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2、在二个不平行某向量的和却平行于某向量,即加法不封闭.3.解: 不是,因为 当kQ 或 R 时,数乘k不封闭; 有理域上是;实数域上不是,因为当kR 时,数乘k不封闭.是 ; 是; 是; 不是,因为加法与数乘均不封闭.4. 解:是,因为全部解即为通解集合,它由基础解系列向量乘以相应常数组成, 显然对解的加法与数乘运算满足二个封闭性和八条公理.5 5.解: (1)是线性空间; (2)不是线性空间(加法不封闭;或因无零向量).6 6.解: (1)设A的实系数多项式的全体为( )Af( )正整数mRaAaAaIaAfimm,10+=L2显然,它满足两个封闭性和八条公理,故是线性空间.(2)与(3)也都
3、是线性空间.7 7. 解:是线性空间.不难验证,是线性无关tsint2sinntsin的,且任一个形如题中的三角多项式都可由它们惟一地线性表示,所以它们是V中的一个组基.由高等数学中傅里叶(Fourier)系数知.=20sin1itdttci8. 解: 不是,因为公理 2 不成立:设 r=1, s=2, =(3, 4),)则 (r+s) (3, 4)= (9, 4),而 r (3, 4)s (3, 4)=(3,4)(6, 4)= (9, 8),ooo所以 (r+s) r s .oo o 不是,因为公理 1)不成立:设= (1,2) , = (3,4) ,则=(1,2)(3,4) = (1,2)
4、,= (3,4)(1,2) = (3,4),所以 . 不是,因为公理 2 不成立:设 r=1,s=2,=(3,4) ,)则 (r+s)=3 (3, 4)= (27, 36)而oor s =1 (3,4)2 (3,4)=(3, 4)(12, 16)= (15, 20),o ooo于是(r+s) r s .ooo 是.9 9 9 9. 证若,则,V()()()() ()()() +=+=+=+=+=+)11 (1111112223另一方面,()()()()() () ()() +=+=+=+=+111112因此,()()+=+从而有()()()()()()+=+于是得.+=+10. 解:先求齐次方
5、程组的基础解系 =(3,3,2,0), =(-3,7,0,4) ,1T 2T即为解空间V的一组基. 所以,dim V=2.11. 解:考察齐次式0) 1()()(32 22 1=+xkxxkxxk即,0)()(33212 21=+kxkkkxkk得线性方程组021=+kk0321=+kkk03=k由于系数行列式不等于零,那么只有时 , 上述齐次式0321=kkk才对x x x x成立,所以,线性无关,且任二次多项式xx+2xx21+x都可惟一地用它们来表示(因为相应的非齐次方程组有惟一cbxax+2解),故为基.令33212 212)()(372kxkkkxkkxx+=+得, 即坐标为 ( 3
6、,-1,3 ) .3, 1, 3321=kkk412. 解: 因为 ()=()=()=()=() ) ) )C, , , ,4321,4321,故C=( ( ( () ) ) ) () ) ) )4321,1 4321,= = = =.100001000010000113101121163316502 3101121163316502 显然,向量在基下的坐标为X=(,) ,4321,1432,T设在基下的坐标为Y=(=(=(=(, , , , 则4321,T),4321Y= = = =C= = = =14321310112116331650214321= = = = = = =B X2726
7、31 91 2773200312723 31 94 271911131 944321 如果X= Y, 则有X= BX,即得齐次方程组 (I- B)X=0 ,求其非零解为X = k(1, 1, 1,1 ),kR ,即为所求 .T1313. 解: (1)对;令,其中nk, 2 , 1L=nkkl, 1,L+=( )nnijklaF=,其余的,则为上三角矩阵空间的一组基,维数为1=kla0=ijaklF.()121+nn(2)R+中任意非零元素都可作 R+的基,dimR+=1.(3)I,A,A2为所述线性空间的一组基,其维数为 3.514. 解: (1)由已知关系式求得 +=+=+=+=324213
8、4212432112242284于是,由基(I)到基(II)的过渡矩阵为=0012200112480124C(2)在基(II)下的坐标为(2,-1,1,1)T,再由坐标变换公式计算在基(I)下的坐标为C(2,-1,1,1) =(11,23,4,-5) .TT(3)不难计算得det(1IC)=0,所以 1 是C的特征值.不妨取过渡矩阵C的对应于特征值 1 的一个特征向量为,则有C= = = =1 ,那么0 0 0 0,再由坐标变换公式知,在基()4321,=(I)下的坐标为=C= = = =,即存在非零,使得在基(I)4V和基(II)下有相同的坐标.1515. 解:不难看出,由简单基E11,E1
9、2 ,E21,E22改变为基(I)和基(II)的过渡矩阵分别为,=22211120311112021C=11100111121211112C则有(B1,B2,B3,B4)=(E11,E12,E21,E22)C2=(A1,A2,A3,A4)C21 1C6故由基(I)改变到基(II)的过渡矩阵为.=111110000011111021 1CCC1616.解: (1)由简单基 1,改变到基(I)和基(II)的过32,xxx渡矩阵为,=11111111111C=10110111111011012C故由基(I)改变为基(II)的过渡矩阵为=101111001001001121 1CCC(2)设在基(I)
10、和基(II)下的坐标分别为( ) 3xpxf, 则 有且, 即 有()T4321,=()T4321,=C=,该齐次方程组的通解为,R.于是,在基()0=CI()Tk0, 1 ,0,0=k(I)和基(II)下有相同坐标的全体多项式为.( )( )( )( )( )()( )234321,kxkxkxkgxgxgxgxgxf+=17. 解: 设 R 的子集合为 L,对任意L,有n,,),.,(21naaa= =niia10对任意,,有L,),.,(21naaa=),.,(21nbbb=7 =+=+=+nininiiiiinnbabababa111110)(),.,(又, 所以L,L, =ninii
11、inakkakakak1110),.,(+k因此 L 是V的子空间.对任意L,, 有,),.,(21naaa=),.,(21nbbb=, =niia11 =niib11故2)(),.,(11111 =+=+=+nininiiiiinnbabababa于是可知L,因此 L 不是V的子空间.+18. 解:的基为的一个最大无关组,),( 3 2 1Span 3 2 1,在基下的坐标依次为 3 2 1,321,(1,-2,3) ,(2 ,3 ,2),(4,13,0 )TTT该列向量组的一个最大无关组为 (1, -2, 3) , (2 ,3 ,2) .因此,TT 3 2 1,的一个最大无关组为,即的一个
12、基为. 2 1,),( 3 2 1Span 2 1,1919.解 : (1) 因为, 所以V1非空.设A, 则有AP=PA,10Vnn1VBBP=PB.又因为 (A+B)P=AP+BP=PA+PB=P(A+B), (kA)P=k(AP)=k(PA)=P(kA)(R) ,所以,故V1是的k1VBA+1VkAnnR子空间.(2)取,B,则det A=det B=0,从而, =0001A =10001VA8,但,所以,故V1不是子1VB =+1001BA()0det+BA1VBA+空间.又,从而,所以AA=2 2VA =00022A()AA2000422 =,故V2也不是子空间.22VA2020.
13、证:因为(2,-1,3,3)=(-1) (1,1,0,0)+3(1,0,1,1) ,(0,1,-1,-1)=(1,1,0,0)+(-1) (1,0,0,1)即生成的子空间有相同的基,所以它们生成的子空间相同.2121. 解: (1) 设,则由AP=PA可得齐次方程组1 4321VxxxxA = =+=03003303334213xxxxxx求得基础解系为(1,-3,0,0)T, (1,0,0,1)T,从而V1的基为, =00311A =10012AdimV1=2 .(2)V1的矩阵一般形式. +=+=2121 221103 kkkkAkAkA()Rkk21,2222. 证:若V1的维数为 0,则V1与V2都是零空间,当然相等;9若V1的维数是,由于,故V1 的任一组基都是0m21VVmeee,21LV2的线性无关组.又因V2与V1的维数相同, 故这个线性无关组也是V2的一组基,即V1与V2有相同的基,因此V1=V 2.2323. 解:设,则有()WVaaaaI=4321,0, 043214321=+=+aaaaaaaa由此相加或相减可得,从而,031=+aa042=+aa31aa=42aa=故得.()()()1, 0 , 1 , 00 , 1, 0 , 1,212121+=aaaaaa但(1,0,-1,0),(0,1,0,-1)线性无关,即为所求