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1、1 等离子体物理学讲义No. 12 马 石 庄 20110413北京 2 第 12 讲 碰撞算子与 BBGKY 理论 第 12 讲 碰撞算子与 BBGKY 理论 教学目的：教学目的： 等离子体的性质是大量带电粒子同时相互作用的外在表现。动理学方程的碰撞算子存在集中简化的模型， 适用于完全电离等离子体的 FokkerPlanck 微分碰撞算子，适用于弱电离等离子体的Boltzmann 积分碰撞算子及 Landau 碰撞算子，BBGKY 理论则提供了解决问题的数学理论框架。 主要内容： 主要内容： 1. Coulomb 散射 . 3 1.1 两体碰撞问题 . 3 1.2 Coulomb 碰撞 .
2、5 1.3 小角度碰撞为主 . 9 2 碰撞算子 . 14 2.1 Boltzmann 方程 . 15 2.2 Landau 方程 . 17 2.3 FokkerPlanck 方程 . 22 3 BBGKY 理论 . 26 3.1 BBGKY 级次方程组 . 27 3.2 单粒子和两粒子 . 32 3.3 无磁场的 Landau 方程 . 36 附录 A：Brown 运动 . 43 3 等离子体的性质依赖于等离子体中大量粒子的同时相互作用。为简化对等离子体现象的研究， 依据作用方式可将相互作用分成两类。等离子体的平均电场和平均磁场把等离子体中大量粒子之间弱长程相互作用包括进去。 两个带电粒子之
3、间强的短程的两体相互作用可以用两体碰撞算符表示。 研究等离子体在小于两体碰撞的时间标度内的性质揭示出各式各样的集体性质， 正是这些性质将等离子体状态与其它物质状态区别开来。然而，需要注意到这个事实，如果在较长的时间标度内研究等离子体，碰撞最终会迫使等离子体与周围介质达到热力学平衡态。 1. Coulomb 散射 1. Coulomb 散射 在完全电离的等离子体中， 一个粒子因碰撞而很迅速地发生的一次大角度偏转是它与远距离粒子连续的小角度放射的结果， 为此要研究带电粒子之间的 Coulomb 碰撞，阐述 Coulomb 散射动力学， 1.1 两体碰撞问题 1.1 两体碰撞问题 设两个质量分别为?
4、，?的粒子受到相互向心力?作用发生碰撞， 碰撞前， 粒子的速度分别为?，?， 相对速度为? ? ? ?；位置?，?，相对位移是? ? ? ?。碰撞后，粒子的速度分别为?，?，相对速度为? ? ?。粒子的运动方程为 4 ?d? d? ?，?d? d? ? 其中? ? ? ?。引入质心坐标系和相对位移 ? ? ? ?则 d? d? 0 得到质心运动速度 ?d? d? 常矢量 和 ?d? d? ? 折合质量为 ? ? ? ? 结果表明， 二粒子碰撞在质心系中相当于一个质心保持匀速直线运动，相对运动相当一个质量为?的粒子受在力心固定的向心力?作用的单粒子运动。换言之，在质心坐标系中二体碰撞问题可以简化
5、为单体问题。 在下面的问题中，考虑一个质量?，电荷?检验粒子（test particle）以速度?入射到等离子体中。检验粒子将与等离子体粒子（ “场”粒子）之间发生一系列随机碰撞，使得检验粒子的动量和能量发生改变。 5 1.2 Coulomb 碰撞 1.2 Coulomb 碰撞 在质心坐标系中，一个?，电荷?，以速度?射向固定的另一个电荷?粒子，瞄准距离为?（也称为碰撞参量） ，受到有心力场 ? ? ? 的作用而发生偏转，偏转角为?，速度为?。其中?为相互作用位势，特别地带电粒子之间的 Coulomb 位势 ? ?1 4? ?取 1 ?1 ?1 ? 现在计算?粒子的偏转角?与碰撞参量?之间的关
6、系。在固定力心的有心力场中，粒子运动保持机械能守恒 ? ? ? ? ? ? ? ? 图(a) 实验室坐标 (b) 质心坐标系 ? ? ? 6 1 2?d?d? ? ?d?d? ? ? ? ? ? ?1 2? 和动量矩守恒 ?d? d? ? ? ? 其中常数?，?分别为（碰撞前）初始动能和初始动量矩 ? ?1 2?d?d? ? ?d?d? ? ? ? ?1 2?d?d? ? 2? ? 解出 d? d? ?2? ? ? ? 2? .根据动量矩守恒 d? ? ?d? 得到 d? ?d?2? ? ? ? ?积分 ? ? ?d?2? ? ? ? ? ?d?1 ? ? ?其中?由条件 ?d? d? ? 0
7、 确定，即 7 1 ? ?0 因此偏转角 ? ? ? ? 2? ? ? ? 2?d?1 ? ? ?对于 Coulomb 位势而言 ? ?/? ?/?其中 ?/? 4? 因此 ? ? 2? arcsin? ?/?得到 Coulomb 散射公式 Coulomb 散射公式 sin?2? ? ?/?或者 tan?2? ?/? ? 4? 当? ? ?/?时， ? ? ?/2， ?是偏转角为?/2的碰撞参量； 当? ? ?/?时，? ? ?/2，为大角度碰撞，称为近碰撞；当? ? ?/?时，? ? ?/2，为小角度碰撞，称为远碰撞。 8 瞄准距离在? ? d?为半径的环形面积内的检验粒子， 即通过以? ?
8、 d?为外半径，?为内半径的环形面积2?d?的?粒子，必定散射到角度在? ? d?间的空心圆锥体内。从空间几何知，空心圆锥体的立体角为 d? ?d? ?2?sin?d? ? 2?sin?d? 单位时间内面积强度?的粒子束被散射到立体角d?的几率为? ? 2?d?，因此 ? ?2?d? ? sin?d?d? 其中?称为碰撞（散射）微分截面，物理意义是单位时间入射一个粒子被散射到? ? ?单位立体角内的几率。根据 Coulomb 散射公式 d? d? ?/? 21 sin?/2? 0 9 而几率总是正的，因此要取绝对值。得到碰撞（散射）微分截面 ? ?/?41 sin?/2?1 4? ?1 sin
9、?/2? 这就是著名的 Rutherford 公式1。 在等离子体中，如果考虑电荷的屏蔽效应，那么一个带电粒子受到其他带电粒子的作用不是 Coulomb 势，而是 Debye 势 ? ?1 4? ?exp? ? 可以求得 Debye 势的碰撞（散射）微分截面为 ? ?/?41 ?sin?/2? ? ? 其中 ? 2?，? ?1 2? ? ? ?， ? ?1 2? ?计算时用到积分公式 ?exp? ?sin?d? ? ? ?1.3 小角度碰撞为主 1.3 小角度碰撞为主 两个带电粒子相碰， 不能完全代表真正等离子体中带电粒子弹性碰撞的全部性质， 最重要的是等离子体中带电粒子间的碰撞实际上是1卢瑟
10、福原始论文发表的期刊是：The scattering of alpha and beta particles by matter and the structure of the atom, Philosophical Magazine, volume 21 ?1911?, pages 669688. 10 多体的由于带电粒子间屏蔽库仑作用力程? ?粒子间距?，在Debye 球内的带电被子数? ? 1这样，当跟踪其一个特定的粒子?检验粒子?时， 在任何时刻都会有?个其它粒子?场粒子?和它同时发生碰撞相互作用 与此同时， 这?个粒子彼此也都在碰撞着，因此在碰撞后，不但入射粒子的状态改变了，而且其
11、它几个粒子也都改变了状态所以这是一个多体碰撞问题，严格的三体问题在数学上已经很难处理，更不用说多达?个粒子的力学问题解了 基本思路是：由于等离子体中? 1，可用统计物理的方式来处理力学上难以处理的多体问题。具体说来，在非相对论极限下，在等离子体中采取可以用?对两体碰撞的迭加来代替一次多体碰撞，然后再用一系列时间上稍稍错开的两体碰撞来代替同时刻的许多两体碰撞的迭加。 第一步近似的根据是， 当? 1时， 场粒子可以具有粒子可能占有的几乎所有状态?动量，能量，位置?，它们之间的紧密的相互作用已经使得场粒子总体上达到相对稳定。即在碰撞前后，从每一个粒子来看其状态虽然会有改变，但总的状态基本上没有变化，或者变化得很少因此在讨论检验粒子和几个粒子的多体相互作用时，场粒子间的相互作用可以忽略不计， 只考虑它们中的每一个和场粒子的相互作用。 接着考虑到在非相对论极限下每个场粒子和检验子内相互作用都是两体屏蔽 Coulomb 作用，因此可以把一个多体碰撞
