5,4) D.点(2.5,5)答案5.已知x、y之间的一组数据如下表：23451x0123y1357解答(2)已知变量x与y线性相关，求出回归方程.23451解答规律与方法回归分析的步骤：(1)确定研究对象，明确哪个变量是解释变量，哪个变量是预报变量；(2)画出确定好的解释变量和预报变量的散点图，观察它们之间的关系(如是否存在线性关系等)；(3)由经验确定回归方程的类型(如果呈线性关系，则选用线性回归方程(4)按一定规则估计回归方程中的参数；(5)得出结果后分析残差图是否有异常(个别数据对应的残差过大，或残差呈现不随机的规律性等)，若存在异常，则检查数据是否有误或模型是否合适等.本课结束
