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1、1998年9月高等学校 计 算 数学 学报第3期平面热传导方程Do ug la s交替方向 隐格式的稳定性与收敛性程爱杰(山东大学数学系,济南2 50100)IMPROV EME N TOFSTABILI TY AN DCONV E RGE N CEFO RDOUGLA S SC HEMEIN TWOSPA CEV ARIABLESC hengAijie(S handongUniversity)AbstractDouglasalternatingdire etionimplieitsehemewaspresentedin196 2.Thestabilitya ndeonvergen eewe
2、r ea n alys ed forparabolieequ atio nw ithvaried diffusio neoeffieientin1964byNeuman nmethod;theeo nditio nofstabilityinLZno rmwa s山=o(h4);a n otherr es ultwa sthestabilityinanormwhiehwasdepe ndento n山.Bothofthere s ultswer eweak.AnimPortantimproveme ntwillbegive ninthispa-per.Byen ergymethod,thesta
3、bilityinH,15provedw itho utanyeonditio nsbetween配a ndh,andtheeo nverge ne einHln orm15demo nstratedintheresultofo(配2+hZ).Keywo rdsDougla sseheme,variede o effieie nt,stability,e o nvergeneeAMS(1991)subje etelassif云eation s65N10.中图法分类号024 1.8 2.1引言解抛物方程 的交替方向差 分方法产生于本世纪五十年代,由于其稳定性好、易编制计算程序,几十年来在科学与工程
4、计算中得到 了广泛的应 用,最 早的交替方 向差分格式 由P eac e-山东省自然科学基金和山东大学青年基金资助;收稿日期:1996一06一08.2 66程爱杰:平 面热传导方程D ouga s交替方 向隐格式的稳定性与收敛性第3期ma n,r).w.和Ra ehford,H.H.以及Dot,glas,J.Jr.和Ra ehford,H.H.阁给出,Douglas,J.J r.于1 962年提出了后 人称之为Do ug la s格式的一类交替方向隐格式,其特点是有 二阶截断误 差而且适 用于三维情形.下面简要给出其格式.考虑平 面方形区域上热传导方程 会一、(a二。) 一, 、u(x.夕,0
5、)“u。(x,夕),21(犷,夕,t) =0,(x,夕)任月,t任(0,T,(x,夕) 任月,t=O,(x,y)任刃,t任。,T,(1.1)(1.2)(1.3)!l了、11| l、其 中刀一(O,1)x(O,1)以及u。为已知函数._、,一、,、,_.。一_J刁、,盗才刀共迈界,t刀目丁l川父星,丫=交二,不少,J二J又x,y,t),a一a气工,y )U优口二y令二与,方向网格步长均为、,二:一i l l,一;。,N一令为正整数;时间步 长为,。一。,IL记w急一 w( x、,y,犷)以及灸w;,三w;夕一 wf一l,jh占二 v,三w汁1.一w叮h粼试w )。三h一2,+合,(w i+,一w
6、l,)一a i一专.,(wiJ一w、一:,)久一,+交 一Tl,了I,n“,1一,“,了口r十百. j艺w叶l一 w”在不 致混淆时,母:( a氏w)。也写为灸( a乙)wi,类似地定义兔w。,兔w、 ,兔( a句叨),久,j +合记u的差分逼近 为U,Do uglas格式基于如下的可方裂形式“:(“, ,(1一警“、(“,)d矛U;一仁粼a 3 x)十。、( a幼此十君音山一2 一1上(1.4)其 中厂+专一f( l n十幻,专一(,:+粤),或等价地写为乙试U几一 几(“氏)十隽( a凡)U犷+U导2+等、(a、)、(a、)d刀:一二,(1.4由(1.4)可看出、(1.4)实际上是熟知的C
7、rank一N ieholso n格式附加扰动项(指趾2项).引进 中间变量了+专,( 1.4)可分裂为如下交替方向格式(1一誓、(、)叮告一叽一焦( a几) 十隽( a兔)u急十片告,(1一誓“、(“,)(。犷工一 。:)一(二: j +合一。;)(1.5)(1.6)J!,|l e e e sZ、|.tu n+及un +晋在边界节点 上均 取零值;( 1.5)及( 1.6)均是一维差分方 程,假定函数。( x,妇有正下界,众所 周知,其解是存在唯一的.1998年9月高等学校计算数学学报。26 7下面给出上述格式稳定性、收敛性已有的结果.在3中,对常系数即a三1情形,结论是格式按离散尸范数绝对
8、稳定,收敛阶为O(趾,+尸 ),并指出,对一般变系数情形,虽然尚未能证 明其稳定性和 收敛性,但数值计算表明此计算格式是非常有效的.进一步的研究发表于19 6 4年川,在这篇长达二十六页 的总结性论著中,Do L.g la s,JJr.和GunnJ.E.将有关抛物型方程 的各种交替方向格式包括上述所谓Do ug las格式纳入了一个统一公式,给出了多种情形的稳定性、收敛性分析.遗憾 的是,因为仍 因使用了Ne t lma;In分析方 法,对二维非常系数情形所得到的结论仍比较弱,下面给出其主要结论.结论l当 山h一足够小时,( 1.4 )稳定.结论2按新范数 W 三,一誓、(、,W ,六, I*
9、为离散LZ范数.(1.4)是稳定的,且(1,4)按1 、收敛阶为O(山2+hZ).众所周知,( 1.4 )局部截断误差为O(配2十 矿),而结论l给 出的稳定 条件要求山-o (形),对时间步 长限制太过苛刻,因此说结论1较弱.结论2的稳定性依赖范数,而此范数与时间步长 山有关,似乎背离了稳定性的原意,因此结论2也较弱.原作者在文中也指出了这两点.对变系数间题差分格式稳定性、收敛性的研究,正象美 国数学家L ee s,M.5指出的那样,尽管通 过与常系数问题类比,可以预见到稳定性条件及收 敛性,但要想严格证明它 们决 不是轻而 易举的;在19 6 6年美国数家评论闭中,Le eS,M.对4的评
10、述指 出了其结论存在的前述两点不足,同时强调,对变系数问题Do ugla s格式,仍有待进一步研 究;然而据 作者粗浅的了解,尚未发现比仁4更好的结果.对方 程( 1.1 )而言,带变系数的微分算子在某些 重要性质与常系数微分算子有了很大差 异,具(。是)与早(。早)一般不 可交换,除非。三常数;这也正是常系数问题Do ugl a。格式稳,”七一肚即”一即“、”一”一“、一一0一曰定性分 析方法不能推及一般变系数问题 的原因所在,主要困难在于( 1.4 )中差分算子乘积项几(a占二)色( a乙)的处理本文采用的分析方法是能量方法5,更确切地说是 H能量估计方法,结合多重分 部求和技巧,有效地克
11、服了上述困难,得到了格式( 1.4 )按离散H模的稳定性及二阶收敛性O(山2+ 尸),改进了4中结果.2截断误差本节给出关于截断误差的几个引理,结论 是平凡的,证 明均采用Ta ylo r展开,但过于冗繁,故略去.用M(,)表示与某些量有关的正常数,不同处允许取不 同值.记W 产三三SL IP(x夕)任月O簇尔簇泛O+等“:(“二)“、(“,d,d:丫,一 (R,d,丫).(4.1)用二替代U,R替代f,采用与第三节稳定性完全类似的推证过程,得类似( 3.1 5)的估计式护+1 山2易十 厂夕 4井鱿)久.1 +晋1斗厂山)1 1丫 l圣,+2 R i:t.凡凡认叽氏久+合,氏d tU : .
12、j+:尸二翌可,丹。2(仪4+补) 1人了书。含 含浮 T了n。几2又任。乙夕迁K动镇其中兀=(ZeKT材T)由(3.12)给出.了为依赖函数u,a的正常数由(2.2)给出,K由(3.1 5)给出,厕272程爱杰:平面热传导方程D Ougla s交替方向隐格式的稳定性与收敛性第3期定理2设 系数函数 a (x,妇满足基本假定,则Do ug la s格式( 1.4 )的解按离散 H范数 !。:收敛到原方程( 1.1 )一( l3 )的解,收敛阶为0(&,+ 尸),这一收敛性结论包涵了县1结论2按厂范数的收敛性结论,而且更强.推论2在定理2的条件下,格式( 1.4 )的解按离散H范数 】 * :收
13、 敛 到原方程(1.1)一(1.3)的解,收敛阶为O(r,+h).注1本文方法和结论可推广到三维情形.注2本文 方法和结论 可推广到更一般扩 散系数a一a (二,y,t )情形.致谢本文得到袁 益让教授建议,梁栋教授阅过 全文并提 出过宝贵意见,谨致谢意.参考文献1Pe aeema n,D.W.and Raehford,H.H.,Thenumerie a1soIutionofparabolieandell iptied iffer entialequatio ns,J.SIAM.,3(1955),28一41.2伪uglas,J.Jr.and Raehford,H.H.,Onthenume ri
14、ea1solutionoftheheate onduetio npr obIemsintwoandthr eesPae evariables.Tran s.oftheA mer.math.Soe.,82(195 6),42 1一439.3D ouglas,J.Jr.,A1te rnatingdireetionmethodsf orthre espaeevariab1e。,Numer.Math.,4(19 62),41一63.4D ouglas,J.Jr.andGun n,J.E.,Agenera1formulationofa1ternatingdir eetio nmethods,Nume r
15、.Math.,6(1 964),428一453.5Le es,M.,Apr orie stimatesforthesoutionsof diff ereneeaPProximatio ntoPa r abo1iepa rtiadiffer en-tialequ atio ns,DukeMath.J.,27(1960),297一31 1.6Lees,M.,Math.Review,31(19 66),159一160.7郭本瑜,偏微分方程的差分方法,北京:科学出版社,1988.8Ya nenk。,N.N甲,分数步法数学物理中多变量问题的解法,周宝熙、林鹏译,北京:科学出版社,1 9929袁益让、羊丹平、王文洽,含油气盆地三维问题的计算机模拟及其数值分析,计算物理,9(1 9 9 2),No.4,36 1一365.
