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1、.3 6.巾等数学勾股数的基本组及其性质陈珠本文给 出勾股数基本组的某些 性质,并由此得出排列勾 股数 基本组的一个方法。定义1如果正整数a,b,c能 满足不定方程aZ+bZ=e“,(i)则它们叫一组勾 股数,用a,b,c表示。定义2如果a,b,c为一勾 股 数组,且(a,b)=1,则a,b,e叫一个勾股数的基本组,全体勾股数的基本组用集合A表示。定义3若a,b,e为一勾股数的基本组,则ka,kb,ke叫一勾股数的 导出组,其 中k为正整数。定 理1若a,b,e 任A,则(a,b)=(a,c)=(b,c)=(a,b,e)=1.符号(a,b )表示 正整数a和b的最大公约数证明由 a,b,e任A
2、知(a,b)=1,且a“+bZ=e“,其中a,b,e为正整数。今证(a,c )二1.如若 不 然,假设(a,e)=k)1,令a二ka,e二ke产,则b“=e“一aZ=kZ(e,2一a,“)。从而kZbZ,kb,这 与(a,b)=1矛盾,故( a,c)=1.同法可证其它。定 理2若a,b,C为一勾股数组,且(a,b)=d1,则a,七,e为一勾股 数的导出组。证 明由 ( a,b)=d1,可设a=da,b=db,(a,b)=i,从 而dC,可设e=de,.由(da,)“+(db,)“=(de,)“知,a“+b“=c2.从而a,b,e,任A,故da,db,d。,即a,b,e为一勾股数的导出组。定理3
3、若a,b,c任A,则a与b一 奇一偶,c为奇数。证 明由a,b,eA知(a,b)=1,从而a与b不可能同偶。今证亦不可 能同 奇。如若不然,假设a=Zx+i,b=Zy+z,其中x,y均是非负整数。此时,a“+b“=4(x“+yZ+x+y)+2,从而2(aZ一bZ),但4率(aZ+bZ),即2cZ而4水cZ,这与c是整 数 矛 盾。故a与b不可能 同奇,所以一奇一偶。因奇数平方为奇,偶数平方为偶,奇加偶为奇,从而c“为奇。又 因e为整数,故c为奇数。定理4一切勾股数的基本组可 用下 述 公式表示;a=Zxnn,b=,z,2一 nZ,e=,。12+nZ。(2) 其中。,n为正整数且,nn,(m,n
4、)二i,一奇一偶。证明由m,n为正整数且mn,知a,b,e为正整数。由(2,l山)2+(,112一。“)“”(llJ Z+n,)2,知a,b,e为一勾股数组。由ni,n一奇一偶,知,112一nZ为奇 数,2,山为偶数,飞“+,“为奇数。由e+b二2,n“,c一b=Zn“,知e与b的任何公因数必是Z J ll“与2n2的公 因 数。又 因(,1,n)=i,所以e与b至多有公因数2与1;但c与b均为奇数,故只有( b,C)=1.从而(a,b)=1,故a,b,e任A.反之,设a,b,e任A,则(a,b)=1.由定理3知a,b一偶一奇,c为奇数。不妨设a偶b奇,取k=音“+b,一合“一b,则k,t为正
5、整数。先证(k,t )=1.如若不然,假 设(k,t)=d1,则e+b2=kld,e一b2=kZd,而(k,kZ)=1.由b=12(Zk一Zt)=k一t二(k:一k:)d,知d!b.又 因aZ=e“一bZ=(e+b) (e一b)=4klk:dZ,1984年 第一期从而dZ!aZ,即da.于是(a,b)=d,这与(a,b)=1矛盾,故(k,t)=1,即d= =1.由a“=e“一bZ=(e+b)(e一b)=ZkZt=4kt,及(k,t )=1,从而k与t均为 平方数。故可设k=,112,t=nZ ,而a皿=4m2n2,a=2批,b=k一t=m么一nZ,e=k+t=mZ+n气由(k,t)=z知(In
6、,n)=1;由(a,d )=1及定理3知m“一nZ为 奇 数,而m,n一奇一偶。定 理5三数成等差级数的勾股数基本组 只有3,4,5 证明设a一d,a,a+d任A,贝11a一d,a,a+d成等差级数。由(a一d)“+aZ=(a+d)“,得:aZ一4ad=0,a了a一4d)=0.因a午。,有a=4d.从而三数为:a一d=3d,4d,a+d二sd.又 因 ( 3d,4d )二d=1,所以三数只能是:3,4,5,即 只有3,4,5定理6任何一个勾股数基本组中的三数不可能成等比级数,亦不可能成调和 级数。证明(1)设a,b,e任A,且a,b,c成等比级数。因a、b、c中c最大,显然c不是等比中项。不妨
7、设b二a q,“=a q,q为大于1的正整数。由aZ+(a。)2=(aqZ)2,q4一qZ一1=0,则4b(a+e),但a e为奇数,4+Zae,故b .( a十c )二加c不可能 成立,即b二ZaCa+C不可能成立。综上所述,a,b,c不可能成调和 级数。同法可证a,b,c的其它排列 次序亦不可能成调 和级 数。定理了设a为奇数,且a=P q,pq,p、q均为正整数。(1)当(p,q)=k1时,由l,:=里(p+q),n=一1(p一q)(322决定的a,b,e去户,;(2)当(p,q)=1时,由(3)式决定的a,b,e任A,的充要条件是p(1+训2)q。证明(1)由a=r q为奇 数知p,q
8、均 为奇 数。由(D,q)=k1,可设p=kp,q=kq,其中p,q,k必为奇数,巨(p,q/)=1.由pq,知pq/.而P,+2P,一q,2(4均为正整数。由(4)式,(p,+口,)1_(p,一q)1,1 1 1=从,1 1一一 n,2一艺qZ二里兰之互 2于是111,n均是正整数。但(, :,。)k1,所以 由m,n决定 的a,b,c去A。(2)由a=pq为奇数,知p,q均 为奇数。由p夕q知(3)式决定的m,n为正整数(, 1,n),且适合显然q“不是整数,故q不是整数,从而a,b,c不可能成等比级数。(2)设a,b,e任A,且a,b,e成调和 级数,则( a一b ):( b一c)=a:
9、。,11飞2一“=省D+(飞,2一合一q,=pq=月,从而m,n一奇 一偶。今证( l l1,动=1.如 若不然,假设从而”一黑,其中为奇数,a为偶数或奇数。(rxl,n由(3)二d式得i,则11 1二dl,1,。=面,Zd i, i,=P+q,Zdn,=p一q,+dn,=d (m,+n产)、2、I,q当a为偶数、b为奇数时,a十c为奇数,b.(a+e)为奇数,而Zae为偶 数,从而p=dlnq=d nl,一dn,=d (ni,一n,b二丝竺 a+C于是dlp,所以d=1,dq.这与(p,不可能成立。 (ni当a为奇数、b为偶数时,a+c为偶数,a,b,e任A.n)二.故由11飞,又1矛盾。n
10、决定的3 8巾等数学:一、2一11“(1+侧2)l。、李(p+q)(1+侧万)q。由定 理7(2)知:, : ,二工(a+z),(3)式决定的1,_ 牙、以一生尹推论1当,11=八+z时,由,1:,n决定的a,b,e任A,。证明由,1=n+1知:1飞,;1一奇一偶,且(, 11,n)=z,从 而由:、 ,。决定的a,b,e任A.由l:飞2一nZ=(n+1)“一nZ=Zn+1为一奇数,可设a二Zn+1=(2。+1)1,p=Zn+1,q二1.从而(p,q)=i,又因Zn+i(1+了百)1,即p)(i+了百)q,根据定理7(2),由(3):式李。p+q)乙=工(Zn+1+1)=n+l,_1,。11=
11、、r一q少 艺2=工(z,+z一z)二。2决定的,即n十1,。决定的a,b,c任Al.根据定理7(2)还 可得出下面的推 论2若11飞,。决定的a,b,e任A:,且。;,+i,1+z)=z,贝小;+z,1+z决定的a,b,c任Al。下面 用集合A,的定 义直接 证 明 这个推论,要比根据定理7(2)更为 简便。证明由, i,l飞决定的a,b,eA,知(,、i,n)=i且,:,;飞一奇一偶。由, i“一n“;1,(, 、 、,:)=z, 、 ,n是偶数,则m,n决定 的a,b,cA:的充要 条件是二(1十了 厄一)l i .证 明由111n,(11 1,n)=1知11,与n不可 能同偶。又 因J
12、 1 1。是偶数,故J l,。一奇 一偶,所以,1,n决定的a,b,e任A.由211in,11(l+侧百),1.推论设r是 非负整数,则 由1 1 1=4+2 r,n=1;n 飞=5+Zr,n=2决 定的a,b,e任户1。证明对任意非负整数r,m与n一奇一偶,显然育:(4+Zr,z)二2,(5+Zr,2)二z,且、4+Zr(+召百)1,5+Zr(1+了百)2.由定理9,所以它们决定的自,b,c任A、.同样,类似上面的推论 还可得出一些别 的结论。定理1 04的任何一个大于1的正整倍数必 是某个勾 股数基本组的最小正整数。证明对任一个4的 大于1的正整倍数4t(ti),令2,:In二4 t,且m
13、=Zt,一=1.则川,:一偶一奇,),:,(: :,n)=2.又 因,11= =Zt)理(l+侧畜)1二(1+训万)n,根据定理9,由,11=Zt,了:=1决定的a,b,。任A:仁A.即4的任何一个大于1的正 整倍数,必是某个勾股数 基本组中的最小正整数。定理1 1任一个勾股数的基本组必含有8的倍数;必含有4的倍数;必含有5的倍数。该定理的证明详见数学通报1979年第6期陈芦生:勾股数 组的一个性质一文。根据定理4、7、8、9、10及其推论,我们可 以按a由小至大的顺序逐个写出勾股 数的基本组。一F面列出3(a(1+、/2)n12132 2 221 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1/ /
14、 / / / / / / /7124:一一一一一2.4.15174 041111 111 1606 112一不一,.。.,一。,、2。 。3 7一m华(1+v/2)nI I I I I J.1 1 1丫6 6 6lj石4乙口口1 1 1 1 1 1 151 1 187 7 7151 12113 3 3夕夕.只.2 2 2 2 2/ / / / / / / / / / /53/P争(1+侧2)q “l“”些竺竺巴一一一瓜一12.只.、i一一18,。 。l2.4一2 一宁 一l 一/(m,n)粉1171 711714 414 5191911918018 120210.12 09 910 12502
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