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2、在二个不平行某向量的和却平行于某向量，即加法不封闭.3.解： 不是，因为 当kQ 或 R 时，数乘k不封闭； 有理域上是；实数域上不是，因为当kR 时，数乘k不封闭.是 ； 是； 是； 不是，因为加法与数乘均不封闭.4. 解：是，因为全部解即为通解集合，它由基础解系列向量乘以相应常数组成， 显然对解的加法与数乘运算满足二个封闭性和八条公理.5 5.解： （1）是线性空间； （2）不是线性空间（加法不封闭；或因无零向量）.6 6.解： （1）设A的实系数多项式的全体为( )Af( )正整数mRaAaAaIaAfimm,10+=L2显然，它满足两个封闭性和八条公理，故是线性空间.（2）与（3）也都
3、是线性空间.7 7. 解：是线性空间.不难验证，是线性无关tsint2sinntsin的，且任一个形如题中的三角多项式都可由它们惟一地线性表示，所以它们是V中的一个组基.由高等数学中傅里叶（Fourier）系数知.=20sin1itdttci8. 解： 不是，因为公理 2 不成立：设 r=1, s=2, =(3, 4),)则 (r+s) (3, 4)= (9, 4),而 r (3, 4)s (3, 4)=(3,4)(6, 4)= (9, 8),ooo所以 (r+s) r s .oo o 不是，因为公理 1）不成立：设= (1,2) , = (3,4) ,则=(1,2)(3,4) = (1,2)
4、,= (3,4)(1,2) = (3,4),所以 . 不是，因为公理 2 不成立：设 r=1,s=2,=(3,4) ,)则 (r+s)=3 (3, 4)= (27, 36)而oor s =1 (3,4)2 (3,4)=(3, 4)(12, 16)= (15, 20),o ooo于是(r+s) r s .ooo 是.9 9 9 9. 证若，则,V()()()() ()()() +=+=+=+=+=+)11 (1111112223另一方面，()()()()() () ()() +=+=+=+=+111112因此，()()+=+从而有()()()()()()+=+于是得.+=+10. 解：先求齐次方
5、程组的基础解系 =(3,3,2,0), =(-3,7,0,4) ,1T 2T即为解空间V的一组基. 所以，dim V=2.11. 解：考察齐次式0) 1()()(32 22 1=+xkxxkxxk即,0)()(33212 21=+kxkkkxkk得线性方程组021=+kk0321=+kkk03=k由于系数行列式不等于零，那么只有时 , 上述齐次式0321=kkk才对x x x x成立，所以,线性无关，且任二次多项式xx+2xx21+x都可惟一地用它们来表示(因为相应的非齐次方程组有惟一cbxax+2解)，故为基.令33212 212)()(372kxkkkxkkxx+=+得, 即坐标为 ( 3
6、,-1,3 ) .3, 1, 3321=kkk412. 解： 因为 ()=()=()=()=() ) ) )C, , , ,4321,4321,故C=( ( ( () ) ) ) () ) ) )4321,1 4321,= = = =.100001000010000113101121163316502 3101121163316502 显然，向量在基下的坐标为X=(,) ,4321,1432,T设在基下的坐标为Y=(=(=(=(, , , , 则4321,T),4321Y= = = =C= = = =14321310112116331650214321= = = = = = =B X2726
7、31 91 2773200312723 31 94 271911131 944321 如果X= Y, 则有X= BX,即得齐次方程组 (I- B)X=0 ,求其非零解为X = k(1, 1, 1,1 ),kR ,即为所求 .T1313. 解： (1)对；令，其中nk, 2 , 1L=nkkl, 1,L+=( )nnijklaF=，其余的，则为上三角矩阵空间的一组基，维数为1=kla0=ijaklF.()121+nn（2）R+中任意非零元素都可作 R+的基，dimR+=1.（3）I，A，A2为所述线性空间的一组基，其维数为 3.514. 解： （1）由已知关系式求得 +=+=+=+=324213
8、4212432112242284于是，由基（I）到基（II）的过渡矩阵为=0012200112480124C（2）在基（II）下的坐标为（2，-1，1，1）T，再由坐标变换公式计算在基（I）下的坐标为C（2，-1，1，1） =（11，23，4，-5） .TT（3）不难计算得det（1IC）=0，所以 1 是C的特征值.不妨取过渡矩阵C的对应于特征值 1 的一个特征向量为，则有C= = = =1 ，那么0 0 0 0，再由坐标变换公式知，在基()4321,=（I）下的坐标为=C= = = =，即存在非零，使得在基（I）4V和基（II）下有相同的坐标.1515. 解：不难看出，由简单基E11，E1
9、2 ，E21，E22改变为基（I）和基（II）的过渡矩阵分别为，=22211120311112021C=11100111121211112C则有（B1，B2，B3，B4）=（E11，E12，E21，E22）C2=（A1，A2，A3，A4）C21 1C6故由基（I）改变到基（II）的过渡矩阵为.=111110000011111021 1CCC1616.解： （1）由简单基 1，改变到基（I）和基（II）的过32,xxx渡矩阵为，=11111111111C=10110111111011012C故由基（I）改变为基（II）的过渡矩阵为=101111001001001121 1CCC（2）设在基（I）
10、和基（II）下的坐标分别为( ) 3xpxf， 则 有且， 即 有()T4321,=()T4321,=C=，该齐次方程组的通解为,R.于是，在基()0=CI()Tk0, 1 ,0,0=k（I）和基（II）下有相同坐标的全体多项式为.( )( )( )( )( )()( )234321,kxkxkxkgxgxgxgxgxf+=17. 解： 设 R 的子集合为 L，对任意L，有n,，),.,(21naaa= =niia10对任意，,有L,),.,(21naaa=),.,(21nbbb=7 =+=+=+nininiiiiinnbabababa111110)(),.,(又, 所以L,L, =ninii
11、inakkakakak1110),.,(+k因此 L 是V的子空间.对任意L，, 有,),.,(21naaa=),.,(21nbbb=, =niia11 =niib11故2)(),.,(11111 =+=+=+nininiiiiinnbabababa于是可知L，因此 L 不是V的子空间.+18. 解：的基为的一个最大无关组，),( 3 2 1Span 3 2 1,在基下的坐标依次为 3 2 1,321,(1,-2,3) ,(2 ,3 ,2),(4,13,0 )TTT该列向量组的一个最大无关组为 (1, -2, 3) , (2 ,3 ,2) .因此，TT 3 2 1,的一个最大无关组为，即的一个
12、基为. 2 1,),( 3 2 1Span 2 1,1919.解 ： （1） 因为， 所以V1非空.设A， 则有AP=PA，10Vnn1VBBP=PB.又因为 （A+B）P=AP+BP=PA+PB=P（A+B）， （kA）P=k（AP）=k（PA）=P（kA）（R） ，所以，故V1是的k1VBA+1VkAnnR子空间.（2）取，B，则det A=det B=0，从而， =0001A =10001VA8，但，所以，故V1不是子1VB =+1001BA()0det+BA1VBA+空间.又，从而，所以AA=2 2VA =00022A()AA2000422 =，故V2也不是子空间.22VA2020.
13、证：因为（2，-1，3，3）=（-1） （1，1，0，0）+3（1，0，1，1） ，（0，1，-1，-1）=（1，1，0，0）+（-1） （1，0，0，1）即生成的子空间有相同的基，所以它们生成的子空间相同.2121. 解： (1) 设，则由AP=PA可得齐次方程组1 4321VxxxxA = =+=03003303334213xxxxxx求得基础解系为（1，-3，0，0）T， （1，0，0，1）T，从而V1的基为， =00311A =10012AdimV1=2 .(2)V1的矩阵一般形式. +=+=2121 221103 kkkkAkAkA()Rkk21,2222. 证：若V1的维数为 0，则V1与V2都是零空间，当然相等；9若V1的维数是，由于，故V1 的任一组基都是0m21VVmeee,21LV2的线性无关组.又因V2与V1的维数相同， 故这个线性无关组也是V2的一组基，即V1与V2有相同的基，因此V1=V 2.2323. 解：设，则有()WVaaaaI=4321,0, 043214321=+=+aaaaaaaa由此相加或相减可得，从而，031=+aa042=+aa31aa=42aa=故得.()()()1, 0 , 1 , 00 , 1, 0 , 1,212121+=aaaaaa但（1，0，-1，0），（0，1，0，-1）线性无关，即为所求
